531組合課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

3

組合互動(dòng)學(xué)習(xí)達(dá)標(biāo)小練自

主

預(yù)

習(xí)[課標(biāo)解讀]1.通過(guò)實(shí)例，理解組合的概念，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式.2.能夠利用組合數(shù)公式解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.[素養(yǎng)目標(biāo)]水平一：1

.能從教材實(shí)例中抽象出組合的概念(數(shù)學(xué)抽象).2.

通過(guò)實(shí)例，理解組合與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的關(guān)系，能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式(數(shù)學(xué)抽象).3.通過(guò)組合知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算).水平二：1.借助組合數(shù)公式及組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算).2.能用枚舉

法寫出一個(gè)組合問(wèn)題的所有的組合(邏輯推理).3.能用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算).自主預(yù)習(xí)1.組合的概念一般地，從n

個(gè)不同元素中，任取

m(m≤n,且

m,n∈N+)個(gè)元素為一

組，叫作從n

個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組

合

.我們把有關(guān)求組合的

個(gè)數(shù)問(wèn)題叫作組合問(wèn)題.課前篇自主預(yù)習(xí)·

知識(shí)梳理·知識(shí)點(diǎn)一組合2.組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別從排列與組合的定義可知，兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)

個(gè)元素的計(jì)數(shù)問(wèn)題，它們的差別是：排列需要考慮元素順序，組合不需要考慮元素順序.也就是說(shuō)：只有元素相同且順序也相同的兩個(gè)排列

才是相同的；只要兩個(gè)組合元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合

.知識(shí)點(diǎn)二

組合數(shù)1.組合數(shù)的概念從

n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,

且m,n∈N+)個(gè)元素的所有組合個(gè)

數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,

且m,n∈N+)個(gè)元素的組合數(shù)，

記作Cm.2.組合數(shù)公式及其性質(zhì)(1)公式：(2)性質(zhì)：(3)規(guī)定：Ch=

1.·問(wèn)題初探·

1.“abc”和“acb”是相同的排列還是相同的組合?提示：由于“abc”與

“acb”的元素相同，但排列的順序不同，所以“abc”

與“acb”是相同的組合，但不是相同的排列.2.怎樣理解組合，它與排列有何區(qū)別?提示：(1

)組合要求n個(gè)元素是不同的，被取的m個(gè)元素也是不同的，即從

n個(gè)不同的元素中進(jìn)行m

次不放回地取出.(2)取出的m

個(gè)元素不講究順序，也就是說(shuō)元素沒(méi)有位置的要求，無(wú)序性是組合的特點(diǎn).(3)辨別一個(gè)問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵看選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某一問(wèn)題中某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)

題，否則就是組合問(wèn)題。3.如何理解組合與組合數(shù)這兩個(gè)概念?提示：同“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念一樣，“組合”與“組合

數(shù)”也是兩個(gè)不同的概念，“組合”是指“從n個(gè)不同元素中取m(m≤n,且m,n∈N+)

個(gè)元素合成一組”,它不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事；“組

合數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且

m,n∈N+)

個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).例如，從3個(gè)不同元素a,b,c

中每次取出

兩個(gè)元素的組合為ab,ac,bc,

其中每一種都叫一個(gè)組合，這些組合共有3

個(gè)，則組合數(shù)為3.互動(dòng)學(xué)習(xí)課堂篇

互動(dòng)學(xué)習(xí)類

型

寫出問(wèn)題的組合[例1]

寫出從5位同學(xué)中選3位同學(xué)去社區(qū)服務(wù)的所有組合.[解]解法一：用

A,B,C,D,E分別表示5位同學(xué)，可按AB→AC→AD→BC→BD→CD

順序?qū)懗觯此运薪M合為ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE

,BDE,CDE.解法二：用A,B,C,D,E分別表示5位同學(xué)，畫出樹形圖，如圖所示

.由此可以寫出所有的組合：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.通法提煉1.此類列舉所有從n個(gè)不同元素中選出m個(gè)元素的組合，可借助“順序后移

法”或“樹形圖法”,直觀地寫出組合做到不重復(fù)不遺漏.2.由于組合與順序無(wú)關(guān).故利用“順序后移法”時(shí)箭頭向后逐步推進(jìn)，且寫出的一個(gè)組合不可交換位置.如寫出ab

后，不必再交換位置為ba,因?yàn)樗鼈兪?/p>

同一組合.畫“樹形圖”時(shí)，應(yīng)注意頂層及下枝的排列思路，防止重復(fù)或遺漏.變式訓(xùn)練1

(1)在圓周上有5個(gè)點(diǎn)，則以這5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有10個(gè).解析：設(shè)圓周上5個(gè)點(diǎn)分別為A,B,C,D,E,由于任意3點(diǎn)不共

線，所以只需從這5個(gè)點(diǎn)中任意取出3個(gè)點(diǎn)均可構(gòu)成三角形，屬于組合問(wèn)

題，所有的組合為{A,B,C},{A,B,D},{A,B,E},{A,C,D},{A,C,E},{A,D,E},{B,C,D},{B,C,E},{B,D,E},{C,D,E},共10種.(2)如已知a,b,c,d

這四個(gè)元素，寫出每次取出2個(gè)元素的所有組合.解：可

按a→b→c→d順序?qū)懗?，即所以所有組合為ab,ac,ad,bc,bd,cd.[例2]

(1)計(jì)算：①+C?0

·(2)證明：類型

二

組合數(shù)公式的應(yīng)用;②;③●③解法一：原式=C3+Cs-c4+c4-Cs+…+C41-C4o=Cf?=330.解法二：原式=C4+c3+C3+…+C?o=Cs+C3+…+Cio=C6+c6②∵

∴9.5≤n≤10.5,∵n∈N*,∴n=10,十…+C?o=…=C4o+C?o=Cf?=330.(2)證明：解法一：左邊=右邊，原結(jié)論得證。解法二：利用公式Cm=cm-1+cm=1

推得左邊=(cm+

1+cm)+(Cm+通法提煉有關(guān)組合數(shù)的兩個(gè)公式的應(yīng)用范疇是有所區(qū)別的，常用于n,

m

為具體自然數(shù)的題目，一般偏向于具體組合數(shù)的計(jì)算；公式常用于n,m為字母或含有字母的式子的題目，一般偏向于方程的求解或有關(guān)組合數(shù)

的恒等式的證明.變式訓(xùn)練2

(1)計(jì)算：(②Cy+C5+C2+C3+C4+C5.(2)求證：;(2)證明：因?yàn)轭愋?/p>

簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題[例3]

在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從

中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn).在下列條件下，有多少種不同的選法?(1)任意選5人；(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加.[解]

(1)從中任取5人是組合問(wèn)題，共有Ci?=792(種)不同的選法.(2)甲、乙、丙三人必須參加，則只需要從另外9人中選2人，是組合問(wèn)題，共有C?=36(種)不同的選法.(3)甲、乙、丙三人不能參加，則只需從另外的9人中選5人，共有C5

=126(種)不同的選法.(4)甲、乙、丙三人有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，

有C

1=3

(種)選法；再?gòu)牧硗?人中選4人，有C9種選法.共有C3c9=378(種)不同的選法.通法提煉解答簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題的思考方法：(1)弄清要做的這件事是什么事.(2)選出的元素是否與順序有關(guān)，也就是看看是不是組合問(wèn)題.(3)結(jié)合兩計(jì)數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結(jié)果.變式訓(xùn)練3

現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.(1)現(xiàn)要從中選2名教師去參加會(huì)議，有多少種不同的選法?(2)選出2名男教師或2名女教師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種?(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法?解：(1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)為●(2)可把問(wèn)題分兩類情況：第一類，選出的2名是男教師有C?種選法；第二類，選出的2名是女教師有C2種選法。根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有C6+c2=15+6=21(種)不同的選法。(3)從6名男教師中選2名的選法有C6種，從4名女教師中選2名的選法有C2種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有

(種)不同的

選法.類

型

四

分組分配問(wèn)題[例4]

6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.[解]

(1)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到C6c2c2=90(種).(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有C6c2c2種方法，這個(gè)過(guò)程可以分

兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有A3種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得c?c2c2=xA3,所以

●

因此分為三份，每份兩本一共有15種方法.(3)這是“不均勻分組”問(wèn)題，一共有C?csc3=60(種)方法。(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有C?csc3A3=360(種)方法.(5)可以分為三類情況：①“2,2,2型”即(1)中的分配情況，有c6c2c2=90(種)方法；②“1,2,3型”即(4)中的分配情況，有C?csc3A3?

=360(種)方法；③“1,1,4型”,有C6A3=90

(種)方法.所以一共有90+360+90=540(種)方法.常見形式處理方法非均勻編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A

·Am均勻編號(hào)分組n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為

·Am通法提煉1.組合應(yīng)用題中分配問(wèn)題的常見形式及處理方法如下表所示A

A通法提煉2.分配問(wèn)題的處理途徑將

n

個(gè)元素按一定要求分給m

個(gè)人，稱為分配問(wèn)題.分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是

有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不可區(qū)分的；而后者即使兩個(gè)元素個(gè)數(shù)相同，但因人不同，仍然是可區(qū)分的.對(duì)于這類問(wèn)題必須遵循先分

組后排列的原則.變式訓(xùn)練4

將4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子中.(1)每盒至多一球，有多少種放法?(2)每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有

多少種放法?(3)把4個(gè)不同的小球換成4個(gè)相同的小球，恰有一個(gè)空盒，有多少種放

法?(4)把4個(gè)不同的小球換成20個(gè)相同的小球，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不少

它的編號(hào)數(shù)，有多少種放法?解：(1)這是全排列問(wèn)題，共有A4=24

(種)放法。(2)1個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同的選法有C4種，當(dāng)1個(gè)球與1個(gè)盒子的編號(hào)相同時(shí)，用局部列舉法可知其余3個(gè)球的投放方法有2種，故共有c4·2=8

(種)放法。(3)先從四個(gè)盒子中選出三個(gè)盒子，再?gòu)娜齻€(gè)盒子中選出一個(gè)盒子放入

兩個(gè)球，余下兩個(gè)盒子各放一個(gè).由于球是相同的，即沒(méi)有順序，所以屬于

組合問(wèn)題，故共有C4c1=12

(種)放法。(4)(隔板法)先將編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)盒子分別放入0,1,2,3個(gè)球，再把剩下的14個(gè)球分成四組，即在○○○○○○○○○○○○○○這14個(gè)球中間的13個(gè)空中放入三塊隔板，共有C?3=286(種)放法，如O0|O0000|O00|O00○,即編號(hào)為1,2,3,4的盒子分別放入2,6,5,7個(gè)球.達(dá)標(biāo)小練1.以下四個(gè)命題，屬于組合問(wèn)題的是(C)A.從3個(gè)不同的小球中，取出2個(gè)排成一列B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C.在電視節(jié)目中，主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D.從13位司機(jī)中任選出兩位開兩輛車從甲地到乙地檢測(cè)篇達(dá)標(biāo)小練解析：選

項(xiàng)A是排列問(wèn)題，因?yàn)?個(gè)小球有順序；選項(xiàng)B是排列問(wèn)題，因?yàn)榧?、乙位置互換后是不同的排列方式；選項(xiàng)C是組合問(wèn)題，因?yàn)?位觀眾無(wú)

順序；選項(xiàng)D是排列問(wèn)題，因?yàn)閮晌凰緳C(jī)開哪一輛車是不同的.故選C.2.計(jì)算7C6-4C4的值為(

A

)A.0B.1

C.360

D.1203.某小組有10名學(xué)生，其中3名女生，從中選3名代表，要求至少有1名女

生，則有不同的選法種數(shù)是

(

D)A.120B.108C.100