北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題12 多邊形與圓的初步認(rèn)識(shí)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（9大題型）（原卷版+解析）

專題12多邊形與圓的初步認(rèn)識(shí)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（9大題型）

言【題型目錄】

題型一平面圖形形狀的識(shí)別

題型二用七巧板拼圖形

題型三多邊形的概念與分類

題型四多邊形的周長(zhǎng)

題型五網(wǎng)格中多邊形面積比較

題型六多邊形對(duì)角線的條數(shù)問題

題型七對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問題

題型八平面鑲嵌

題型九圓的周長(zhǎng)與面積問題

j【經(jīng)典題型一平面圖形形狀的識(shí)別】

1.下列圖形中，空白部分和陰影部分的面積相等但周長(zhǎng)不相等的是（）.

D.

3.一個(gè)正方形去掉一個(gè)角后所得到的圖形最少有條邊.

4.如圖所示是一座房子的圖片，其中的圖形有

5.如圖所示，把一個(gè)等腰三角形沿著中間的折痕剪開，得到兩個(gè)形狀和大小完全相同的直角三角形，將這

兩個(gè)直角三角形拼在一起，使得它們有一條相等的邊是公共邊，能拼出多少種不同形狀的平面圖形？請(qǐng)畫

出這些圖形.（原三角形不計(jì)）

【經(jīng)典題型二用七巧板拼圖形】

1.用邊長(zhǎng)為1dm的正方形紙板，制成一副七巧板，將它拼成“小天鵝”圖案，其中陰影部分的而積是（）

C.-dm2D.—dm2

48216

2.七巧板被西方人稱為“東方魔板”.如圖的兩幅圖是由同一副七巧板拼成的.已知七巧板拼成的正方形的

邊長(zhǎng)為4cm,貝廠一帆風(fēng)順”圖中陰影部分的面積為（）

C.2cm2D.1cm2

3.七巧板被西方人稱為“東方魔術(shù)”，如圖所示的兩幅圖是由同一個(gè)七巧板拼成的.已知七巧板拼成的大正

方形（如圖1）的邊長(zhǎng)為2,若圖2的“小狐貍”圖案中陰影部分面積記為S.貝—.

4.“四巧板''乂稱丁字之迷，是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具.“四巧板”由一塊長(zhǎng)方形（拼圖中的大寫“一

“字）分解的4塊不規(guī)則形狀組成.其中有大小不同的直角梯形各一塊，等腰直角三角形一塊，凹五邊形一

塊.這幾個(gè)多邊形的內(nèi)角除了有直角外,還有45。、135。和270。的角.如圖是一副“四巧板”:

請(qǐng)你用這四塊圖形拼成如圖所示的“箭頭”式樣（示意圖）,只需在“箭頭”中畫出分割線，并寫出相應(yīng)的圖形

［經(jīng)典題型三多邊形的概念與分類】

1.如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）

△n。。a

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

2.下列判斷：（1）各邊長(zhǎng)相等的多邊形是正多邊形：（2）各角都相等的多邊形是正多邊形：（3）等邊三角

形是正多邊形：（4）長(zhǎng)方形是正多邊形.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖所示的多邊形分別是、、、和.

4.我們熟悉的平面圖形中的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、圓等，它們是由若干條的

線段首尾順次相連組成的圖形.

5.隨著科技的發(fā)展，在公共區(qū)域內(nèi)安裝“360。智能全景攝像頭”成為保護(hù)人民生命財(cái)產(chǎn)安全的有效手段.如

圖I所示，這是某倉(cāng)庫(kù)的平面圖，點(diǎn)。是圖形內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)片是圖形內(nèi)的點(diǎn)，連接片Q,若線段1Q總是

C.4〃?+6〃D.3/〃+2〃

2.如圖是一塊電腦主板的示意圖，每一轉(zhuǎn)角處都是直角，數(shù)據(jù)如圖所示（單位：〃?m），則該主板的周長(zhǎng)是

C.80〃〃〃D.84〃〃〃

3.如圖，將四邊形A8CO沿8。、AC剪開，得到四個(gè)全等的直角三角形，已知，OA=4,OB=3,AB=5

將這四個(gè)直角三角形拼為?個(gè)沒有重疊和縫隙的四邊形，則重新拼成的四邊形的周長(zhǎng)為

4.如圖，在邊長(zhǎng)為。的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形然后將余下的部分剪開拼成如

圖所示的長(zhǎng)方形，若記大正方形的周長(zhǎng)為C-拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為C2,則G與的大小關(guān)系是.

5.已知正n邊形的周長(zhǎng)為60,邊長(zhǎng)為a

（1）當(dāng)『3時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的值；

（2）把正n邊形的周長(zhǎng)與邊數(shù)同時(shí)增加7后，假設(shè)得到的仍是王多邊形，它的邊數(shù)為n+7,冏長(zhǎng)為67,邊

長(zhǎng)為b.有人分別取n等于3,20,120,再求出相應(yīng)的a與b,然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，

a與b一定不相等.”你認(rèn)為這種說法對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)求出不符合這一說法的n的值.

【經(jīng)典題型五網(wǎng)格中多邊形面積比較】

1.如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為I,以Q4為半徑的扇形A08經(jīng)過平移到達(dá)扇形AOB'的位置,

那么圖中陰影部分的面積是（）.

A.8B.6C.6.5D.7.5

2.如圖所示的方格（每個(gè)小方格面積為I）中陰影部分為兩個(gè)軸對(duì)稱型的漢字，圖①中漢字面積為圖

②中漢字的面積為邑，則$-52的值為（）

D.6

3.如圖，小個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，圖中四邊形ABC。的面積為

〃的正方形“形變”得到的，若這個(gè)菱形一組對(duì)邊之間的距底為h,則稱

（為這個(gè)菱形的“形變度”?

（1）一個(gè)"形變度''為2的菱形與其"形變”前的正方形的面積之比為

3

（2）如圖，A,B,C為菱形網(wǎng)格（每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)為1,“形變度”為-）中的格點(diǎn)則一ABC的面

積為

5.小聰同學(xué)記得，在作業(yè)本中曾介紹了奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形面積的公式：

S=a+kb-\,其中〃表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，/，表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)，不過，他忘了系數(shù)的值，請(qǐng)你

運(yùn)用下面的圖形解決問題，下列圖形中有四個(gè)相鄰點(diǎn)圍城的正方形面積是1個(gè)單位面積

（1）計(jì)算圖①中正方形的面積，并求系數(shù)k的值

（2）利用面積公式，求出圖②、圖③的多邊形的面積

①②

5【經(jīng)典題型六多邊形對(duì)角線的條數(shù)問題】

1.為了豐富同學(xué)們的課余生活，東辰學(xué)校初二年級(jí)計(jì)劃舉行一次籃球比賽，從3個(gè)分部中選出15支隊(duì)伍

參加比賽，比賽采用單循環(huán)制（限每個(gè)隊(duì)與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)），則這次聯(lián)賽共有（）場(chǎng)比賽.

A.30B.45C.105D.210

2.如果從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作它的對(duì)角線，最多能將多邊形分成2011個(gè)三角形，那么這個(gè)多邊

形是（）

A.2012邊形B.2013邊形C.2014邊形D.2015邊形

3.若過/〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，〃邊形沒有對(duì)角線，攵邊形有攵條對(duì)角線，正力邊形的內(nèi)角和與外

角和相等，貝IJ代數(shù)式網(wǎng).

4.過某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出8條對(duì)角線，這些對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成個(gè)三角形.

5.探究歸納題：

（1）如圖1,經(jīng)過四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把四邊形分成個(gè)三角形:

（2）如圖2,經(jīng)過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把五邊形分成個(gè)三角形;

（3）探索歸納：對(duì)于〃邊形過一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把〃邊形分成個(gè)三角形;

（用含〃的式子表示）

（4）如果經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作100條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

41經(jīng)典題型七對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問題】

I.從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)

為（）

A.2001B.2005C.2004D.2006

2.有下列說法：①由許多條線段連接而成的圖形叫做多邊形；②從一個(gè)多邊形（邊數(shù)為〃）的同一個(gè)頂點(diǎn)

出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余與之不相鄰的各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊形分割成（〃-2）個(gè)三角形；③角的

邊越長(zhǎng)，角越大；④一條射線就是一個(gè)周角.其中正確的結(jié)論有（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.0個(gè)

3.從一個(gè)多邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)事發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，若把這個(gè)多邊形被分割成2018個(gè)

三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

4.過四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫一條對(duì)角線，且把四邊形分成兩個(gè)三角形；過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫兩條

對(duì)角線，且把五邊形分成三個(gè)三角形；……猜想：過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫條對(duì)角線，且把n邊

形分成個(gè)三角形.

5.某中學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)課外興趣小組在探究:“〃邊形5>3）共有多少條對(duì)角線”這一問題時(shí)，設(shè)計(jì)了如下表格，

請(qǐng)?jiān)诒砀裰械臋M線上填上相應(yīng)的結(jié)果：

???

多邊形的邊數(shù)456n

從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)2???

1——

多邊形對(duì)角線的總條數(shù)???

2———

應(yīng)用得到的結(jié)果解決以下問題:

①求十二邊形有多少條對(duì)角線？

②過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線條數(shù)與這些對(duì)角線分多邊形所得的三角形個(gè)數(shù)的和可能為2023嗎？若

能，請(qǐng)求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由.

4【經(jīng)典題型八平面鑲嵌】

1.一個(gè)頂點(diǎn)周圍用2個(gè)正方形和〃個(gè)正三角形恰好無縫隙、無重疊嵌入，則〃的值是（）

A.2B.3C.4D.5

2.墾區(qū)小城鎮(zhèn)建設(shè)如火如荼，小紅家買了新樓.爸爸在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形四種瓷磚

中，只購(gòu)買一種瓷磚進(jìn)行平鋪，有幾種購(gòu)買方式（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

3.如圖，用正多邊形鑲嵌地面，則圖中a的大小為度.

4.現(xiàn)有四種地面徜，它們的形狀分別是：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形，且它們的邊長(zhǎng)都相等，

同時(shí)選擇其中兩種地面磚密鋪地面，選擇的方式有種.

5.我們?cè)谟眠呴L(zhǎng)相同的正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌時(shí)，各正多邊形重合的頂點(diǎn)叫拼接點(diǎn)，如圖1,。就是拼接

點(diǎn).我們發(fā)現(xiàn)，各正多邊形的以拼接點(diǎn)為頂點(diǎn)的內(nèi)角之和為360°（注：若不能等于360。，則不能鑲嵌）.

⑴如果我們只用一種邊長(zhǎng)相同的正多邊形鑲嵌，那么下面正多邊形中，不能進(jìn)行鑲嵌的是.（填序號(hào)）

①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形.

（2）為了使鑲嵌圖案美麗多變，我們有時(shí)也可以用邊長(zhǎng)相同的兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，如圖2,正三角形與

正方形的平面鑲嵌，在一個(gè)拼接點(diǎn)的周圍有3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形.

①如果我們用邊長(zhǎng)相同的正三角形與正六邊形進(jìn)行鑲嵌，求?個(gè)拼接點(diǎn)的周圍有幾個(gè)正三角形和幾個(gè)正六

邊形;

②我們也可以用邊長(zhǎng)相同的正五邊形和正_____邊形進(jìn)行鑲嵌.

31經(jīng)典題型九圓的周長(zhǎng)與面積問題】

1.甲、乙兩個(gè)圓，甲圓的面積是12.56cm?,乙圓的周長(zhǎng)是62.&m,甲、乙兩圓的半徑之比是（）

A.1:5B.1:4C.2:5

2.如圖兩個(gè)半徑都是4cm的圓外切于點(diǎn)C,一只螞蟻由點(diǎn)A開始依A、B、C、。、E、F、C、G、A的順序

沿著圓周上的8段長(zhǎng)度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走2。）6兀5］后才停下來，

則螞蟻停的那一個(gè)點(diǎn)為（）

A.。點(diǎn)B.E點(diǎn)C./點(diǎn)D.G點(diǎn)

3.“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到.例如：在探究圓面積計(jì)算公式時(shí)（如下圖），把

一個(gè)圓平均分成若干等份，剪開拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形.這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于（），長(zhǎng)方形的寬就

是圓的（），因此圓的面積是（）.

4.國(guó)際奧委會(huì)會(huì)旗上的圖案是由代表五大洲的五個(gè)圓環(huán)組成，現(xiàn)在在某體育館前的草坪上要修剪出此圖

案.已知，每個(gè)圓環(huán)的內(nèi)、外半徑分別為4米和5米，圖中重疊部分的每個(gè)小曲邊四邊形的面積都為1平

方米，若修剪每平方米的人工費(fèi)用為10元，則修剪此圖案所花費(fèi)的人工費(fèi)為元（兀取3）.

5.如圖，直徑為1個(gè)單位的圓片上有一點(diǎn)A與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，A4是圓片的直徑.

1」[IIII

-5-4-3-2一2345

R

（1）把圓片沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)。的位置，點(diǎn)C表示的數(shù)是數(shù)（填“無理”或“有

理”），這個(gè)數(shù)是;

（2）把圓片沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)2周，點(diǎn)A到達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)。的位置，點(diǎn)。表示的數(shù)是；

（3）圓片在數(shù)軸上向右滾動(dòng)的周數(shù)記為正數(shù)，圓片在數(shù)軸上向左滾動(dòng)的周數(shù)記為負(fù)數(shù)，依次運(yùn)動(dòng)情況記錄

如下：+2,-1,+3?-4,-3

①第幾次滾動(dòng)后，4點(diǎn)距離原點(diǎn)最近？第幾次滾動(dòng)后，A點(diǎn)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)？

②當(dāng)圓片結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)是多少？

【重難點(diǎn)訓(xùn)練】

1.（2023上?陜西延安?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）若一個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引4條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形

對(duì)角線的總數(shù)為（）

A.14B.28C.24D.20

2.（2023上?黑龍江綏化?六年級(jí)?？计谥校┘?、乙兩個(gè)圓，甲圓的面積是12.56cm，乙圓的周長(zhǎng)是62.8cm,

甲、乙兩圓的半徑之比是（）

A.1:5B.1:4C.2:5

3.（2021上?陜西渭南?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）從一個(gè)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，

可以把這個(gè)多邊形分割成5個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（：）

A.5B.6C.7D.8

4.（2023下?山東泰安?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D兩個(gè)半徑都是4cm的圓外切于點(diǎn)C,一只螞蟻由點(diǎn)A開始依A、

B、C、。、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長(zhǎng)度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行,

直到行走2006兀cm后才停下來，則螞蟻停的那一個(gè)點(diǎn)為（）

A.。點(diǎn)B.E點(diǎn)C.r點(diǎn)D.G點(diǎn)

5.（2023下?浙江紹興?八年級(jí)統(tǒng)考期末）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被西方人譽(yù)為“東方魔板已

知如圖所示是一副正方形七巧板：相同的板規(guī)定序號(hào)相同）.現(xiàn)從七巧板中取出四塊（序號(hào)可以相同）拼成

一個(gè)小正方形（無空隙不重疊），則可以拼成的序號(hào)是（）

A.②?③④B.@@②③C.①①②④D.①①②⑤

6.（2023下?四川遂寧?七年級(jí)射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）某裝修店旦出售下列形狀的地磚：（1）正三角形；（2）

正方形：（3）正六邊形：（4）正人邊形，若選購(gòu)一種或兩種地磚來鋪滿地面，則購(gòu)買方案共有種.

7.（2023上?河北保定?七年級(jí)保定市第十七中學(xué)?？奸_學(xué)考試）“轉(zhuǎn)化”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在學(xué)習(xí)

中經(jīng)常用到.例如：在探究圓面積計(jì)算公式時(shí)（如下圖），把一個(gè)圓平均分成若干等份，剪開拼成一個(gè)近似

的長(zhǎng)方形.這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于（），長(zhǎng)方形的寬就是圓的（），因此圓的面積是（）.

8.（2023下?山東青島?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的七巧板起源于我國(guó)先秦時(shí)期，由古算書《周髀算經(jīng)》中

關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)過歷代演變而成，19世紀(jì)傳到國(guó)外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國(guó)的拼圖”）.圖

2是由邊長(zhǎng)為2的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中拍起的“腿”（即陰影部分）的面

積為.

圖1圖2

9.（2023下?湖南衡陽(yáng)?七年級(jí)校考期中）若過〃，邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，〃邊形沒有對(duì)角線，左邊形

有2條對(duì)角線，正〃邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則代數(shù)式小佃-幻”=.

10.（2022下.八年級(jí)單元測(cè)試）用正多邊形來鑲嵌平面的原理是共頂點(diǎn)的各個(gè)角之和必須等于360。.現(xiàn)在

有七種不同的正多邊形：①正三角形、②正方形、③正六邊形、④正八邊形、⑤正十邊形、⑥正十二邊形、

⑦正十五邊形.請(qǐng)你用其中的不同的三種正多邊形來鑲嵌平面，這三種正多邊形可以是：.（請(qǐng)用序

號(hào)表示，只需寫出兩種即可）

11.（2023上?河南新鄉(xiāng)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）探究歸納題:

圖1圖2圖3

（1）如圖1.經(jīng)過四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把四邊形分成個(gè)三龜形:

（2）如圖2,經(jīng)過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把五邊形分成個(gè)三角形；

⑶探索歸納：對(duì)于〃邊形（〃>3）,過一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把〃邊形分成個(gè)三角形;

（用含〃的式子表示）

⑷如果經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作100條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

12.（2023上?江西上饒?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們?cè)谟眠呴L(zhǎng)相同的正多邊形進(jìn)行平面鑲嵌時(shí)，各正多邊形

重合的頂點(diǎn)叫拼接點(diǎn)，如圖1,。就是拼接點(diǎn).我們發(fā)現(xiàn)，各正多邊形的以拼接點(diǎn)為頂點(diǎn)的內(nèi)角之和為360。

（注：若不能等于360%則不能鑲嵌）.

圖1圖2

⑴如果我們只用一種邊長(zhǎng)相同的正多邊形鑲嵌，那么下面正多邊形中，不能進(jìn)行鑲嵌的是.(填序號(hào))

①正三角形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形.

(2)為了使鑲嵌圖案美麗多變，我們有時(shí)也可以用邊長(zhǎng)相同的兩種正多邊形進(jìn)行鑲嵌，如圖2,正三角形與

正方形的平面鑲嵌，在一個(gè)拼接點(diǎn)的周圍有3個(gè)正三角形和2個(gè)正方形.

①如果我們用邊長(zhǎng)相同的正三角形與正六邊形進(jìn)行鑲嵌，求一個(gè)拼接點(diǎn)的周圍有幾個(gè)正三角形和幾個(gè)正六

邊形;

②我們也可以用邊長(zhǎng)相同的正五邊形和正邊形進(jìn)行鑲嵌.

13.(2023下?河南新鄉(xiāng)七年級(jí)期中)課本上介紹了求多邊形的內(nèi)角和的方法：過〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角

線，把〃邊形分成(〃-2)個(gè)三角形，把求多邊形的問題轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和的問題，從而得到〃邊形的內(nèi)角

和等于(〃-2)x180。.現(xiàn)在再提供一種添輔助線的方案，請(qǐng)將方案補(bǔ)充完整，并說明“〃邊形的內(nèi)角和等于

14.(2023下?廣東深圳?七年級(jí)統(tǒng)考期末)隨著科技的發(fā)展，在公共區(qū)域內(nèi)安裝“360。智能全景攝像頭”成為

保護(hù)人民生命財(cái)產(chǎn)安全的有效手段.如圖1所示，這是某倉(cāng)庫(kù)的平面圖，點(diǎn)。是圖形內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)々是

圖形內(nèi)的點(diǎn)，連接RQ,若線段40總是在圖形內(nèi)或圖形上，則稱6是“完美觀測(cè)點(diǎn)“，此處便可安裝攝像頭,

而打不是“完美觀測(cè)點(diǎn)

圖1

（1）如圖2,以下各點(diǎn)是完美觀測(cè)點(diǎn)的是（只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）

M：.

M；

?M

圖2

A.MB.M2C.%D.%

⑵如圖3,在圖形內(nèi)作出兩個(gè)完美觀測(cè)點(diǎn)，并分別用字母A、B表示；

圖3

（3）圖4是某景觀大樓的平面圖，請(qǐng)作出該圖形中由所有“完美觀測(cè)點(diǎn)”組成的圖形，并用陰影表示.

15.（2023下?山東聊城?七年級(jí)校琰考期末）某中學(xué)七年級(jí)數(shù)學(xué)課外興趣小組在探究：“〃邊形（〃>3）共有多

少條對(duì)角線”這?問題時(shí)，設(shè)計(jì)了如下表格，請(qǐng)?jiān)诒砀裰械臋M線上填上相應(yīng)的結(jié)果:

???

多邊形的邊數(shù)456n

???

從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)12——

多邊形對(duì)角線的總條數(shù)2———

應(yīng)用得到的結(jié)果解決以下問題:

①求十二邊形有多少條對(duì)角線？

②過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線條數(shù)與這些對(duì)角線分多邊形所得的三角形個(gè)數(shù)的和可能為2023嗎？若

能，請(qǐng)求出這個(gè)多邊形的邊數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由.

專題12多邊形與圓的初步認(rèn)識(shí)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（9大題型）

言【題型目錄】

題型一平面圖形形狀的識(shí)別

題型二用七巧板拼圖形

題型三多邊形的概念與分類

題型四多邊形的周長(zhǎng)

題型五網(wǎng)格中多邊形面積比較

題型六多邊形對(duì)角線的條數(shù)問題

題型七對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問題

題型八平面鑲嵌

題型九圓的周長(zhǎng)與面積問題

1經(jīng)典題型一平面圖形形狀的識(shí)別】

1.下列圖形中，空白部分和陰影部分的面積相等但周長(zhǎng)不相等的是（）.

【分析［緊密結(jié)合圖形的特點(diǎn)判斷即可.

【詳解】A項(xiàng)，空白部分和陰影部分的面積相等，周長(zhǎng)也相等，不符合題意：

B項(xiàng)，空白部分和陰影部分的面積相等，周長(zhǎng)不相等，符合題意；

C項(xiàng)，空白部分和陰影部分的面積不相等，周長(zhǎng)相等，不符合題意；

D項(xiàng)，空白部分和陰影部分的面積不相等，周長(zhǎng)也不相等，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了常規(guī)圖形的識(shí)別，掌握相關(guān)圖形的特點(diǎn)，是解答本題的關(guān)鍵.

2.圍成下列這些立體圖形的各個(gè)面中，都是平的面為（）

川

【答案】D

【分析】根據(jù)平面圖形的各點(diǎn)在同一平面上即可判斷.

【詳解】解：A、球面不是平面，故本選項(xiàng)不符合題意;

B、側(cè)面不是平面，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、側(cè)面不是平面，故本選項(xiàng)不符合題意;

D、每個(gè)面都是平面，故本選項(xiàng)符合題意,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的概念，難度不大，注意掌握平面圖形的特點(diǎn)是解答的關(guān)鍵.

3.一個(gè)正方形去掉一個(gè)角后所得到的圖形最少有條邊.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，注意各種情況，不要漏解.

【詳解】如圖所示：一個(gè)正方形去掉一個(gè)角后有3種情況，

工最少有3條邊.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形，關(guān)鍵是考慮全面，分類討論.

4.如圖所示是一座房子的圖片，其中的圖形有.

【答案】三角形、四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形、圓

【分析】根據(jù)平面圖形的概念求解即可.

【詳解】根據(jù)題意可得，

其中的圖形有三角形、四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形、圓.

故答案為：三角形、四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形、圓.

【點(diǎn)睛】此題考查了簡(jiǎn)單的平面圖形，解題的關(guān)鍵是正確認(rèn)識(shí)常見的平面圖形.

5.如圖所示，把一個(gè)等腰三角形沿著中間的折痕剪開，得到兩個(gè)形狀和大小完全相同的直角三角形，將這

兩個(gè)直角三角形拼在一起，使得它們有一條相等的邊是公共邊，能拼出多少種不同形狀的平面圖形？請(qǐng)畫

出這些圖形.（原三角形不計(jì)）

【答案】5種，圖見解析

【分析】由于等腰三角形的兩腰相等，且底邊的高線即是底邊的中線，所以把任意相等的兩邊重合組成圖

形即可.

【詳解】解：如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的剪拼，分類討論是解答此題的關(guān)鍵.

4【經(jīng)典題型二用七巧板拼圖形】

1.用邊長(zhǎng)為1dm的正方形紙板，制成一副七巧板，將它拼成“小天鵝”圖案，其中陰影部分的面積是（）

C.-dm2D.—dm2

216

【答案】B

【分析】根據(jù)圖示可知，“小天鵝”圖案是由邊長(zhǎng)是1分米的正方形切拼而成，所以“小天鵝”圖案的面積等于

這個(gè)正方形的面積.根據(jù)陰影部分的面積占整個(gè)正方形面積的分率求解即可.

【詳解】解：如圖：

a

答：陰影部分的面積為gdn?.

O

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查組合圖形的面積，關(guān)鍵是分清陰影部分與整個(gè)圖形的關(guān)系.

2.七巧板被西方人稱為“東方魔板”.如圖的兩幅圖是由同一副七巧板拼成的.已知七巧板拼成的正方形的

邊長(zhǎng)為4cm,則“一帆風(fēng)順”圖中陰影部分的面枳為（）

C.2cm2D.1cm2

【答案】C

【分析】首先確定陰影部分的三角形在七巧板中所屬的部分，再根據(jù)這個(gè)三角形與正方形邊長(zhǎng)的關(guān)系求出

這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，便可以根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行解答.

【詳解】由圖可知“一帆風(fēng)順''圖中陰影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，

這個(gè)等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)度是正方形邊長(zhǎng)的?半，即為4x；=2cm,

1,

:.=—x2x2=2cm",

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的認(rèn)識(shí)與面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是尋找到陰影部分在圖形中所屬的部分，并

熟悉等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式.

3.七巧板被西方人稱為“東方魔術(shù)”，如圖所示的兩幅圖是由同一個(gè)七巧板拼成的.已知七巧板拼成的大正

方形（如圖1）的邊長(zhǎng)為2,若圖2的“小狐貍”圖案中陰影部分面積記為S.則5=—.

3

【答案】-

【分析】利用七巧板的各邊之間的關(guān)系即可求出AE，DE,DF,尸。的K,觀察圖形即可求出陰影部分面

積.

【詳解】由圖可知“小狐貍”圖案中陰影部分面積為圖形①@③④的面積和,

???正方形/WCO的邊長(zhǎng)為2,

???AE=DE=DF=FC=\,

13

2x2--xlx|=-

s=s八0c_s郎=ax

22

3

故答案為：y

【點(diǎn)睛】此題考查了七巧板的知識(shí)，熟練掌握七巧板各邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.“四巧板''又稱丁字之迷，是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具.“四巧板”由-一塊長(zhǎng)方形（拼圖中的大寫“一

“字）分解的4塊不規(guī)則形狀組成.其中有大小不同的直角梯形各一塊，等腰直角三角形一塊，凹五邊形一

塊.這幾個(gè)多邊形的內(nèi)角除了有直角外,還有45。、135。和270。的角.如圖是一副“四巧板”:

請(qǐng)你用這四塊圖形拼成如圖所示的“箭頭”式樣（示意圖），只需在“箭頭”中畫出分割線，并寫出相應(yīng)的圖形

四巧板

【答案】見解析

【分析】根據(jù)要求動(dòng)手操作，畫出圖形即可.

【詳解】解：分割線如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查直角梯形，四巧板，圖形的拼剪等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)動(dòng)手操作，培養(yǎng)動(dòng)手能力.

〃【經(jīng)典題型三多邊形的概念與分類】

1.如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（）

△n。。a

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)多邊形定義，逐個(gè)驗(yàn)證即可得到答案.

【洋解】解：所示的圖形中，第一個(gè)是三角形、第二個(gè)是四邊形、第三個(gè)是圓、第四個(gè)是正六邊形、第五

個(gè)是正方體，

，屬于多邊形的有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè)，共有3個(gè)，

故選；A.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形定義，熟記多邊形定義是解決問題的關(guān)鍵.

2.下列判斷：（1）各邊長(zhǎng)相等的多邊形是正多邊形；（2）各角都相等的多邊形是正多邊形；（3）等邊三角

形是正多邊形：（4）長(zhǎng)方形是正多邊形.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】各個(gè)角都相等，各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.依據(jù)正多邊形的概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：（1）菱形各邊相等，但不是正四邊形，故說法錯(cuò)誤；

（2）長(zhǎng)方形各角都相等，但不是正四邊形，故說法錯(cuò)誤；

（3）等邊三角形三條邊都相等，三個(gè)角都相等，是正多邊形，故說法正確；

（4）長(zhǎng)方形的四個(gè)角相等，但長(zhǎng)與寬不一定相等，所以不一定是正多邊形，故說法錯(cuò)誤.

故正確的有：1個(gè).

故說：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的概念，各個(gè)角都相等，各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

3.如圖所示的多邊形分別是、、、和.

【答案】四邊形五邊形八邊形四邊形五邊形

【分析】根據(jù)多邊形的定義，數(shù)出邊數(shù)即可求解.

【詳解】解：如圖所示的多邊形分別是（1）四邊形;（2）五邊形：（3）八邊形；（4）四邊形；（5）五邊形;

故答案為：（1）四邊形；（2）五邊形；（3）八邊形；（4）四邊形；（5）五邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的定義，熟練掌握多邊形的定義是解題的關(guān)鍵.由在同一平面且不在同一直線

上的三條或三條以上的線段首尾順次連接且不相交所組成的封閉圖形叫做多邊形.

4.我們熟悉的平面圖形中的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、圓等，它們是由若干條的

線段首尾順次相連組成的圖形.

【答案】不在同一直線上封閉平面

5.隨著科技的發(fā)展，在公共區(qū)域內(nèi)安裝“360。智能全景攝像頭”成為保護(hù)人民生命財(cái)產(chǎn)安全的有效手段.如

圖I所示，這是某倉(cāng)庫(kù)的平面圖，點(diǎn)。是圖形內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)片是圖形內(nèi)的點(diǎn)，連接［Q,若線段［Q總是

在圖形內(nèi)或圖形上，則稱片是“完美觀測(cè)點(diǎn)”，此處便可安裝攝像頭，而鳥不是“完美觀測(cè)點(diǎn)

圖1

（1）如圖2,以下各點(diǎn)是完美觀測(cè)點(diǎn)的是（只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的）

M：.

M；

?%

圖2

A.MB.C.%D.%

（2）如圖3,在圖形內(nèi)作出兩個(gè)完美觀測(cè)點(diǎn)，并分別用字母A、B表示:

圖3

（3）圖4是某景觀大樓的平面圖，請(qǐng)作出該圖形中由所有“完美觀測(cè)點(diǎn)”組成的圖形，并用陰影表示.

圖4

【答案】（1）D

Q）見解析

（3）見解析

【分析】（1）根據(jù)完美觀測(cè)點(diǎn)的定義作出完美觀測(cè)點(diǎn)所在的區(qū)域，進(jìn)而可得答案;

（2）根據(jù)完美觀測(cè)點(diǎn)的定義作出完美觀測(cè)點(diǎn)所在的區(qū)域，進(jìn)而可得答案；

（3）根據(jù)完美觀測(cè)點(diǎn)的定義作出完美觀測(cè)點(diǎn)所在的區(qū)域，進(jìn)而可得答案.

【詳解】（1）解：如圖2,陰影部分的區(qū)域（含邊界）內(nèi)的點(diǎn)都是完美觀測(cè)點(diǎn)，

即圾是完美觀測(cè)點(diǎn)，

故選：D；

而

!

?%

圖2

（2）如圖，點(diǎn)A,點(diǎn)B落在圖中見影部分的區(qū)域（含邊界）即可;

圖3

（3）如圖所示：陰影部分即為所求.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的應(yīng)用，正確理解“完美觀測(cè)點(diǎn)”的意義是解題的關(guān)鍵.

1經(jīng)典題型四多邊形的周長(zhǎng)】

1.若長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為2〃?，另一邊長(zhǎng)為3〃，則該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（）

A.6〃?+4〃B.2〃?+3〃

C.4〃?+6〃D.3/〃+2〃

【答案】C

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算公式求解.

【詳解】解：V2（2m13n）=4m16n,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形的應(yīng)用，熟練掌握長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的意義和計(jì)算公式是解題關(guān)鍵.

2.如圖是一塊電腦主板的示意圖,每一轉(zhuǎn)角處都是直角，數(shù)據(jù)如圖所示（單位：〃〃〃），則該主板的周長(zhǎng)是

()

,24|血1!*

C.80〃〃〃D.84〃〃〃

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，電腦主板是一個(gè)多邊形，由周長(zhǎng)的定義可知，周長(zhǎng)是求圍成圖形一周的長(zhǎng)度之和，計(jì)

算周長(zhǎng)只需要把橫著的和豎著的所有線段加起來即可.

【詳解】由圖形可得出：

該主板的周長(zhǎng)是：24+24+16+16+4x4=96(〃〃??)，

故該主板的周長(zhǎng)是96〃〃”，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則多邊形周長(zhǎng)的求解方法，理解周長(zhǎng)的定義是求解的關(guān)鍵.

3.如圖，將四邊形A8CO沿8D、AC剪開，得到四個(gè)全等的直角三角形，已知，OA=4,OB=3,AB=5

將這四個(gè)直角三角形拼為一?個(gè)沒有重疊和縫隙的四邊形，則重新拼成的四邊形的周長(zhǎng)為一.

【答案】20,22,26,28

【分析】以直角三角形邊長(zhǎng)相等的邊為公共邊，拼接四邊形，再計(jì)算周長(zhǎng);

【詳解】解：①如圖周長(zhǎng)=20；

③如圖周長(zhǎng)=26；

④如圖周長(zhǎng)二28；

⑤如圖周長(zhǎng)=22：

22,26,28；

故答案為：20,22,26,28.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的拼接，四邊形的周長(zhǎng)；作出拼接圖形是解題關(guān)鍵.

4.如圖，在邊長(zhǎng)為"的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（。＞〃），然后將余下的部分剪開拼成如

圖所示的長(zhǎng)方形，若記大正方形的周長(zhǎng)為G，拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為G，則G與。2的大小關(guān)系是

【答案】C,=C2

【分析】根據(jù)周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算HJ可.

【詳解】解：左圖的周6=4%右圖的周長(zhǎng)G=2（a+b）+2（a-h）=4a,

所以G=a,

故答案為：C,=C2.

【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)算圖形周長(zhǎng)，理解周長(zhǎng)的定義以及長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算方法是正確解答的前提.

5.已知正n邊形的周長(zhǎng)為60,邊長(zhǎng)為a

（1）當(dāng)n=3時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的值；

（2）把正n邊形的周長(zhǎng)與邊數(shù)同時(shí)增加7后，假設(shè)得到的仍是衛(wèi)多邊形，它的邊數(shù)為n+7,周長(zhǎng)為67,邊

長(zhǎng)為b.有人分別取n等于3,20,120,再求出相應(yīng)的a與b,然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，

a與b一定不相等.”你認(rèn)為這種說法對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)求出不符合這一說法的n的值.

【答案】（1）20（2）不正確

【詳解】試題分析：分析：（1）根據(jù)正多邊形的每條邊相等，可知邊長(zhǎng)二周長(zhǎng):邊數(shù)；

（2）分別表示出a和b的代數(shù)式，讓其相等，看是否有相應(yīng)的值.

試題解析：（1）a=60+3=20；

（2）此說法不正確.

理由如下：盡管當(dāng)n=3、20、120時(shí)，a>b或aVb,

但可令a=b,得竺，

nn+7

:.60n+420=67n,

解得n=60,

經(jīng)檢驗(yàn)n=60是方程的根.

:.當(dāng)n=60時(shí)，a=b,即不符合這一說法的n的值為60.

點(diǎn)睛：本題考查分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是以邊長(zhǎng)作為等量關(guān)系列方程求解，也考查了正多邊形的知識(shí)點(diǎn).

41經(jīng)典題型五網(wǎng)格中多邊形面積比較】

1.如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,以04為半徑的扇形AOB經(jīng)過平移到達(dá)扇形4。5的位置，

那么圖中陰影部分的面積是（）.

C.6.5D.7.5

【答案】B

【分析】如圖：連接AA和A5,可以發(fā)現(xiàn)S陰影=S平行四邊彩人脫T/V，然后求得平行四邊形的面積即可解答.

【詳解】解：連接AB和Ab,則

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求陰影部分的面積，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)換成求平行四邊形的面積是解答本題的

關(guān)鍵.

2.如圖所示的方格（每個(gè)小方格面積為1）中陰影部分為兩個(gè)軸對(duì)稱型的漢字，圖①中漢字面積為圖

②中漢字的面積為邑，則S-S2的值為（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】D

【分析】利用割補(bǔ)法分別求出H和其的面積，再作差即可.

【詳解】解：如圖,

，創(chuàng)I?2-?(15)?4

3=5?74?2

22

=35-8-1-12

=14,

S2=4?94?2-?(17)?3

22

=36-16-12

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查不規(guī)則圖形的面積，掌握割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積是解題關(guān)鍵.

【分析】利用大正方形的面積減去四邊形周圍的小三角形面積即可.

【詳解】解：四邊形A8C。的面積為:

5x5-—x4xl--xlxl-ix4x2-—x3x4=12—,

22222

故答案為：12$.

4

【點(diǎn)睛】此題主要考查了四邊形面積求法，掌握割補(bǔ)法是解題的關(guān)鍵.

4.邊長(zhǎng)為。的菱形是由邊長(zhǎng)為0的正方形“形變”得到的，若這個(gè)菱形一組對(duì)邊之間的距離為力，則稱

7為這個(gè)菱形的“形變度

h

（1）一個(gè)"形變度''為2的菱形與其“形變”前的正方形的面積之比為；

（2）如圖，A,B,C為菱形網(wǎng)格（每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)為1,“形變度”為I）中的格點(diǎn)則的面

【分析】（1）先分別求出菱形和正方形的面積，然后根據(jù)變形度為2求解即可；

（2）先把網(wǎng)格中的菱形當(dāng)成是正方形，然后算出三角形的面積，最后根據(jù)變形度求解即可得到答案.

【詳解】解：（1）???邊長(zhǎng)為〃的正方形面積=力，邊長(zhǎng)為。的菱形面積=R?,

工菱形面積：正方形面積=〃?:/=60,

???菱形的變形度為2,即3=2,

h

:?h:a=l:2.

故答案為：1:2：

3

（2）???菱形邊長(zhǎng)為1,“形變度”為:，

???菱形形變前的面積與形變后面積比為,，

???S3C=（6X6-；X3X6-；X3X6-；X3X3）X,=9.

故答案為:9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了網(wǎng)格中面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確地讀懂題意進(jìn)行求解.

5.小聰同學(xué)記得，在作業(yè)本中曾介紹了奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的一個(gè)計(jì)算點(diǎn)陣中多邊形面積的公式：

S=a+kb-l,其中〃表示多邊形內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)，〃表示多邊形邊界上的點(diǎn)數(shù)，不過，他忘了系數(shù)的值，請(qǐng)你

運(yùn)用下面的圖形解決問題，下列圖形中有四個(gè)相鄰點(diǎn)圍城的正方形面積是1個(gè)單位面積

（1）計(jì)算圖①中正方形的面積，并求系數(shù)攵的值

（2）利用面積公式，求出圖②、圖③的多邊形的面積

①②③

【答案】（1）S=9,k=7：（2）圖②：14,圖③：9.5

【分析】（1）根據(jù)圖像可直接計(jì)算出正方形面積，再數(shù)出a和b的值，代入公式即可計(jì)算k值：

（2）分別得出圖②和圖③中a和b的值，再利用公式求出面積.

【詳解】解：（1）由圖可知：圖①中正方形的邊長(zhǎng)為3,

，面積為3x3=9,

在5幼一1中，對(duì)應(yīng)a=4,b=12,

A9=4+12k-1,

解得:k號(hào)；

（2）圖②中,a=10,b=10,

則S=10+yX10-l=14,

圖③中，a=5,b=ll,

貝ijs=5+^xll-l=9.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了格點(diǎn)圖形的面積的計(jì)算，一個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形網(wǎng)格紙中多邊形面積的公式：

S=4+11的運(yùn)用.

41經(jīng)典題型六多邊形對(duì)角線的條數(shù)問題】

1.為了豐富同學(xué)們的課余生活，東辰學(xué)校初二年級(jí)計(jì)劃舉行一次籃球比賽，從3個(gè)分部中選出15支隊(duì)伍

參加比賽，比賽采用單循環(huán)制（懼每個(gè)隊(duì)與其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)），則這次聯(lián)賽共有（）場(chǎng)比賽.

A.30B.45C.105D.210

【答案】C

【分析】根據(jù)多邊形對(duì)角線的計(jì)算方式可得出，m支球隊(duì)舉行比賽，若每個(gè)球隊(duì)與其他隊(duì)比賽（m-l）場(chǎng),

則兩隊(duì)之間比賽兩場(chǎng)，由于是單循環(huán)比賽，則共比賽ym（m-l）.

【詳解】解：15支球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽，比賽的總場(chǎng)數(shù)為：|xl5x（15-1）=105.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的對(duì)角線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，明確單循環(huán)賽制的含義，利用多邊形

的對(duì)角線條數(shù)的知識(shí)進(jìn)行解答.

2.如果從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作它的對(duì)角線，最多能將多邊形分成2011個(gè)三角形，那么這個(gè)多邊

形是（）

A.2012邊形B.2013邊形C.2014邊形D.2015邊形

【答案】B

【分析】經(jīng)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形，根據(jù)此關(guān)系式求邊數(shù).

【詳解】設(shè)多邊形有n條邊，

則n-2=2011,

解得：n=2OI3.

所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)是2013.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握多邊形對(duì)角線的性質(zhì)與運(yùn)用.

3.若過/〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，〃邊形沒有對(duì)角線，女邊形有A條對(duì)角線，正。邊形的內(nèi)角和與外

角和相等，則代數(shù)式尿（，〃-k）”=.

【答案】500

【分析】若過〃，邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，則〃2=10；〃邊形沒有對(duì)角線，只有三角形沒有對(duì)角線，因

而〃=3；￡邊形有左條對(duì)角線，即得到方程：左伏-3）=3解得k=5：正力邊形的內(nèi)角和與外角和相等，內(nèi)

角和與外角和相等的只有四邊形，因而〃=4.代入解析式就可以求出代數(shù)式的值.

【詳解】解：Q"邊形從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有〃-3條，

.'./?!=7+3=10,n=3,k=5,〃=4；

貝〃一切”=500.

故答案為：500

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握〃邊形從?個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線有〃-3條，共有對(duì)

角線（〃-3）條.

4.過某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出8條對(duì)角線，這些對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成個(gè)三角形.

【答案】9

【分析】根據(jù)過〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，可以引出（〃-3）條對(duì)角線，這些對(duì)角線把該多邊形分成（〃-2）個(gè)三角

形，即可求解.

【詳解】解：???某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引出8條對(duì)角線，

，該多邊形的邊數(shù)為8+3=11,

???這些對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成11-2=9個(gè)三角形.

故答案為：9

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線問題，熟練掌握過〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，可以引出（〃-3）條對(duì)角線，

這些對(duì)角線把該多邊形分成（〃-2）個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵.

5.探究歸納題：

（1）皿圖1,經(jīng)過四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把四邊形分成個(gè)三角形；

（2）如圖2,經(jīng)過五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把五邊形分成個(gè)三角形；

（3）探索歸納：對(duì)于〃邊形（〃>3）,過一個(gè)頂點(diǎn)可以作條對(duì)角線，它把〃邊形分成個(gè)三角形;

（用含〃的式子表示）

（4）如果經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作10（）條對(duì)角線，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

【答案】（1）12

（2）23

（3）（〃-3）（〃-2）

⑷103

【分析】（1）根據(jù)題意畫出對(duì)圖中的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)題意畫出對(duì)圖中的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論，可找到規(guī)律即可得到結(jié)論；

（4）將100代入（3）的結(jié)論中即可得到答案.

【詳解】（1）解：如圖1：

圖1

經(jīng)過1個(gè)頂點(diǎn)做1條對(duì)角線，它把四邊形分為2個(gè)三角形，

故答案為：I，2.

（2）解：運(yùn)用（1）的分析方法，可得：