專題3.4 函數(shù)的應用（一）（3類必考點）（人教A版2019必修第一冊）（原卷版）

專題3.4函數(shù)的應用（一）TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：一次、二次、分式函數(shù)模型】 1【考點2：分段函數(shù)模型】 4【考點3：冪函數(shù)模型】 9【考點1：一次、二次、分式函數(shù)模型】【知識點：一次、二次、分式函數(shù)模型】函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)分式函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)或y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)1．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風衣，日銷售量x（件）與單價P（元）之間的關系為P=160?2x，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中C=500+30x，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷量x的取值范圍是（

）A．20≤x≤30，x∈N? B．20≤x≤45C．15≤x≤30，x∈N? D．15≤x≤452．某單位計劃建一矩形場地，現(xiàn)有總長度為100m的可作為圍墻的材料，則場地的面積S(單位：m2)與場地的長x(單位：m)的函數(shù)關系式為____________．3．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入R是單位產(chǎn)量Q的函數(shù)：R(Q)=4Q?1200Q4．某商場銷售A型商品，已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關系如表所示：銷售單價/元45678910日均銷售量/件400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，則此商品的定價（單位：元/件）應為_________________.5．某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比.已知投資1萬元時，兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元.(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關系.(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，怎樣分配資金才能獲得最大收益？其收益最大為多少萬元？6．隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展，環(huán)保問題已經(jīng)成為一個不容忽視的問題，而與每個居民的日常生活密切相關的就是水資源問題.某污水處理廠在國家環(huán)保部門的支持下，引進新設備，污水處理能力大大提高.已知該廠每月的污水處理量最少為50萬噸，最多為200萬噸，月處理成本y（萬元）與月處理量x（萬噸）之間的函數(shù)關系可近似地表示為y=(1)該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低？(2)該廠每月能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤.7．全國文明城市稱號是反映中國大陸城市整體文明水平的最高榮譽稱號．太原市某社區(qū)響應市委號召，在全面開展“創(chuàng)城”的基礎上，對一塊空閑地進行改造，計劃建一面積為4000m(1)設占用空地的面積為S（單位：m2），矩形休閑廣場東西距離為x（單位：m，x>0），試用x表示為S(2)當x為多少時，占用空地的面積最少？并求最小值．8．為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時間x(單位：天)變化的關系如下：當0≤x≤4時，y=168?x?1；當4<x≤10時，y=5?12(1)若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天？(2)若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個單位的凈化劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值．(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：2取1.4)【考點2：分段函數(shù)模型】【知識點：分段函數(shù)模型求解策略】(1)實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成，如出租車票價與路程之間的關系，應構建分段函數(shù)模型求解．(2)構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習）哈爾濱市某高級中學為了在冬季供暖時減少能源損耗，利用暑假時間在教學樓的屋頂和外墻建造隔熱層.本次施工要建造可使用30年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元.由于建造工藝及耗材等方面的影響，該教學樓每年的能源消耗費用T（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：當0≤x≤5時，T(x)=k3x+4；當5<x≤10時，T(x)=1(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小.并求最小值.2．（2022·上海市松江二中高三階段練習）新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻.生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬元，每生產(chǎn)x萬箱，需另投入成本px萬元，當產(chǎn)量不足60萬箱時，px=(1)求口罩銷售利潤y（萬元）關于產(chǎn)量x（萬箱）的函數(shù)關系式；(2)當產(chǎn)量為多少萬箱時，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤最大？3．（2022·河北·邢臺市第二中學高三階段練習）第四屆中國國際進口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行.本屆進博會有4000多項新產(chǎn)品?新技術?新服務.某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展，通過展會調(diào)研，中國甲企業(yè)計劃在2022年與該跨國公司合資生產(chǎn)此款空調(diào).生產(chǎn)此款空調(diào)預計全年需投入固定成本260萬元，生產(chǎn)x千臺空調(diào)，需另投入資金R萬元，且R=10x2(1)求2022年該企業(yè)年利潤W（萬元）關于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤為多少？注：利潤=銷售額-成本.4．（2022·全國·高一課時練習）甲、乙兩車同時沿某公路從A地出發(fā)，駛往距離A地300km的B地，甲車先以75km/h的速度行駛，在到達A，B中點C處停留2h后，再以100km/h的速度駛往B地，乙車始終以v（單位：km/h）的速度行駛．(1)將甲車與A地的距離表示離開A地的時間t（單位：h）的函數(shù)ft(2)若兩車在圖中恰好相遇兩次（不包括A，B兩地），試求乙車行駛速度v的取值范圍．5．（2022·湖北·華中師大一附中高一開學考試）某店購進一種今年新上市的飾品進行銷售，飾品的進價為每件40元，售價為每件60元，每月可賣出300件，市場調(diào)查反映：調(diào)整價格時，售價每漲1元每月要少賣10件，售價每下降1元每月要多賣20件，為了獲得更大的利潤，現(xiàn)將商品售價調(diào)整為60+x（元/件）（其中x∈Z,x>0即售價上漲，x<0即售價下降），每月商品銷量為y（件），月利潤為(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關系式：(2)當銷售價格是多少時才能使月利潤最大？求最大月利潤？6．（2022·全國·高一課時練習）噴繪在商業(yè)廣告、宣傳等領域應用廣泛，噴繪畫面是使用噴繪機打印出來的，噴繪機工作時相當于一條直線（噴嘴）連續(xù)掃過一張畫布．一家廣告公司在一個等腰梯形OABC的畫布上使用噴繪機印刷廣告，畫布的底角為45°，上底長2米，下底長4米，如圖所示，記梯形OABC位于直線x=t0<1≤4左側(cè)的圖形（陰影部分）的面積為f(1)試求ft(2)定義“f(t)t”為“平均噴繪率”，求g(t)=7．（2022·安徽·高三階段練習）為響應國家環(huán)保的號召，某企業(yè)計劃2020年引進新型環(huán)保設備生產(chǎn)新能源汽車，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，每生產(chǎn)x（百輛）汽車，需另投入成本C(x)萬元，且C(x)=10(1)求2020年的利潤L（萬元）關于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關系式L(x)（其中利潤=銷售額-成本）(2)當2020年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求最大利潤．8．（2021·福建省永泰縣第二中學高一階段練習）永泰青云山特產(chǎn)經(jīng)營店銷售某種品牌蜜餞，蜜餞每盒進價為8元，預計這種蜜餞以每盒20元的價格銷售時該店一天可銷售20盒，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每盒蜜餞的銷售價格在每盒20元的基礎上每減少一元則增加銷售4盒，每增加一元則減少銷售1盒，現(xiàn)設每盒蜜餞的銷售價格為x元．(1)寫出該特產(chǎn)店一天內(nèi)銷售這種蜜餞所獲得的利潤y（元）與每盒蜜餞的銷售價格x的函數(shù)關系式；(2)當每盒蜜餞銷售價格x為多少時，該特產(chǎn)店一天內(nèi)利潤y（元）最大，并求出這個最大值．9．（2022·湖南師大附中高一階段練習）黨的十八大以來，精準扶貧取得了歷史性成就，其中產(chǎn)業(yè)扶貧是扶貧工作的一項重要舉措，長沙某駐村扶貧小組在湘西某貧困村實施產(chǎn)業(yè)扶貧，計劃幫助該村進行獼猴桃的種植與銷售，為了迎合大眾需求，提高銷售量，將以裝盒售賣的方式銷售．經(jīng)市場調(diào)研，若要提高銷售量，則獼猴桃的售價需要相應的降低，已知獼猴桃的種植與包裝成本為24元/盒，且每萬盒獼猴桃的銷售收入I(x)（單位：萬元）與售價量x（單位：萬盒）之間滿足關系式I(x)={56?2x,0<x≤10(1)寫出利潤F(x)（單位：萬元）關于銷售量x（單位：萬盒）的關系式；（利潤=銷售收入－成本）(2)當銷售量為多少萬盒時，該村能夠獲得最大利潤？此時最大利潤是多少？【考點3：冪函數(shù)模型】【知識點：冪函數(shù)模型】函數(shù)模型函數(shù)解析式冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)1．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%2．（2022·全國·高三專題練習）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（A．14 B．12 C．233．（2022·全國·高一課時練習）為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為y=kx3，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256A．12 B．14 C．2 4．（2022·全國·高一課時練習）某公司的收入由保險業(yè)務收入和理財業(yè)務收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險業(yè)務收入為150億元，理財業(yè)務收入為50億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預計每年總收入比前一年增加20億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過理財業(yè)務的收入是前一年的t倍，若要使得該公司2025年的保險業(yè)務收入不高于當年總收入的60%，則t的值至少為（

）A．52.4 B．53.6 C．62.45．（2022·全國·高一課時練習）為改善環(huán)境，某城市對