(人教A版數(shù)學(xué)必修一講義)第5章第04講5.3誘導(dǎo)公式(知識(shí)清單+6類熱點(diǎn)題型講練+分層強(qiáng)化訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

第04講5.3誘導(dǎo)公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握誘導(dǎo)公式的內(nèi)容、規(guī)律適用范圍。②了解誘導(dǎo)公式的作用。③會(huì)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式理解與掌握誘導(dǎo)公式的內(nèi)容，會(huì)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：公式二知識(shí)點(diǎn)二：公式三知識(shí)點(diǎn)三：公式四知識(shí)點(diǎn)四：公式五知識(shí)點(diǎn)五：公式六知識(shí)點(diǎn)六：公式七知識(shí)點(diǎn)七：題型01給角求值問(wèn)題【典例1】（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）（1）；；（2）計(jì)算：．【典例3】（23-24高一·上海·課堂例題）用誘導(dǎo)公式求值：(1)；(2)；(3)；(4).【變式1】（2024·天津河北·模擬預(yù)測(cè)）的值為（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）.【變式3】（23-24高一下·陜西渭南·期中）求值：(1)(2)題型02給值(式)求值問(wèn)題【典例1】（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知，且，則．【典例3】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）已知，且是第三象限角，求的值．【變式1】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）已知，求.【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）已知，且，求的值．題型03三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【典例1】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）化簡(jiǎn)：．【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【典例3】（23-24高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）在①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并解答.已知角，且________.(1)求的值；(2)求的值.【變式1】（23-24高一下·上海黃浦·期中）若，則.【變式2】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）若，求的值．【變式3】（23-24高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)；題型04利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式【典例1】（多選）（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）求證：；（2）設(shè)，求證.【典例3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證：．【變式1】（24-25高一上·上海·課堂例題）證明：．【變式2】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：．【變式3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證：.題型05誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用【典例1】（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，給出下列四個(gè)式子：①；②；③；④.其中為常數(shù)的是（

）A．①③ B．②③C．①④ D．②④【典例2】（多選）（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）在中，下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一下·四川廣安·階段練習(xí)）已知角A為銳角，，(1)求角A的大??；(2)求的值．【變式1】（23-24高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）若的內(nèi)角A，B，C滿足，則A與B的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（23-24高一下·安徽·開(kāi)學(xué)考試）已知銳角三角形中，設(shè)，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）中，若，則形狀為．題型06誘導(dǎo)公式與同角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用【典例1】（23-24高一上·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知角α終邊上一點(diǎn)，求的值．【典例2】（23-24高一上·上?！て谀┮阎?，.(1)求的值；(2)求值：.【典例3】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.【變式1】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）若，，則.【變式2】（23-24高一下·廣西柳州·期中）已知(1)若角的終邊過(guò)點(diǎn)，求；(2)若，求的值．【變式3】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知，求的值.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，那么約等于（

）A．0.20 B．0.80 C．0.88 D．0.952．（23-24高二下·福建泉州·階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，若，則的值為（

）A． B． C． D．四、解答題13．（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）已知，且，求的值．14．（23-24高一下·新疆喀什·期中）求下列各式的值：(1)；(2)．(3).B能力提升1．（23-24高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知，則的值為（

）A． B． C．0 D．2．（23-24高三上·陜西銅川·期末）利用誘導(dǎo)公式可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為之間角的三角函數(shù)值，而這個(gè)范圍內(nèi)的三角函數(shù)值又可以通過(guò)查三角函數(shù)表得到．下表為部分銳角的正弦值，則的值約為（

）0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848A． B． C．0.14 D．0.183．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知，則的值為；4．（23-24高三下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）已知角滿足______.請(qǐng)從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作答.（注：如果多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.條件①：角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為；條件②：角滿足，且角為第四象限角；條件③：角滿足且.(1)求的值；(2)求的值.第04講5.3誘導(dǎo)公式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①掌握誘導(dǎo)公式的內(nèi)容、規(guī)律適用范圍。②了解誘導(dǎo)公式的作用。③會(huì)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明恒等式理解與掌握誘導(dǎo)公式的內(nèi)容，會(huì)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：公式二知識(shí)點(diǎn)二：公式三知識(shí)點(diǎn)三：公式四知識(shí)點(diǎn)四：公式五知識(shí)點(diǎn)五：公式六知識(shí)點(diǎn)六：公式七知識(shí)點(diǎn)七：題型01給角求值問(wèn)題【典例1】（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】，故A不正確；，故B不正確；，故C正確；，故D不正確．故選：C【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）（1）；；（2）計(jì)算：．【答案】//1【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）；；（2）；；.故答案為：【典例3】（23-24高一·上?！ふn堂例題）用誘導(dǎo)公式求值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.【變式1】（2024·天津河北·模擬預(yù)測(cè)）的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】代入誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】.故選：D【變式2】（23-24高一下·陜西渭南·階段練習(xí)）.【答案】【分析】借助誘導(dǎo)公式計(jì)算即可得.【詳解】.故答案為：.【變式3】（23-24高一下·陜西渭南·期中）求值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】（1）.（2）.題型02給值(式)求值問(wèn)題【典例1】（23-24高一下·江西南昌·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知，且，則．【答案】/【分析】根據(jù)已知角與所求角之間的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)關(guān)系求值即可.【詳解】.，，，則，．故答案為：.【典例3】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）已知，且是第三象限角，求的值．【答案】【分析】根據(jù)是第三象限角可求得所在象限，再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙藿牵允堑诙笙藿?，則，又，所以是第二象限角，可得，所以．【變式1】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知.故選：D【變式2】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）已知，求.【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】．【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）已知，且，求的值．【答案】【分析】利用整體代換法以及誘導(dǎo)公式代入計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，所以．題型03三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題【典例1】（24-25高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】原式．【典例2】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和同角關(guān)系式中的商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）原式．（2）原式．【典例3】（23-24高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）在①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到下面的問(wèn)題中，并解答.已知角，且________.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合齊次化方法，可得，解方程求，若選②，根據(jù)同角關(guān)系由求，再求；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】（1）若選①，因?yàn)椋?，則，解得：或，因?yàn)榻?，所以；若選②，因?yàn)?，角，所以，所以；?）由（1）可知，，所以【變式1】（23-24高一下·上海黃浦·期中）若，則.【答案】【分析】由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)即可．【詳解】，故答案為：【變式2】（24-25高一上·全國(guó)·課堂例題）若，求的值．【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】利用誘導(dǎo)公式將原式化簡(jiǎn)可得原式又因?yàn)?，所以．【變?】（23-24高一上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：(1)；(2)；【答案】(1)0(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可；（2）由誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1），，則原式；（2）原式．題型04利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式【典例1】（多選）（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知下列等式的左右兩邊都有意義，則下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】對(duì)于A、B，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)證明即可，對(duì)于C、D，由誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)證明即可.【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【典例2】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）求證：；（2）設(shè)，求證.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)等式中結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一側(cè)，即可證結(jié)論.【詳解】（1）左邊=

=右邊，所以原等式成立.（2）方法1：左邊=

===右邊，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左邊====右邊，等式成立.【典例3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可證明；【詳解】證明：左邊=右邊，所以原式成立．【變式1】（24-25高一上·上海·課堂例題）證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】左邊右邊，所以．【變式2】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：．【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式證明.【詳解】左邊==–tanα=右邊，∴等式成立．【變式3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】證明：左邊==右邊所以原等式成立題型05誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用【典例1】（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)）在中，給出下列四個(gè)式子：①；②；③；④.其中為常數(shù)的是（

）A．①③ B．②③C．①④ D．②④【答案】D【分析】由誘導(dǎo)公式結(jié)合對(duì)選項(xiàng)一一化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】①因?yàn)樵谥?，，所以；②因?yàn)樵谥?，，；③；?故選：B.【典例2】（多選）（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）在中，下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可驗(yàn)證.【詳解】對(duì)于A,,A正確;對(duì)于B,,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,C正確;對(duì)于D,,D錯(cuò)誤.故選:AC.【典例3】（23-24高一下·四川廣安·階段練習(xí)）已知角A為銳角，，(1)求角A的大?。?2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系分析運(yùn)算；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理，并代入，計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由，可得，由角A為銳角，則，所以，故．（2）∵，由（1）可得，即．【變式1】（23-24高三上·江蘇·開(kāi)學(xué)考試）若的內(nèi)角A，B，C滿足，則A與B的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意由可得或，再分類討論，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，且A，B，C為的內(nèi)角，因?yàn)樗运曰?，若，則，此時(shí)不存在，故舍去；∴.故選：A.【變式2】（多選）（23-24高一下·安徽·開(kāi)學(xué)考試）已知銳角三角形中，設(shè)，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)銳角三角形分析角的范圍與關(guān)系，并利用誘導(dǎo)公式，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷正誤.【詳解】解：因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，則，所以，A選項(xiàng)正確；同理，則，，因此，，B，C選項(xiàng)正確；由于，所以在是增函數(shù)，又，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC．【變式3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）中，若，則形狀為．【答案】直角三角形【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，得到，求出，即可確定出三角形形狀．【詳解】解：，，，即，又，即，則為直角三角形．故答案為：直角三角形.題型06誘導(dǎo)公式與同角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用【典例1】（23-24高一上·湖北咸寧·階段練習(xí)）已知角α終邊上一點(diǎn)，求的值．【答案】/【分析】由題可知，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)槭墙铅两K邊上一點(diǎn)，所以，原式，故答案為：．【典例2】（23-24高一上·上?！て谀┮阎?，.(1)求的值；(2)求值：.【答案】(1)(2)【分析】（1）將兩邊平方得到，進(jìn)而求得，與聯(lián)立求出、，即可得解；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，即，所以，又，則，所以，所以，所以，則，所以，，則．（2）因?yàn)?，所?【典例3】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角函數(shù)定義求出，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)并代入求值.（2）求出，利用誘導(dǎo)公式及齊次式法求值.【詳解】（1）依題意，，則，，，所以原式.（2）由（1）知，，所以原式.【變式1】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）若，，則.【答案】/【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，則，由，得，即，解得，所以.故答案為：【變式2】（23-24高一下·廣西柳州·期中）已知(1)若角的終邊過(guò)點(diǎn)，求；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可由三角函數(shù)的定義求解，（2）根據(jù)弦切齊次式即可求解.【詳解】（1）若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則，所以（2）若，所以【變式3】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知，求的值.【答案】3【分析】根據(jù)題意，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，化為正切的齊次式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】原式.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，那么約等于（

）A．0.20 B．0.80 C．0.88 D．0.95【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】.故選：A.2．（23-24高二下·福建泉州·階段練習(xí)）的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】故選：C.3．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式平方關(guān)系計(jì)算得到答案；【詳解】由誘導(dǎo)公式得，又由，可得．故選：A.4．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角形內(nèi)角和與題設(shè)條件，求出，再利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即得.【詳解】因中，，則，則，因，則，故.故選：C.5．（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，且α是第四象限角，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】，即，因?yàn)槭堑谒南笙藿牵?，所?故選：B6．（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知.7．（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，且為第二象限角，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及誘導(dǎo)公式求解，再利用誘導(dǎo)公式和商數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可．【詳解】∵，∴，∴∵α為第二象限角，∴，∴．8．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知角為的三個(gè)內(nèi)角，若，則一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及內(nèi)角和定理得出，從而判斷三角形的形狀.二、多選題9．（23-24高三下·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）在中，下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】在中，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，，不一定為0，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，不一定為0，D錯(cuò)誤.故選：AC10．（23-24高一下·河南南陽(yáng)·期中）下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】DC【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公