橢圓及其標準方程(第1課時)

橢圓及其標準方程(第1課時)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：橢圓的定義及其標準方程的推導(dǎo)．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版選修2－1第二章第2節(jié)《橢圓》第1課時內(nèi)容．在此之前學(xué)習了曲線與方程以及圓的方程，初步具備了解析幾何的思想和用坐標法研究曲線問題的經(jīng)驗．另外，橢圓的學(xué)習為后面研究雙曲線、拋物線提供了基本模式，是本節(jié)和本章的重點內(nèi)容．故本節(jié)課的學(xué)習有著示范性的作用．教學(xué)中應(yīng)當引起充分重視．橢圓的定義，較為抽象，用細繩畫橢圓的方法將橢圓定義具體化．這對學(xué)生提出了較高的思維能力要求，這也是新課程標準中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求之一．教學(xué)中應(yīng)當引起充分重視．二、目標和目標解析目標：（1）用細繩畫橢圓的方法將橢圓的定義具體化，加強對橢圓定義與圖形的理解，在這過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．（2）在橢圓方程的推導(dǎo)過程中，會根據(jù)橢圓的圖形特征，選擇合理建系方法，理解橢圓標準方程之“標準”所在；會根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的化簡方法，提高運算能力．（3）理解橢圓標準方程的特征及參數(shù)，，的幾何意義，能根據(jù)條件利用橢圓定義法或方程的待定系數(shù)法，求出橢圓的標準方程．目標解析：（1）對橢圓的認識，先從直觀感受再到理性認識，這與歷史上對橢圓的研究歷程是一致的．但橢圓的定義是發(fā)生式定義，較為抽象，故借助細繩畫橢圓的方法可以將定義具體化，所畫圖像確實與印象中的橢圓是一致的．細繩畫橢圓的方法既有利于對橢圓定義的理解，還有助于對橢圓對稱性的理解與分析，在這過程中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力．（2）通過類比圓方程最簡潔形式時，圓與坐標系的對稱關(guān)系，可以找到怎樣根據(jù)橢圓的圖形特征建立坐標系，使得橢圓方程更簡潔，并能找到各參數(shù)對應(yīng)的幾何意義，從而也就能更好地說明橢圓標準方程之“標準”所在．另外，在化簡過程中，到底是直接兩邊平方還是移項后再平方，可以通過分析得到初步判斷，移項后兩邊平方只剩下一個根號和一次式，形式更簡單．但直接兩邊平方，利用式子對稱的結(jié)構(gòu)特征進行運算的話，其實也不難．所以可以借此機會與學(xué)生強調(diào)，化簡方程時利用式子的結(jié)構(gòu)特征可以簡化運算，提高運算能力．提升方程化簡能力是提高數(shù)學(xué)運算能力的落腳點，這也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求之一．（3）橢圓標準方程時建立在特定坐標系下的對應(yīng)方程，此時參數(shù)，，都有對應(yīng)的幾何意義．那么反過來，利用參數(shù)的幾何意義及橢圓的定義，就可以快速地求出橢圓的標準方程．也可以利用方程的思想，采用待定系數(shù)法求出橢圓的標準方程．三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：怎樣將生活中對橢圓的認識與橢圓的定義聯(lián)系起來，這是本節(jié)課的第一個教學(xué)問題．這不僅是本節(jié)課的重點，也是教學(xué)難點．解決方案：從歷史角度看，對橢圓的認識，先是借圓錐的斜截面邊緣來定義，再上升到從點運動的軌跡來重新定義．但橢圓的定義是發(fā)生式定義，較為抽象，借助細繩畫橢圓的方法可以將定義具體化，所畫圖像確實與印象中的橢圓是一致的，從而將生活中對橢圓的認識與橢圓定義聯(lián)系起來．2．教學(xué)問題二：如何建立坐標系并理解橢圓標準方程之“標準”的意義，是第二個教學(xué)問題．其實任何一種建系方法都是可以求出對應(yīng)的橢圓方程，但不同建系方法求得的方程復(fù)雜程度不同．怎么建立坐標系才能使得方程更簡潔？解決方案：可以類比圓方程最簡潔的形式所對應(yīng)的坐標系——圓心在原點，圓關(guān)于軸、軸、原點對稱．根據(jù)細繩畫橢圓的過程，可以得到橢圓關(guān)于兩定點所在直線對稱，關(guān)于線段的中垂線對稱，且兩對稱軸的交點是橢圓對稱中心，從而確定了坐標系的建立方法．且經(jīng)過換元，方程形式最簡潔，還能找到參數(shù)，，的幾何意義，這就是標準之所在．3．教學(xué)問題三：如何化簡方程，是第三個教學(xué)問題．學(xué)生目前化簡方程能力是比較弱的，對于含根號的式子進行化簡，常用兩邊平方法．到底是直接兩邊平方還是移項后兩邊平方更簡便？解決方案：師生共同分析式子的結(jié)構(gòu)特征，先選用移項后兩邊平方法進行化簡，學(xué)生嘗試化簡，教師板書化簡過程；然后教師再利用式子的結(jié)構(gòu)特征進行直接兩邊平方進行化簡，讓學(xué)生感悟到利用好式子對稱的結(jié)構(gòu)特征，其實直接兩邊平方也可以快速化簡的，還能提高學(xué)生的化簡方程的能力．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點．在教學(xué)過程中，重視橢圓定義的理解，讓學(xué)生體會到對橢圓的直觀認識上升到理性認識，從直觀幾何到解析幾何的變化．經(jīng)歷從形到數(shù)，再從數(shù)到形的過程，理解數(shù)形結(jié)合是解析幾何的重要思想．同時，方程化簡是提高數(shù)學(xué)運算能力的落腳點．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機結(jié)合的嘗試．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點定為：理解橢圓的定義，推導(dǎo)橢圓的標準方程．教學(xué)難點：理解橢圓的定義及如何化簡橢圓方程．教學(xué)準備：教師為每個小組準備一張白色卡紙，一條細繩；學(xué)生自備鉛筆．教學(xué)流程：創(chuàng)設(shè)情境，深入思考定義橢圓，實驗探究建系化簡，推導(dǎo)方程創(chuàng)設(shè)情境，深入思考定義橢圓，實驗探究建系化簡，推導(dǎo)方程類比推理，分類討論歸納總結(jié)，明晰重點例題研討，學(xué)以致用類比推理，分類討論歸納總結(jié)，明晰重點例題研討，學(xué)以致用五、教學(xué)過程與設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖情境引入認識橢圓【問題1】觀看視頻，你能從視頻中的事物中抽象出橢圓的形狀嗎？【問題2】數(shù)學(xué)中橢圓該如何定義呢？教師1：上至天文，地球的運行軌道是橢圓，探月衛(wèi)星在飛向月球之前經(jīng)歷了多次橢圓軌道的飛行．下至百姓家庭，茶幾的桌面可能是橢圓形的，菜碟也可能是橢圓形的．提出問題1．學(xué)生1：思考問題1．教師2：提出問題2．學(xué)生2：思考問題2．教師3：歷史上，人們最初對橢圓的認識，是從圓錐開始的．用一個平面斜截一個圓錐，所得平面的邊緣稱為橢圓．從這個認識來看，學(xué)生3：學(xué)生思考．教師4：一個茶杯裝了一定體積的水，稍微傾斜所得水平面的邊緣是橢圓嗎？為什么？學(xué)生4：是橢圓，可以把水平面看成是平面斜截圓柱所得的截面，則水平面邊緣是橢圓．教師5：根據(jù)橢圓的這個認識，能判斷地球運行的軌道是橢圓嗎？學(xué)生5：學(xué)生思考，無法判斷．教師6：人們發(fā)現(xiàn)，橢圓不僅存在于圓柱、圓錐面上，更是自然界物體運動的普遍形式，所以可以從運動的角度重新定義橢圓．創(chuàng)設(shè)情境將對橢圓的感性認識上升為理性認識，從直觀幾何轉(zhuǎn)化為解析幾何．定義橢圓實驗探究【實驗探究】取一條定長的細繩，若把細繩兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？【問題3】結(jié)合所畫圖像，并思考該實驗涉及到了哪些點和距離，哪些是變化的，哪些是不變的？若把繩子的兩端拉直，則所畫圖像會是什么？【問題4】應(yīng)該如何完善剛才對橢圓的定義？教師7：給出橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點、的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡叫做橢圓．下面，我們利用實驗將橢圓定義具體化．提出實驗探究活動．學(xué)生6：完成實驗探究并展示成果——所畫圖像為橢圓．教師8：成果分析，提出問題3．學(xué)生7：學(xué)生思考問題3并回答，兩定點的距離越大，橢圓越扁；把繩子兩端拉直，則所畫圖像是線段．教師9：多媒體動畫展示．并分析線段上每一點到兩端點的距離之和也是定值，則提出問題4．學(xué)生8：思考問題4并完善定義，常數(shù)應(yīng)大于．教師10：強調(diào)橢圓定義的關(guān)鍵要素（兩定點、距離和、常數(shù)大于）及介紹橢圓的焦點、焦距．讓學(xué)生通過探究活動，更好地理解橢圓的定義，體會畫橢圓的方法及定義中的關(guān)鍵要素．合理建系推導(dǎo)方程【問題5】如何建立坐標系更好？使得方程更簡潔．【問題6】圓方程最簡潔形式是什么？此時圓與坐標系的關(guān)系是什么？【問題7】從橢圓的畫法中，你能發(fā)現(xiàn)橢圓有哪些對稱性？【問題8】如何化簡以下式子？方法一：移項兩邊平方法方法二：直接兩邊平方法【問題9】觀察下圖，你能找到表示，的線段嗎？教師11：上一節(jié)課，我們學(xué)習了求曲線方程的步驟，有哪些呢？學(xué)生9：建系、設(shè)點、列式、化簡、證明，五個步驟．教師12：提出問題5．學(xué)生10：思考問題5．教師13：我們可以類比一下圓方程與坐標系的關(guān)系．提出問題6．學(xué)生11：思考并回答問題6，圓心在原點時，圓方程最簡潔，此時圓關(guān)于軸、軸、原點對稱．教師14：提出問題7．學(xué)生12：思考問題7，師生共同進行圖像分析并得出結(jié)論：橢圓關(guān)于兩定點所在直線對稱，關(guān)于線段的中垂線對稱，且兩對稱軸交點是橢圓對稱中心．教師15：以兩對稱軸為坐標軸建立坐標系，設(shè)點，列式，并提出問題8．學(xué)生13：嘗試化簡．教師16：師生共同利用兩種方法化簡至：．教師17：提出問題9．學(xué)生14：學(xué)生思考．教師18：令，則（1）式可化為：（）（2）．教師19：從上述過程可以看到，橢圓上任一點的坐標都滿足方程（2）；以方程（2）的解為坐標的點到橢圓的兩個焦點的距離之和為，即以方程（2）的解為坐標的點都在橢圓上．則（2）為橢圓的方程．教師20：談對“標準”的理解：方程（）形式最簡潔，字母，都有幾何意義．教師21：（）的特征有哪些？學(xué)生15：思考并回答上述問題．類比圓方程最簡形式與坐標系的關(guān)系，根據(jù)橢圓的對稱性選擇最佳建系方法推導(dǎo)橢圓的方程，進而更好地理解標準方程之“標準”所在．在推導(dǎo)方程過程中，利用兩種常用的平方法，引導(dǎo)學(xué)生在化簡時要注意分析式子的結(jié)構(gòu)特征，選擇對應(yīng)的化簡方法，提高運算能力．類比推理分類討論【問題10】如果焦點在軸上，原點為兩焦點的中點，則橢圓方程是什么？【問題11】觀察兩種標準方程的式子，如何判斷焦點所在軸？教師21：提出問題10．學(xué)生16：利用類比的方法，得到方程：（）．教師22：提出問題11．學(xué)生17：哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上．總結(jié)方程特征，明確方程與焦點的對應(yīng)關(guān)系．例題研討學(xué)以致用例1：已知橢圓的兩個焦點坐標分別是，，并且經(jīng)過點，求它的標準方程．教師23：布置課堂例題1．學(xué)生18：完成課堂例題1．方法一：定義法方法二：方程組法教師24：講解例題1．檢驗學(xué)生對橢圓標準方程的理解與應(yīng)用．歸納小結(jié)明晰重點1．橢圓的定義，焦點、焦距的概念；2．橢圓的兩種標準方程：（）（）．師生共同完成．總結(jié)學(xué)習要點．課后練習鞏固提升1．課本P49A組第1