2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽四十三中教育集團(tuán)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽四十三中教育集團(tuán)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．2．（3分）如圖，中，點(diǎn)、分別在、上，且，下列結(jié)論正確的是A． B．與的面積比為 C．與的周長比為 D．3．（3分）已知與互余，若，則的值為A． B． C． D．4．（3分）已知反比例函數(shù)，下列說法中錯誤的是A．圖象經(jīng)過點(diǎn) B．圖象位于第二、四象限 C．圖象關(guān)于直線對稱 D．隨的增大而增大5．（3分）若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．6．（3分）下列對二次函數(shù)的圖象的描述，正確的是A．開口向下 B．對稱軸是軸 C．經(jīng)過原點(diǎn) D．在對稱軸右側(cè)隨的增大而減小7．（3分）小明在一次用頻率去估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則最可能符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)是A．?dāng)S一枚骰子，出現(xiàn)4點(diǎn)的概率 B．拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率 C．任意寫一個整數(shù)，它能被3整除的概率 D．從一副撲克中任取一張，取到“大王”的概率8．（3分）拋物線，、、為常數(shù)）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表：012440則下列結(jié)論中：①拋物線的對稱軸為直線；②；③當(dāng)時，；④方程的兩根分別是，，其中正確的個數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（3分）如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，直到它們都到達(dá)點(diǎn)為止．若的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動時間為，則與的函數(shù)圖象是A． B． C． D．10．（3分）已知拋物線的對稱軸為直線，若關(guān)于的一元二次方程為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，則的取值范圍是A． B． C． D．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)，則．12．（3分）四邊形中，，，，分別是邊，，，的中點(diǎn)，的邊滿足條件：時（填上一個你認(rèn)為正確的條件），四邊形是菱形．13．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，度．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為反比例函數(shù)，的圖象上的點(diǎn)，且軸，已知△的面積為3，則的值為．15．（3分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則的最小值為．三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程）16．（10分）（1）解方程；（2）計(jì)算：．17．（8分）明明和家人去西安旅游購買了甲、乙、丙、丁四個系列擺件，如圖，甲系列有3個擺件，乙系列有1個擺件，丙系列有2個擺件，丁系列有3個擺件，每個系列各帶有一個禮品盒（擺件均裝入對應(yīng)的禮品盒內(nèi)），這四個禮品盒的外觀和重量都相同．明明先讓媽媽從四個禮品盒中隨機(jī)選擇一個拿走，再讓爸爸從剩下的三個中隨機(jī)選擇一個拿走．（1）媽媽拿走的禮品盒里裝有3個擺件的概率是；（2）請用畫樹狀圖或列表法，求媽媽和爸爸一共拿走4個擺件的概率．18．（8分）如圖：拋物線過，兩點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，．（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，若，求的值．19．（8分）在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備購買一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu)，根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量（個與銷售單價（元個）之間的關(guān)系式為，許愿瓶的進(jìn)價為6元個．（1）按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤（元與銷售單價（元個）之間的函數(shù)解析式；為了方便顧客，售價定為多少時可獲利1200元？（2）若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定此時的銷售單價，并求出此時的最大利潤．20．（8分）如圖所示，某施工隊(duì)要測量隧道長度，米，，施工隊(duì)站在點(diǎn)處看向，測得仰角為，再由走到處測量，，米，測得處的仰角為，求隧道長．，，21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2；（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象直接寫出的解集；（3）將直線沿向上平移后的直線與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)，如果△的面積為10，求平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式．22．（12分）如圖，在菱形中，是銳角，是邊上的動點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)，時，①求證：△△；②連接，，求證：．（2）如圖2，當(dāng)時，延長交射線于點(diǎn)，延長交射線于點(diǎn)，連結(jié)，，若，，當(dāng)時，①求的長；②直接寫出的值．23．（13分）小明為了探究函數(shù)的性質(zhì)，他想通過列表描點(diǎn)畫出它的圖象，然后再觀察、歸納，并運(yùn)用性質(zhì)解決問題．（1）使用特殊到一般的方法，當(dāng)時．①列出與的幾組對應(yīng)值如表：01234522表格中，；②結(jié)合上表，在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出當(dāng)時函數(shù)的圖象；③觀察圖象，當(dāng)時，有最小值為；（2）求函數(shù)與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知，兩點(diǎn)在時函數(shù)的圖象上，當(dāng)時，請直接寫出的取值范圍；（4）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，，當(dāng)函數(shù)的圖象與矩形的邊恰有4個交點(diǎn)時，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．（3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．解：拋物線，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：．2．（3分）如圖，中，點(diǎn)、分別在、上，且，下列結(jié)論正確的是A． B．與的面積比為 C．與的周長比為 D．解：，，，，，故錯誤；，與的面積比為，周長的比為，故和錯誤；，，．故正確．故選：．3．（3分）已知與互余，若，則的值為A． B． C． D．解：與互余，、可看作的兩銳角，，設(shè)，，，．故選：．4．（3分）已知反比例函數(shù)，下列說法中錯誤的是A．圖象經(jīng)過點(diǎn) B．圖象位于第二、四象限 C．圖象關(guān)于直線對稱 D．隨的增大而增大解：反比例函數(shù)中，，圖象在二，四象限內(nèi)，故選項(xiàng)正確；，圖象必經(jīng)過，故選項(xiàng)正確；圖象關(guān)于直線對稱，故選項(xiàng)正確；反比例函數(shù)中，，在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，故選項(xiàng)錯誤；故選：．5．（3分）若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．解：，在每個象限內(nèi)，隨值的增大而增大，當(dāng)時，，，故選：．6．（3分）下列對二次函數(shù)的圖象的描述，正確的是A．開口向下 B．對稱軸是軸 C．經(jīng)過原點(diǎn) D．在對稱軸右側(cè)隨的增大而減小解：二次函數(shù)，，該函數(shù)圖象開口向上，故選項(xiàng)錯誤；對稱軸值直線，故選項(xiàng)錯誤；當(dāng)時，，即該函數(shù)圖象過原點(diǎn)，故選項(xiàng)正確；在對稱軸右側(cè)隨的增大而增大，故選項(xiàng)錯誤；故選：．7．（3分）小明在一次用頻率去估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)中，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪出的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則最可能符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)是A．?dāng)S一枚骰子，出現(xiàn)4點(diǎn)的概率 B．拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率 C．任意寫一個整數(shù)，它能被3整除的概率 D．從一副撲克中任取一張，取到“大王”的概率解：、擲一枚骰子，出現(xiàn)4點(diǎn)的概率為；、擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為；、任意寫出一個正整數(shù)，能被3整除的概率為；、從一副撲克中任取一張，取到“大王”的概率．故選：．8．（3分）拋物線，、、為常數(shù)）上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如下表：012440則下列結(jié)論中：①拋物線的對稱軸為直線；②；③當(dāng)時，；④方程的兩根分別是，，其中正確的個數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①函數(shù)的對稱軸為：，此時，故①符合題意；②函數(shù)的對稱軸為：，則和對應(yīng)，故②符合題意；③，，根據(jù)函數(shù)的對稱性，，，而當(dāng)時，，故③不符合題意；④方程的兩根，相等于和的加點(diǎn)，故④符合題意，故選：．9．（3分）如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動，直到它們都到達(dá)點(diǎn)為止．若的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動時間為，則與的函數(shù)圖象是A． B． C． D．解：①當(dāng)時，點(diǎn)在上，，，過作交于點(diǎn)，中，，，，，，，，②當(dāng)時，點(diǎn)在上，，綜上所述，正確的圖象是．故選：．10．（3分）已知拋物線的對稱軸為直線，若關(guān)于的一元二次方程為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，則的取值范圍是A． B． C． D．解：如圖，關(guān)于的一元二次方程的解就是拋物線與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由題意可知：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由圖象可知關(guān)于的一元二次方程為實(shí)數(shù)）在的范圍內(nèi)有解，直線在直線和直線之間包括直線，．故選：．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）若函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)，則．解：函數(shù)是關(guān)于的反比例函數(shù)，，解得：．故答案為：．12．（3分）四邊形中，，，，分別是邊，，，的中點(diǎn)，的邊滿足條件：時（填上一個你認(rèn)為正確的條件），四邊形是菱形．解：如圖，，、、、分別是線段、、、的中點(diǎn)，則、分別是、的中位線，、分別是、的中位線，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)知，，，當(dāng)有成立，則四邊形是平行四邊形．添加：．13．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，45度．解：，，，，，，又，△△，，，即．故答案為：45．14．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為反比例函數(shù)，的圖象上的點(diǎn)，且軸，已知△的面積為3，則的值為．解：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，于軸之間的距離為，又點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，△的面積為3，，解得：．故答案為：．15．（3分）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則的最小值為．解：過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，將代入可得，，，將代入可得，，，，，設(shè)解析式為，則，，的解析式為：，軸，△△，，設(shè)點(diǎn)，、縱坐標(biāo)相等，當(dāng)時，，解得，，，，，當(dāng)時，有最大值為，則有最小值，則的最小值為，故答案為：．三、解答題（本題共8小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或推理過程）16．（10分）（1）解方程；（2）計(jì)算：．解：（1），，，或，，；（2）．17．（8分）明明和家人去西安旅游購買了甲、乙、丙、丁四個系列擺件，如圖，甲系列有3個擺件，乙系列有1個擺件，丙系列有2個擺件，丁系列有3個擺件，每個系列各帶有一個禮品盒（擺件均裝入對應(yīng)的禮品盒內(nèi)），這四個禮品盒的外觀和重量都相同．明明先讓媽媽從四個禮品盒中隨機(jī)選擇一個拿走，再讓爸爸從剩下的三個中隨機(jī)選擇一個拿走．（1）媽媽拿走的禮品盒里裝有3個擺件的概率是；（2）請用畫樹狀圖或列表法，求媽媽和爸爸一共拿走4個擺件的概率．解：（1）根據(jù)題意有4個四個禮品盒，其中有3個擺件的禮品盒有2個，媽媽拿走的禮品盒里裝有3個擺件的概率是：，故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：由圖可得，共有12種等可能的結(jié)果，其中媽媽和爸爸一共拿走4個擺件的情況有4種，媽媽和爸爸一共拿走4個擺件的概率．18．（8分）如圖：拋物線過，兩點(diǎn)，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，．（1）求拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，若，求的值．解：（1）將，點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，，解得，拋物線的表達(dá)式為．（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)為．令直線的函數(shù)解析式為，則，解得，直線的函數(shù)解析式為．，且拋物線的對稱軸為直線，．又點(diǎn)坐標(biāo)為，．，，解得，又，．19．（8分）在“母親節(jié)”期間，某校部分團(tuán)員參加社會公益活動，準(zhǔn)備購買一批許愿瓶進(jìn)行銷售，并將所得利潤捐給慈善機(jī)構(gòu)，根據(jù)市場調(diào)查，這種許愿瓶一段時間內(nèi)的銷售量（個與銷售單價（元個）之間的關(guān)系式為，許愿瓶的進(jìn)價為6元個．（1）按照上述市場調(diào)查的銷售規(guī)律，求銷售利潤（元與銷售單價（元個）之間的函數(shù)解析式；為了方便顧客，售價定為多少時可獲利1200元？（2）若許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，試確定此時的銷售單價，并求出此時的最大利潤．解：（1）由題意可得，，當(dāng)時，，解得，，，故為了方便顧客，售價定為10元，即銷售利潤（元與銷售單價（元個）之間的函數(shù)解析式是，為了方便顧客，售價定為10元時可獲利1200元；（2）由題意可得，，解得，，，，當(dāng)時，隨著的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，又，當(dāng)時，取得最大值，此時，即許愿瓶的進(jìn)貨成本不超過900元，要想獲得最大利潤，此時的銷售單價是15元，此時的最大利潤是1350元．20．（8分）如圖所示，某施工隊(duì)要測量隧道長度，米，，施工隊(duì)站在點(diǎn)處看向，測得仰角為，再由走到處測量，，米，測得處的仰角為，求隧道長．，，解：，，，，，是等腰直角三角形，米，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，，四邊形是矩形，米，，在中，，（米，（米，米，（米，隧道長為350米．21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2；（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象直接寫出的解集；（3）將直線沿向上平移后的直線與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)，如果△的面積為10，求平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式．解：（1）直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，當(dāng)時，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，，不等式的解集為或；（3）如圖，設(shè)平移后的直線與軸交于點(diǎn)，連接，，，△的面積與△的面積相等，△的面積為10，，即，，，，設(shè)平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，可得，解得，平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式為．22．（12分）如圖，在菱形中，是銳角，是邊上的動點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)，時，①求證：△△；②連接，，求證：．（2）如圖2，當(dāng)時，延長交射線于點(diǎn)，延長交射線于點(diǎn)，連結(jié)，，若，，當(dāng)時，①求的長；②直接寫出的值．【解答】（1）證明：①四