26.2 實(shí)際問題與反比例函數(shù)（導(dǎo)學(xué)案）九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列（人教版）

26.2實(shí)際問題與反比例函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1運(yùn)用反比例函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題.2經(jīng)歷“實(shí)際問題－建立模型－拓展應(yīng)用”的過程，發(fā)展學(xué)生分析、解決問題的能力.3經(jīng)歷運(yùn)用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的思想.復(fù)習(xí)鞏固【提問一】回顧反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)？【提問二】k的正負(fù)決定了什么？新知探究【問題一】市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104m3的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室．1）儲(chǔ)存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？2）公司決定把儲(chǔ)存室地底面積S定為500m23）當(dāng)施工隊(duì)按（2）中的計(jì)劃掘進(jìn)到地下15m時(shí)，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改為15m．相應(yīng)地，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）？【問題二】碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間．1）輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？2）由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸【問題三】公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿定律”：若兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡。通俗一點(diǎn)可以描述為：阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂【提問】在我們使用撬棍時(shí)，如何操作可以比較省力撬動(dòng)物體呢？為什么？【問題四】小偉想用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m1)動(dòng)力F與動(dòng)力臂L有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當(dāng)動(dòng)力臂為1.5米時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力？2)若想使動(dòng)力F不超過題(2)中所用力的一半，則動(dòng)力臂至少要加長多少米？【問題五】一個(gè)用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為110～220歐姆.已知電壓為220伏，這個(gè)用電器的電路圖如圖所示.1)輸出功率P與電阻R有怎樣的關(guān)系？2)用電器輸出功率的范圍多大？典例分析例1某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（單位：千帕）隨氣體體積V（單位：立方米）的變化而變化，P隨V的變化情況如下表所示．1）寫出符合表格數(shù)據(jù)的P關(guān)于V的函數(shù)表達(dá)式___________；2）當(dāng)氣球的體積為20立方米時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P為多少千帕？3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，依照?）中的函數(shù)表達(dá)式，基于安全考慮，氣球的體積至少為多少立方米？【針對(duì)訓(xùn)練】1.密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)容器的體積V（單位：m3）變化時(shí)，氣體的密度ρ（單位：kg/m3）隨之變化，已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.1）求密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式；2）當(dāng)密度ρ不低于4kg/m3時(shí)，求二氧化碳體積的取值范圍。2.一列貨車從北京開往烏魯木齊，以58km/h的平均速度行駛需要65h．為了實(shí)施西部大開發(fā)，京烏線決定全線提速．1）如果提速后平均速度為vkm/h，全程運(yùn)營時(shí)間為t小時(shí)，試寫出t與v之間的函數(shù)表達(dá)式；2）如果提速后平均速度為78km/h，求提速后全程運(yùn)營時(shí)間；3）如果全程運(yùn)營的時(shí)間控制在40h內(nèi)，那么提速后，平均速度至少應(yīng)為多少？3.強(qiáng)哥駕駛小汽車（出租）勻速地從如皋火車站送客到南京綠口機(jī)場(chǎng)，全程為280km，設(shè)小汽車的行駛時(shí)間為t（單位：h），行駛速度為v（單位：km/h），且全程速度限定為不超120km/h．1）求v關(guān)于t的函數(shù)解析式.2）強(qiáng)哥上午8點(diǎn)駕駛小汽車從如皋火車站出發(fā)．①乘客需在當(dāng)天10點(diǎn)48分至11點(diǎn)30分（含10點(diǎn)48分和11點(diǎn)30分）間到達(dá)南京綠口機(jī)場(chǎng)，求小汽車行駛速度v的范圍；②強(qiáng)哥能否在當(dāng)天10點(diǎn)前到達(dá)綠口機(jī)場(chǎng)？說明理由．能力提升1.我市某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為15﹣20℃的新品種，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚里溫度y（℃）隨時(shí)間x（h）變化的函數(shù)圖象，其中AB段是恒溫階段，BC段是雙曲線y=k1）求k的值；2）恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里溫度在15℃及15℃以上的時(shí)間有多少小時(shí)？2.我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種．圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時(shí)間x（小時(shí)）變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線y=kx1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時(shí)間有多少小時(shí)？2）求k的值；3）當(dāng)x=16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？感受中考1．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（KPa）是氣體體積V（m(1)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓超過150KPa時(shí)，氣球會(huì)爆炸．若將氣球近似看成一個(gè)球體，試估計(jì)氣球的半徑至少為多少時(shí)氣球不會(huì)爆炸（球體的體積公式V=43πr3(2)請(qǐng)你利用P與V的關(guān)系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎．2．（2021·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時(shí)間的變化而變化，上課開始時(shí)，學(xué)生興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0≤x<10和10≤x<20時(shí)，圖象是線段；當(dāng)20≤x≤45時(shí)，圖象是反比例函數(shù)的一部分．（1）求點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值；（2）張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，使學(xué)生在聽這道綜合題的講解時(shí)，注意力指標(biāo)都不低于36？請(qǐng)說明理由．課堂小結(jié)1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？2.利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是什么？【參考答案】新知探究【問題一】市煤氣公司要在地下修建一個(gè)容積為104m3的圓柱形煤氣儲(chǔ)存室．1）儲(chǔ)存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）有怎樣的函數(shù)關(guān)系？2）公司決定把儲(chǔ)存室的底面積S定為500m23）當(dāng)施工隊(duì)按（2）中的計(jì)劃掘進(jìn)到地下15m時(shí)，公司臨時(shí)改變計(jì)劃，把儲(chǔ)存室的深度改為15m．相應(yīng)地，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為多少（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）？解：根據(jù)圓柱的體積公式S圓柱=S底?h∴104=S?d則S關(guān)于d的函數(shù)解析式為S=104d把S=500帶入到函數(shù)解析式S=104則當(dāng)儲(chǔ)存室的底面積為500m2把d=15帶入到函數(shù)解析式S=104d則把儲(chǔ)存室的深度改為15m時(shí)，儲(chǔ)存室的底面積應(yīng)改為666.67m2.【問題二】碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時(shí)間．1）輪船到達(dá)目的地后開始卸貨，平均卸貨速度v（單位：噸/天）與卸貨天數(shù)t之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？2）由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸【提示】本題存在的等量關(guān)系：每日裝載量×裝載天數(shù)=貨物的總量貨物的總量÷卸貨天數(shù)=每日卸貨速度解：1）設(shè)貨物總量為k噸，則根據(jù)已知條件有k=30×8=240，則v關(guān)于t的函數(shù)解析式為v=240把t=5帶入到函數(shù)解析式v=240t從結(jié)果可以看出，如果全部貨物恰好用5天卸完，則平均每天卸載48噸.對(duì)于函數(shù)v=240t這樣若貨物在不超過5天內(nèi)卸完，則平均每天至少要卸貨48噸.【問題三】公元前3世紀(jì)，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿定律”：若兩物體與支點(diǎn)的距離與其重量成反比，則杠桿平衡。通俗一點(diǎn)可以描述為：阻力×阻力臂=動(dòng)力×動(dòng)力臂【提問】在我們使用撬棍時(shí)，如何操作可以比較省力撬動(dòng)物體呢？為什么？若阻力×阻力臂的乘積為定值，則動(dòng)力臂越長，動(dòng)力越小.所以，動(dòng)力臂越長越省力.【問題四】小偉想用撬棍撬動(dòng)一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m1)動(dòng)力F與動(dòng)力臂L有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當(dāng)動(dòng)力臂為1.5米時(shí)，撬動(dòng)石頭至少需要多大的力？2)若想使動(dòng)力F不超過題(2)中所用力的一半，則動(dòng)力臂至少要加長多少米？解：1）根據(jù)杠桿定理，得F?L=1200×0.5=600.所以，F(xiàn)關(guān)于L的函數(shù)解析式為F=600把L=1.5m帶入到函數(shù)解析式F=600L則對(duì)于函數(shù)F=600L2）把F=400×0.5=200（N），帶入到函數(shù)解析式F=600L解得L=3（米），所以3-1.5=1.5（米）對(duì)于函數(shù)F=600L因此若想用力不超過400牛頓的一半，則動(dòng)力臂至少要加長1.5米【問題五】一個(gè)用電器的電阻是可調(diào)節(jié)的，其范圍為110～220歐姆.已知電壓為220伏，這個(gè)用電器的電路圖如圖所示.1)輸出功率P與電阻R有怎樣的關(guān)系？2)用電器輸出功率的范圍多大？解：1）根據(jù)電學(xué)知識(shí)，得p=u2）因?yàn)樵撾娮铻榭烧{(diào)節(jié)的，范圍為100~200Ω則Rmax=220Ω，Rmin=110Ω∴Pmax=u2Rmin=48400110=440（w）∴Pmin=答：此電器功率的范圍220W~440W典例分析例1某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（單位：千帕）隨氣體體積V（單位：立方米）的變化而變化，P隨V的變化情況如下表所示．1）寫出符合表格數(shù)據(jù)的P關(guān)于V的函數(shù)表達(dá)式_____p＝96V______2）當(dāng)氣球的體積為20立方米時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P為多少千帕？3）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，依照?）中的函數(shù)表達(dá)式，基于安全考慮，氣球的體積至少為多少立方米？把v＝20代入p＝96V把p＝144代入p＝96V得，V＝23，故p≤144時(shí)，v≥答：氣球的體積至少為23【針對(duì)訓(xùn)練】1.密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)容器的體積V（單位：m3）變化時(shí)，氣體的密度ρ（單位：kg/m3）隨之變化，已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.1）求密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式；2）當(dāng)密度ρ不低于4kg/m3時(shí)，求二氧化碳體積的取值范圍。1）解：設(shè)密度ρ與體積V的反比例函數(shù)解析式為ρ=kv把點(diǎn)（6，2）代入解ρ=kv，得k=12，

∴密度ρ與體積V的反比例函數(shù)解析式為ρ=122）由圖象得：當(dāng)ρ≥4時(shí)，0＜v≤3，

答：當(dāng)密度ρ不低于4kg/m3時(shí)，二氧化碳體積的取值范圍是0＜v≤3．2.一列貨車從北京開往烏魯木齊，以58km/h的平均速度行駛需要65h．為了實(shí)施西部大開發(fā)，京烏線決定全線提速．1）如果提速后平均速度為vkm/h，全程運(yùn)營時(shí)間為t小時(shí)，試寫出t與v之間的函數(shù)表達(dá)式；2）如果提速后平均速度為78km/h，求提速后全程運(yùn)營時(shí)間；3）如果全程運(yùn)營的時(shí)間控制在40h內(nèi)，那么提速后，平均速度至少應(yīng)為多少？解：1）總路程為58×65＝3770km，故提速后t與v之間的函數(shù)表達(dá)式為：t＝37702）當(dāng)v＝78km/h時(shí)，t＝377078＝4813h，答：提速后全程運(yùn)營時(shí)間為483）∵全程運(yùn)營的時(shí)間控制在40h內(nèi)，∴平均速度應(yīng)為：v≥377040答：提速后，平均速度至少應(yīng)為94.25km/h．3.強(qiáng)哥駕駛小汽車（出租）勻速地從如皋火車站送客到南京綠口機(jī)場(chǎng)，全程為280km，設(shè)小汽車的行駛時(shí)間為t（單位：h），行駛速度為v（單位：km/h），且全程速度限定為不超120km/h．1）求v關(guān)于t的函數(shù)解析式.2）強(qiáng)哥上午8點(diǎn)駕駛小汽車從如皋火車站出發(fā)．①乘客需在當(dāng)天10點(diǎn)48分至11點(diǎn)30分（含10點(diǎn)48分和11點(diǎn)30分）間到達(dá)南京祿口機(jī)場(chǎng)，求小汽車行駛速度v的范圍；②強(qiáng)哥能否在當(dāng)天10點(diǎn)前到達(dá)綠口機(jī)場(chǎng)？說明理由．1）解：∵vt＝280，且全程速度限定為不超過120千米/小時(shí)，∴v關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為：v＝280t（t≥7①8點(diǎn)至10點(diǎn)48分時(shí)間長為145將t＝3.5代入v＝280t得vmin＝80km/h；將t＝145代入v＝280t∴小汽車行駛速度v的范圍為：80km/h≤v≤100km/h；不能．理由如下：8點(diǎn)至10點(diǎn)前時(shí)間長為2小時(shí)，將t＝2代入v＝280t故強(qiáng)哥不能在當(dāng)天10點(diǎn)前到達(dá)綠口機(jī)場(chǎng)能力提升1.我市某蔬菜生產(chǎn)基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為15﹣20℃的新品種，如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚里溫度y（℃）隨時(shí)間x（h）變化的函數(shù)圖象，其中AB段是恒溫階段，BC段是雙曲線y=kx1）求k的值；2）恒溫系統(tǒng)在一天內(nèi)保持大棚里溫度在15℃及15℃以上的時(shí)間有多少小時(shí)？解：1）把B（12，20）代入y=k2）設(shè)AD的解析式為：y=mx+n．把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：{n=102m+n=20，解得：∴AD的解析式為：y=5x+10．當(dāng)y=15時(shí)，15=5x+10，x=1，15=240x，x=240152.我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種．圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時(shí)間x（小時(shí)）變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線y=kx的一部分．請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問題：1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時(shí)間有多少小時(shí)？2）求k的值；3）當(dāng)x=16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？解：1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時(shí)間為12﹣2=10小時(shí).2）∵點(diǎn)B（12，18）在雙曲線y=kx的上，∴183）由（2）y=216x，當(dāng)x=16時(shí)，∴當(dāng)x=16時(shí)，大棚內(nèi)的溫度約為13.5℃.感受中考1．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在