(人教A版數學必修一講義)第4章第05講4.5.1函數的零點與方程的解(知識清單+7類熱點題型講練+分層強化訓練)(學生版+解析)

第05講4.5.1函數的零點與方程的解課程標準學習目標①了解函數的零點與方程的解的關系，并能結合函數的圖象判定函數的零點。②能根據函數零點存在性定理對函數零點存在進行判定，同時能處理與函數零點問題相結合的求參數及綜合類的問題。通過本節(jié)課的學習，要求能判定函數零點的存在，同時能解決與函數零點相結合的綜合問題知識點01：函數零點的概念1、函數零點的概念對于一般函數，我們把使的實數叫做函數的零點.幾何定義:函數的零點就是方程的實數解,也就是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標.

這樣：方程有實數解函數有零點函數的圖象與軸有公共點2、已學基本初等函數的零點①一次函數只有一個零點；②反比例函數沒有零點；③指數函數（且）沒有零點；④對數函數（且）只有一個零點1；⑤冪函數當時，有一個零點0；當時，無零點。知識點02：函數零點存在定理及其應用1、函數零點存在定理如果函數在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數在區(qū)間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個條件:①函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個條件缺一不可.2、函數零點的求法①代數法：根據零點定義，求出方程的實數解;②數形結合法：作出函數圖象，利用函數性質求解【即學即練1】（23-24高一下·安徽阜陽·期中）函數的零點是．3、函數零點個數的判斷①利用代數法，求出所有零點；②數形結合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數；③數形結合，通過分離，將原函數拆分成兩個函數，找到兩個函數圖象交點的個數；④函數零點唯一：函數存在零點+函數單調.知識點03：二次函數的零點問題一元二次方程的實數根也稱為函數的零點.當時，一元二次方程的實數根、二次函數的零點之間的關系如下表所示：的實數根（其中）方程無實數根的圖象的零點函數無零點【即學即練2】（23-24高一上·北京海淀·階段練習）若，是二次函數的兩個零點，則的值是（

）A．3 B．9 C．21 D．33題型01求函數的零點【典例1】（多選）（23-24高一上·四川南充·階段練習）已知函數，函數，其中，若函數恰有兩個零點，則函數的零點可以是（

）A． B． C．1 D．2【典例2】（2023高一上·上?！ｎ}練習）求函數的零點.【典例3】（23-24高一·全國·隨堂練習）求下列函數的零點：(1)；(2)；(3)；(4).【變式1】（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知函數，則函數的零點是．【變式2】（23-24高一上·北京通州·期末）函數的零點個數為.【變式3】（2024高一上·全國·專題練習）判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出；否則，請說明理由．(1)；(2)；(3)；(4).題型02函數零點個數的判斷【典例1】（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）函數的零點個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例2】（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）函數的零點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例3】（多選）（23-24高二下·浙江·期末）已知函數，則關于的方程根的個數可能是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函數，則當時，函數的零點個數為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數則函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3】（2024·浙江溫州·三模）已知函數，則關于方程的根個數不可能是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個題型03判斷函數零點所在的區(qū)間【典例1】（23-24高一下·廣東深圳·期末）函數的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·江蘇揚州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）已知函數的零點在區(qū)間內，，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【變式1】（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習）已知函數，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習）函數的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·開學考試）已知函數的零點在區(qū)間內，則整數（

）A． B． C． D．題型04已知零點個數求參數的取值范圍【典例1】（23-24高一上·甘肅白銀·期末）已知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·貴州遵義·階段練習）已知函數，若函數有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一上·廣東揭陽·期末）已知函數，若有2個零點，則實數的取值范圍是.【變式1】（23-24高一上·天津寧河·期末）給定函數，，對于，用表示，中較小者，記為，若方程恰有三個不相等的實數根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（23-24高一上·青海海北·期末）已知函數，有4個零點，則的值可能是（

）A． B． C． D．【變式3】（22-23高三上·甘肅定西·階段練習）已知函數，若關于的方程恰有三個實數根，則的取值范圍為．題型05已知零點所在區(qū)間求參數的取值范圍【典例1】（2023·寧夏銀川·三模）函數在區(qū)間上存在零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（23-24高一上·湖北·階段練習）函數，若關于x的方程有4個不同的實數解，它們從小到大依次為，，，則（

）A． B．C． D．函數有3個零點【典例3】（23-24高三下·天津·階段練習）若方程在區(qū)間上有解，其中，則實數的取值范圍為．（結果用表示）【變式1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數的零點為.若，則的值是；若函數的零點為，則的值是.【變式2】（23-24高三上·內蒙古赤峰·期中）設函數，為常數.若存在，使得，則實數的取值范圍是.【變式3】（23-24高一上·內蒙古赤峰·期末）若函數在上有兩個零點，則的取值范圍為題型06二次函數的零點問題【典例1】（23-24高二下·浙江紹興·期末）若函數在上有兩個不同的零點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習）已知函數在上有且只有一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一上·廣東湛江·階段練習）已知二次函數滿足，．(1)求的解析式及單調區(qū)間.(2)若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍.【變式1】（23-24高二上·河南·階段練習）設方程的兩實根滿足，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一上·山東青島·階段練習）已知函數在區(qū)間內恰有一個零點，則滿足條件的所有實數的集合是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知二次函數的兩個零點都在區(qū)間內，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型07函數與方程綜合【典例1】（23-24高一下·廣東茂名·期末）已知函數.(1)若，求與交點的橫坐標；(2)若在區(qū)間上恰有一個零點，求a的取值范圍.【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數.(1)當時，求關于的方程的解；(2)若關于的方程在上有兩個不相等的解，求的取值范圍.【典例3】（23-24高一下·湖南·期中）已知函數．(1)是否存在，使得為定值，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；(2)若，方程有兩個根，，且，，求的取值范圍．【變式1】（2024高二上·福建·學業(yè)考試）已知函數且．(1)求實數a的值；(2)若函數在上恰有兩個零點，求實數的取值范圍．【變式2】（23-24高二下·湖南·期中）已知函數為定義在上的偶函數，且當時，(1)①作出函數在上的圖象；②若方程恰有6個不相等的實根，求實數的取值范圍；(2)對于兩個定義域相同的函數和，若，則稱函數是由“基函數和”生成的．已知是由“基函數和”生成的，若，使得成立，求實數的最小值．【變式3】（23-24高一下·安徽滁州·階段練習）已知函數.(1)討論的單調性;(2)若關于的方程有三個不同的實根，求實數的取值范圍.A夯實基礎B能力提升C新定義題型A夯實基礎一、單選題1．（23-24高一下·江蘇揚州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數則函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·湖南岳陽·模擬預測）函數的零點是（

）A．2 B． C．-2 D．2或-14．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列區(qū)間內存在方程的根的是（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函數，則當時，函數的零點個數為（

）A．8 B．6 C．4 D．26．（23-24高一下·河南·開學考試）已知函數的零點分別是，則的大小關系為（

）A． B．C． D．7．（23-24高三上·陜西西安·期末）已知函數若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一下·安徽·階段練習）定義在上的滿足對，關于的方程有7個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高一上·江西撫州·期末）若方程在區(qū)間上有實數根，則實數的取值可以是（

）A．0 B． C． D．(1)在坐標系下畫出函數的圖象;(2)求使方程的實數解個數分別為時的相應取值范圍.B能力提升1．（23-24高二下·浙江寧波·期末）若函數在區(qū)間內恰有一個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·貴州·階段練習）已知函數，函數與函數的圖象有5個不同的交點，則正實數k的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·湖南·期中）已知函數．(1)是否存在，使得為定值，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；(2)若，方程有兩個根，，且，，求的取值范圍．C新定義題型1．（23-24高二下·山西呂梁·期末）定義一種新的運算“”，都有．(1)對于任意實數，試判斷與的大小關系；(2)若關于的不等式的解集中的整數恰有2個，求實數的取值范圍；(3)已知函數，，若對任意的，總存在，使得，求實數的取值范圍．第05講4.5.1函數的零點與方程的解課程標準學習目標①了解函數的零點與方程的解的關系，并能結合函數的圖象判定函數的零點。②能根據函數零點存在性定理對函數零點存在進行判定，同時能處理與函數零點問題相結合的求參數及綜合類的問題。通過本節(jié)課的學習，要求能判定函數零點的存在，同時能解決與函數零點相結合的綜合問題知識點01：函數零點的概念1、函數零點的概念對于一般函數，我們把使的實數叫做函數的零點.幾何定義:函數的零點就是方程的實數解,也就是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標.

這樣：方程有實數解函數有零點函數的圖象與軸有公共點2、已學基本初等函數的零點①一次函數只有一個零點；②反比例函數沒有零點；③指數函數（且）沒有零點；④對數函數（且）只有一個零點1；⑤冪函數當時，有一個零點0；當時，無零點。知識點02：函數零點存在定理及其應用1、函數零點存在定理如果函數在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數在區(qū)間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個條件:①函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個條件缺一不可.2、函數零點的求法①代數法：根據零點定義，求出方程的實數解;②數形結合法：作出函數圖象，利用函數性質求解【即學即練1】（23-24高一下·安徽阜陽·期中）函數的零點是．【答案】【分析】直接解方程求零點即可.【詳解】由已知可得，當時，；當時，由，得，故的零點是．故答案為：.3、函數零點個數的判斷①利用代數法，求出所有零點；②數形結合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數；③數形結合，通過分離，將原函數拆分成兩個函數，找到兩個函數圖象交點的個數；④函數零點唯一：函數存在零點+函數單調.知識點03：二次函數的零點問題一元二次方程的實數根也稱為函數的零點.當時，一元二次方程的實數根、二次函數的零點之間的關系如下表所示：的實數根（其中）方程無實數根的圖象的零點函數無零點【即學即練2】（23-24高一上·北京海淀·階段練習）若，是二次函數的兩個零點，則的值是（

）A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【分析】根據根與系數的關系即可求解.【詳解】由，是二次函數的兩個零點，，所以，是的兩個實數根，所以，故，故選：C題型01求函數的零點【典例1】（多選）（23-24高一上·四川南充·階段練習）已知函數，函數，其中，若函數恰有兩個零點，則函數的零點可以是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AD【分析】求出函數的表達式，作函數的圖象，利用數形結合進行求解即可.【詳解】當時，，；當時，，.，所以的大致圖象為當時，有零點0，4；當時，由解得，所以有零點，2.故選：AD.【典例2】（2023高一上·上?！ｎ}練習）求函數的零點.【答案】1，2【分析】求解方程的根即可得到函數的零點.【詳解】因為，令，即，即解得，所以函數的零點是1，2.【典例3】（23-24高一·全國·隨堂練習）求下列函數的零點：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據零點的定義在函數表達式中令解方程即可.【詳解】（1）在函數中令，得，解得，所以函數的零點為.（2）在函數中令，得，解得或，所以函數的零點為.（3）在函數中令，得，注意到當時，，且函數在上單調遞增，所以函數的唯一零點為.（4）在函數中令，得，注意到當時，，且函數在上單調遞減，所以函數的唯一零點為.【變式1】（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知函數，則函數的零點是．【答案】和【分析】根據分段函數解析式，由求得正確答案.【詳解】依題意，或，解得或（負根舍去）.故答案為：和【變式2】（23-24高一上·北京通州·期末）函數的零點個數為.【答案】1【分析】令，直接求解，結合函數定義域，即可得出函數零點，確定結果.【詳解】的定義域為，令，則或，解得或（舍）.故答案為：1【變式3】（2024高一上·全國·專題練習）判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出；否則，請說明理由．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)函數的零點是.(2)函數的零點是－1(3)函數的零點是(4)函數的零點為－6.【分析】根據函數零點的概念結合條件即得.【詳解】（1）解方程，得或，所以函數的零點是.（2）解方程，得，所以函數的零點是－1.（3）解方程,得，所以函數的零點是.（4）解方程，得,且分母不為解得：，所以函數的零點為.題型02函數零點個數的判斷【典例1】（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）函數的零點個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分解因式求解方程的根即可.【詳解】函數的零點，即方程的實數根.由解得，或.故函數的零點個數是.故選：D【典例2】（23-24高一下·廣東韶關·階段練習）函數的零點個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】按分段討論，結合函數單調性、零點存在性定理及數形結合求解即得.【詳解】函數的定義域為，當時，，顯然函數在上都單調遞減，因此函數在上單調遞減，而，則函數在上有唯一零點；當時，，顯然，因此函數在區(qū)間上至少各有一個零點，當時，由，得，則在上的零點即為函數的圖象與直線的交點橫坐標，在同一坐標系內作出函數的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，函數的圖象與直線有兩個交點，即有兩個解，所以函數的零點個數為3.故選：D【典例3】（多選）（23-24高二下·浙江·期末）已知函數，則關于的方程根的個數可能是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】ABD【分析】將原問題轉化為直線與函數的圖象交點的個數，作出的圖象，分、、三種情況，結合圖象求解即可．【詳解】作出函數的圖象，如圖所示：將原問題轉化為直線（過定點）與函數的圖象交點的個數，由圖可知，當時，直線與函數的圖象只有一個交點；當時，直線與函數的圖象沒有交點；當時，直線與函數的圖象有三個交點；所以直線與函數的圖象不可能有兩個交點．故選：ABD．【變式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函數，則當時，函數的零點個數為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】解出方程的根，即可得出函數的零點個數.【詳解】當時，由，可得，解得，合乎題意；當時，由于，由，可得，解得，合乎題意.因此，函數的零點個數為.故選：D.【變式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數則函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據已知條件先畫出在不同定義域內的圖象，需要求解函數的零點個數，令，利用函數的圖象求解和兩個函數圖象交點個數即可.【詳解】由題意可知，的零點個數可以轉化為和函數的圖象交點個數，它們的函數圖象如圖所示.故選：C．【變式3】（2024·浙江溫州·三模）已知函數，則關于方程的根個數不可能是（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【分析】將原問題轉化為直線與函數的圖象交點的個數，作出的圖象，分、、三種情況，結合圖象求解即可．【詳解】作出函數的圖象，如圖所示：

將原問題轉化為直線（過定點）與函數的圖象交點的個數，由圖可知，當時，直線與函數的圖象只有一個交點；當時，直線與函數的圖象沒有交點；當時，直線與函數的圖象有三個交點；所以直線與函數的圖象不可能有兩個交點．故選：C．題型03判斷函數零點所在的區(qū)間【典例1】（23-24高一下·廣東深圳·期末）函數的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據零點的存在性定理進行判斷區(qū)間端點處的符合即可．【詳解】函數的定義域為，函數在上單調遞增，又，，根據零點的存在性定理可知函數零點所在區(qū)間為．故選：B .【典例2】（23-24高一下·江蘇揚州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點存在性定理分析判斷即可.【詳解】令，在上連續(xù)，且單調遞增，對于A，因為，，所以的零點不在內，所以A錯誤，對于B，因為，，所以的零點不在內，所以B錯誤，對于C，因為，，所以的零點在內，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確，對于D，因為，，所以的零點不在內，所以D錯誤，故選：C【典例3】（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）已知函數的零點在區(qū)間內，，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】B【分析】根據題意，由條件可得在上單調遞增，且，即可得到結果.【詳解】因為函數定義域為，且在上單調遞增，且，，即，由零點存在定理可得，的零點區(qū)間為，所以.故選：B【變式1】（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習）已知函數，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據零點存在性定理結合單調性判斷.【詳解】因為函數在單調遞減，函數在上單調遞增，所以在上單調遞減，又，，所以函數在上存在唯一零點.故選：D.【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習）函數的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的單調性，結合零點存在性定理分析判斷.【詳解】因為的定義域為，且在內單調遞增，可知在內單調遞增，且，所以函數的唯一一個零點所在的區(qū)間是.故選：B.【變式3】（23-24高一下·內蒙古鄂爾多斯·開學考試）已知函數的零點在區(qū)間內，則整數（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據函數單調性，零點存在性定理得到答案.【詳解】易知函數為增函數，且，觀察可知，，則的零點在區(qū)間內，故.故選：B題型04已知零點個數求參數的取值范圍【典例1】（23-24高一上·甘肅白銀·期末）已知函數，若函數有兩個不同的零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，轉化為與的圖象有兩個不同的交點，畫出的圖象，結合圖象，即可求解.【詳解】由有兩個不同的零點，即方程有兩個不同的解，即函數與的圖象有兩個不同的交點，畫出函數的圖象，如圖所示，結合圖象可得或，解或，即.故選：B.【典例2】（23-24高三上·貴州遵義·階段練習）已知函數，若函數有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】轉化為與圖象有3個不同的交點，畫出兩函數圖象，數形結合得到答案.【詳解】令，故，畫出與的圖象，函數有3個零點，即與圖象有3個不同的交點，則，解得.故選：D【典例3】（23-24高一上·廣東揭陽·期末）已知函數，若有2個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據題意，轉化為函數與函數的圖象有2個交點，作出函數與函數的圖象，結合圖象，即可求解.【詳解】由函數，令，可得，在同一坐標系下，作出函數與函數的圖象，如圖所示：當時，函數與函數的圖象有2個交點，此時，函數有2個零點，所以實數的取值范圍是.故答案為：.【變式1】（23-24高一上·天津寧河·期末）給定函數，，對于，用表示，中較小者，記為，若方程恰有三個不相等的實數根，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數和的圖像，得的圖像，由題意，直線與的圖像與有三個交點，結合圖像判斷實數的取值范圍.【詳解】由，解得或，函數和的圖像相交于點和，在平面直角坐標系內作出函數和的圖像，由，得的圖像，如圖所示，方程恰有三個不相等的實數根，則的圖像與直線有三個交點，由圖像可知實數的取值范圍為.故選：B【變式2】（多選）（23-24高一上·青海海北·期末）已知函數，有4個零點，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據題意，轉化為與的圖象的交點個數，作出函數的圖象，結合圖象，即可求解.【詳解】設函數，令0，可得，作出的大致圖象，如圖所示，當時，，因為，所以由圖可知，當時，直線與的圖象有4個公共點，要使得有4個零點，則，即實數的取值范圍為，結合選項BC符合題意.故選：BC.【變式3】（22-23高三上·甘肅定西·階段練習）已知函數，若關于的方程恰有三個實數根，則的取值范圍為．【答案】【分析】將問題轉化為函數與的圖象的交點個數為3，作出函數圖象，結合圖象求解即可.【詳解】關于的方程恰有三個實數根等價于函數與的圖象的交點個數為3，的圖象如圖所示，由圖可知當時，兩函數圖象有3個交點，所以的取值范圍為，故答案為：題型05已知零點所在區(qū)間求參數的取值范圍【典例1】（2023·寧夏銀川·三模）函數在區(qū)間上存在零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數的單調性，根據零點存在性定理可得.【詳解】若函數在區(qū)間上存在零點，由函數在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數，則根據零點存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實數的取值范圍是.故選：D.【典例2】（多選）（23-24高一上·湖北·階段練習）函數，若關于x的方程有4個不同的實數解，它們從小到大依次為，，，則（

）A． B．C． D．函數有3個零點【答案】BCD【分析】作出的圖象，利用二次函數的性質與對數函數的性質分析的關系，結合零點的定義與圖象的特征，從而得解.【詳解】關于的方程有四個不同的實數解，等價于與有四個不同交點，在平面直角坐標系中，作出與的大致圖象，如圖，由圖象可知：，故A錯誤；當時，令，解得，，當時，令，解得，，，，，，則，所以，故B正確；關于對稱，，又，，當且僅當時，等號成立，顯然，故等號不成立，又，則，，故C正確；令，則由，得，結合圖象可知，或，當時，結合圖象可知，此時沒有零點；當時，結圖象可知，此時有3個零點；綜上，有3個零點，故D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點睛：本題考查根據方程根的個數求解參數范圍的問題，解題關鍵是能夠將方程根的個數問題轉化為兩函數的交點個數問題，采用數形結合的方式，結合函數的對稱性來依次進行求解.【典例3】（23-24高三下·天津·階段練習）若方程在區(qū)間上有解，其中，則實數的取值范圍為．（結果用表示）【答案】【分析】把方程在區(qū)間上有解，轉化為函數的圖象與直線在區(qū)間上有交點，根據函數單調性，分類討論分別求出最值求解即可.【詳解】因為方程，即在區(qū)間上有解，設函數，則函數的圖象與直線在區(qū)間上有交點．因為，所以，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．當時，在區(qū)間上，，，

則，解得．當時，因為，，．令，解得，又，所以，

則，解得，綜上，實數的取值范圍為．故答案為：．【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是將問題轉化為函數的圖象與直線在區(qū)間上有交點，分類討論得到的最值，即可求出的取值范圍.【變式1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數的零點為.若，則的值是；若函數的零點為，則的值是.【答案】【分析】利用函數零點存在性定理可得；由已知可得為兩函數圖象的交點的橫坐標，為兩函數圖象的交點的橫坐標，根據函數與的圖象關于對稱，求出交點的橫坐標可得答案.【詳解】因為在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，因為，，且，所以；由可得，令可得，所以即為兩函數圖象的交點的橫坐標，令可得，所以即為兩函數圖象的交點的橫坐標，因為函數與的圖象關于對稱，且互相垂直，且由解得，即、的中點為，所以.故答案為：1；2.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵點將零點問題轉化成函數圖象交點問題.【變式2】（23-24高三上·內蒙古赤峰·期中）設函數，為常數.若存在，使得，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據零點與對應方程根的關系以及函數零點存在性定理即可得答案.【詳解】因為存在，使得，所以函數在上有零點.當時，不存在零點，當時，為一次函數形式，具有單調性，由函數零點存在性定理知，即，解得或.故答案為：.【變式3】（23-24高一上·內蒙古赤峰·期末）若函數在上有兩個零點，則的取值范圍為【答案】【分析】根據題中條件，列出不等式組，解出即可.【詳解】因為在上有兩個零點，所以，，解得.故答案為：.題型06二次函數的零點問題【典例1】（23-24高二下·浙江紹興·期末）若函數在上有兩個不同的零點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據一元二次方程根的分布，即可列出不等式，結合選項即可求解.【詳解】在上有兩個不同的零點,則，故，故B正確，ACD錯誤，故選：B【典例2】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習）已知函數在上有且只有一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意將零點問題轉化為函數圖象公共點問題進而求解答案即可.【詳解】因為函數在上有且只有一個零點，所以，即在上有且只有一個實根，所以與的函數圖象在時有一個公共點，由于在單調遞減，所以，即.故選：D【典例3】（23-24高一上·廣東湛江·階段練習）已知二次函數滿足，．(1)求的解析式及單調區(qū)間.(2)若方程有兩個不相等的實數根，求的取值范圍.【答案】(1)，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(2)或．【分析】（1）利用待定系數法即可求出二次函數的解析式．（2）利用判別式大于0求解即可．【詳解】（1）設，由可得，所以，故，又得即，，故單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為（2）由得，得，有兩個不相等的實數根，則有兩個不相等的實數根則滿足，得或．【變式1】（23-24高二上·河南·階段練習）設方程的兩實根滿足，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次方程根的分布列不等式組求解.【詳解】設，得對稱軸為，由可得，，解得或，故選:C【變式2】（23-24高一上·山東青島·階段練習）已知函數在區(qū)間內恰有一個零點，則滿足條件的所有實數的集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過分類討論二次函數的根的個數，結合零點定理即可求出實數的集合.【詳解】由題意，在中，對稱軸，函數在區(qū)間內恰有一個零點，∴，當時,只需,即,解得：,且,∴，,當時，,在定義域內的零點只有，符合要求,當時，,在定義域內的零點只有，符合要求,當時,即時,，零點為,符合題意，綜上所述,實數的取值范圍為：，故選：D.【變式3】（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知二次函數的兩個零點都在區(qū)間內，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次函數的性質得到關于的不等式組，求解即可.【詳解】設，因為二次函數的兩個零點都在區(qū)間內，所以，則，即，故實數的取值范圍是：.故選：C.題型07函數與方程綜合【典例1】（23-24高一下·廣東茂名·期末）已知函數.(1)若，求與交點的橫坐標；(2)若在區(qū)間上恰有一個零點，求a的取值范圍.對稱軸為，所以要使在區(qū)間上恰有一個零點，只須，即，解得.的取值范圍.【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數.(1)當時，求關于的方程的解；(2)若關于的方程在上有兩個不相等的解，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）將代入，解方程即可（2）構造函數，利用雙勾函數的單調性可得判斷的單調性并求出相應的值域，然后結合圖形即可得出【詳解】（1）時，，令解得令解得：或（2）.顯然當時，記，如圖所示因為在上單調遞增，值域為；根據對勾函數性質知在上單調遞減，值域為；在上單調遞增，值域為綜上可知，的取值范圍為【典例3】（23-24高一下·湖南·期中）已知函數．(1)是否存在，使得為定值，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；(2)若，方程有兩個根，，且，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接計算，則得到關于的方程，解出即可；（2）首先整理得，數形結合得，再表示出，計算之和即可.【詳解】（1），若為定值則應，解得，即.當時，，當時，.所以存在符合要求.（2）時，方程即為，整理得，即，因為方程有兩個根，由圖象可知，，即，且，得，同理有，得，所以，由，得，所以的取值范圍是.【變式1】（2024高二上·福建·學業(yè)考試）已知函數且．(1)求實數a的值；(2)若函數在上恰有兩個零點，求實數的取值范圍．所以，解得；【變式2】（23-24高二下·湖南·期中）已知函數為定義在上的偶函數，且當時，(1)①作出函數在上的圖象；②若方程恰有6個不相等的實根，求實數的取值范圍；(2)對于兩個定義域相同的函數和，若，則稱函數是由“基函數和”生成的．已知是由“基函數和”生成的，若，使得成立，求實數的最小值．【答案】(1)①答案見解析；②；(2)．【分析】（1）①先利用描點法作出區(qū)間上的函數圖象，結合偶函數的對稱性可得上的圖象，②利用圖象和實數根的個數可得實數的取值范圍；（2）先根據復合函數求出的最小值，利用可得答案.【詳解】（1）①當時，．列表：01234567891012432101234描點連線，圖象如圖，因為為偶函數，所以的圖象關于軸對稱，所以在上的圖象如圖所示；②恰有6個不相等的實根，等價于與有6個交點，由圖象可知當時，有6個交點，所以實數的取值范圍為；（2）由題意，，因為在上為增函數，在上為增函數，所以在上為增函數，因為在上為增函數，所以在上為增函數，所以，由（1）可知在上的最小值為0，因為，使得成立，所以，所以，解得，所以實數的最小值為．【變式3】（23-24高一下·安徽滁州·階段練習）已知函數.(1)討論的單調性;(2)若關于的方程有三個不同的實根，求實數的取值范圍.【答案】(1)在和上單調遞增，在上單調遞減.(2)【分析】（1）直接對兩段分別研究單調性即可；（2）畫出函數的圖象與直線的圖象，由數形結合即可求解.【詳解】（1）當時，由單調遞增，知在上單調遞增；當時，有，所以在上單調遞增；當時，是二次函數，最小值點是，故在上單調遞減，在上單調遞增.綜上，在和上單調遞增，在上單調遞減.（2）在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象與直線的圖象，如圖所示，由圖可知若關于的方程有三個不同的實根，當且僅當的取值范圍是.A夯實基礎B能力提升C新定義題型A夯實基礎一、單選題1．（23-24高一下·江蘇揚州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點存在性定理分析判斷即可.【詳解】令，在上連續(xù)，且單調遞增，對于A，因為，，所以的零點不在內，所以A錯誤，對于B，因為，，所以的零點不在內，所以B錯誤，對于C，因為，，所以的零點在內，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確，對于D，因為，，所以的零點不在內，所以D錯誤，故選：C2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數則函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據已知條件先畫出在不同定義域內的圖象，需要求解函數的零點個數，令，利用函數的圖象求解和兩個函數圖象交點個數即可.【詳解】由題意可知，的零點個數可以轉化為和函數的圖象交點個數，它們的函數圖象如圖所示.故選：C．3．（2024·湖南岳陽·模擬預測）函數的零點是（

）A．2 B． C．-2 D．2或-1【答案】A【分析】由題意令可得關于的方程，進而求解.【詳解】由題意令，因為，所以，即.故選：A.4．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列區(qū)間內存在方程的根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數的零點個數與方程的實根個數的關系，利用零點存在定理結合圖形判斷即得.【詳解】令，顯然函數在R上連續(xù)，因，故在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數根．

如圖，作出函數和的圖象，由圖可知和有兩個交點，因，，即，所以在區(qū)間上存在零點，即方程在區(qū)間上有實數根，由選項可知只有C項符合題意.故選：C.5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函數，則當時，函數的零點個數為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】解出方程的根，即可得出函數的零點個數.【詳解】當時，由，可得，解得，合乎題意；當時，由于，由，可得，解得，合乎題意.因此，函數的零點個數為.故選：D.6．（23-24高一下·河南·開學考試）已知函數的零點分別是，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，從而將問題轉化為、、與交點的橫坐標，畫出函數圖象，數形結合即可判斷.【詳解】令，得，則為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，為函數與交點的橫坐標，在同一直角坐標系中，分別作出和的圖象，如圖所示，

由圖可知，.故選：B7．（23-24高三上·陜西西安·期末）已知函數若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出的大致圖象，根據題意轉化為與的圖象有4個不同交點，結合圖象，即可求解.【詳解】由題意，作出的大致圖象，如圖所示，要使得，即函數與的圖象有4個不同交點，則，所以實數的取值范圍是．故選：A.8．（23-24高一下·安徽·階段練習）定義在上的滿足對，關于的方程有7個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意，對化簡得，即，畫出圖象，結合圖象即可得到答案.【詳解】關于的方程可化簡為，即有7個不同的根，畫出的圖象，

觀察可以看出當有4個不同的根，故只需有3個不同的根即可，所以.故選：A.二、多選題9．（23-24高一上·江西撫州·期末）若方程在區(qū)間上有實數根，則實數的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】BCD【分析】轉化為在上有解，利用配方法求出的值域可得答案.【詳解】由題意在上有解，.故選：BCD．10．（23-24高一上·福建廈門·期末）函數在區(qū)間內存在零點的充分條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先判斷函數單調性，再根據零點存在性定理列出不等式求解，結合充分條件定義即可判斷各選項.【詳解】因為在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞減，若函數