河南省鄭州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月階段性檢測數(shù)學(xué)試題含答案及解析

2024-2025學(xué)年9月階段性檢測高二數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷為閉卷考試，考試時間為120分鐘，總分150分；2.請在密封線內(nèi)填寫清楚班級、姓名、考場、考號.3.本試卷分試題卷和答題卡，所有答案全部寫在答題卡上.一、選擇題（每小題5分，共40分）1.已知空間兩點，1，，，2，，下列選項中的與共線的是（）A.，0， B.，1， C.，， D.，2，2.已知空間向量，，且，則向量與的夾角為（）A B. C. D.3.直線的方向向量，直線的方向向量，則不重合直線與的位置關(guān)系是（）A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定4.已如向量，，且與互相垂直，則（）．A B. C. D.5.已知向量為平面的法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.6.在空間四邊形中，，點在上，且，為的中點，則（）A. B.C D.7.在正方體中，直線與平面所成的角為（）.A. B. C. D.8.如圖，在正方體中，?分別為，的中點，則下列說法錯誤的是（）A.平面B.C.直線與平面所成角為45°D.異面直線與所成角為60°二、多選題（每小題6分，共18分）9.已知直線的方向向量分別是，若且則的值可以是（）A B. C. D.10.已知空間三點，，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.11.如圖，平面，，則（）A.B.平面C.平面與平面夾角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知直線過點，且為其一個方向向量，則點到直線距離為____________.13.已知，則直線和所成角的余弦值為______.14.四棱錐中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，則與平面所成角的正弦值為______.四、解答題15.已知向量，向量，（1）求向量，，的坐標(biāo)；（2）求與所成角的余弦值.16.已知空間三點.（1）求（2）求的面積；17.如圖，在三棱錐P-ABC中，，D是BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知．（1）求證：AP⊥BC；（2）若點M是線段AP是一點，且．試證明平面AMC⊥平面BMC．18.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．19.如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角的正弦值為，求．

2024-2025學(xué)年9月階段性檢測高二數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷為閉卷考試，考試時間為120分鐘，總分150分；2.請在密封線內(nèi)填寫清楚班級、姓名、考場、考號.3.本試卷分試題卷和答題卡，所有答案全部寫在答題卡上.一、選擇題（每小題5分，共40分）1.已知空間兩點，1，，，2，，下列選項中的與共線的是（）A.，0， B.，1， C.，， D.，2，【答案】D【解析】【分析】由題得，1，，再利用空間向量共線定理判斷得解.【詳解】解：由點，1，，，2，，所以，1，，對于A，，0，，不滿足，所以與不共線；對于B，，1，，不滿足，所以與不共線；對于C，，，，不滿足，所以與不共線；對于D，，2，，滿足，所以與共線．故選：D2.已知空間向量，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出n，再利用向量夾角公式求出夾角.【詳解】，解得，則，，，設(shè)向量與的夾角為，則，，，即與的夾角為．故選：A．3.直線的方向向量，直線的方向向量，則不重合直線與的位置關(guān)系是（）A相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的關(guān)系，判斷直線的位置關(guān)系.【詳解】因為，所以，所以直線與平行.故選：B4.已如向量，，且與互相垂直，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算，根據(jù)向量垂直得到答案.【詳解】，，則，與互相垂直，則，.故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，屬于簡單題.5.已知向量為平面法向量，點在內(nèi)，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用點到面的距離的向量求法求解即可【詳解】因為，所以，因為平面的法向量，所以點到平面的距離.故選：B【點睛】此題考查利用向量求點到面的距離，屬于基礎(chǔ)題6.在空間四邊形中，，點在上，且，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量加減法運算即可得到答案.【詳解】.故選：A7.在正方體中，直線與平面所成的角為（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算線面夾角即可.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為，則，令，即，所以，所以.故選：B8.如圖，在正方體中，?分別為，的中點，則下列說法錯誤的是（）A.平面B.C.直線與平面所成角為45°D.異面直線與所成角為60°【答案】D【解析】【分析】連結(jié)BD，A1D，可得MN∥A1D，得到MN∥平面ADD1A1，判定A正確；證明AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥A1D，結(jié)合MN∥A1D，得MN⊥AB，判斷B正確；求出直線MN與平面ABCD所成角判斷C正確；求出異面直線MN與DD1所成角判斷D錯誤．【詳解】如圖，連結(jié)BD，A1D，由M，N分別為AC，A1B的中點，知MN∥A1D，而MN?平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1，∴MN∥平面ADD1A1，故A正確；在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，則AB⊥A1D，∵MN∥A1D，∴MN⊥AB，故B正確；直線MN與平面ABCD所成角等于A1D與平面ABCD所成角等于45°，故C正確；而∠A1DD1為異面直線MN與DD1所成角，應(yīng)為45°，故D錯誤．故選：D【點睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面所成角、異面直線所成角等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、論證推理能力，屬于中檔題．二、多選題（每小題6分，共18分）9.已知直線的方向向量分別是，若且則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)空間向量模的計算公式以及向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】，若且，則，解得或，所以或.故選：AC10.已知空間三點，，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由條件可得的坐標(biāo)，然后逐一判斷即可.【詳解】因為，，，所以所以，，所以不共線.故選：AC11.如圖，平面，，則（）A.B.平面C.平面與平面夾角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究位置關(guān)系與線面夾角，面面夾角即可.【詳解】根據(jù)題意可知兩兩垂直，不妨以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，，所以，所以，不垂直，故A錯誤；依題意，是平面的法向量，又，可得，則，又因為直線平面，所以平面，故B正確；設(shè)為平面的一個法向量，則，令，可得，而即底面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角，則,故C正確；設(shè)直線與平面所成角為，，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題（每小題5分，共15分）12.已知直線過點，且為其一個方向向量，則點到直線的距離為____________.【答案】【解析】【分析】由點到直線的距離公式求解.【詳解】解：因為點，點，所以，所以點到直線的距離為：，故答案為：13.已知，則直線和所成角的余弦值為______.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積與夾角公式計算即可.【詳解】由題意知，則，故答案為：.14.四棱錐中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，則與平面所成角的正弦值為______.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量及，由與平面所成角，根據(jù)即可求解.【詳解】因為底面，底面正方形，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則重心，因而，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令則，則，故答案為：.四、解答題15.已知向量，向量，（1）求向量，，的坐標(biāo)；（2）求與所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直、平行的條件即可求解；（2）利用向量夾角公式求解即可.【小問1詳解】因為向量，所以，解得：，，則，，又因為，則，解得，所以【小問2詳解】由（1）知，所以，，則，，，即與所成角的余弦值16.已知空間三點.（1）求（2）求的面積；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出向量坐標(biāo)，再根據(jù)模長公式計算即可；（2）先求出向量，的夾角，再利用三角形的面積公式即可求解；【小問1詳解】，【小問2詳解】設(shè)向量，的夾角為，由，，，，又三角形中，.17.如圖，在三棱錐P-ABC中，，D是BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知．（1）求證：AP⊥BC；（2）若點M是線段AP是一點，且．試證明平面AMC⊥平面BMC．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，計算，即可證明結(jié)論；（2）求出平面平面AMC和平面BMC的法向量，計算法向量的數(shù)量積，結(jié)果為0，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】證明：以O(shè)為原點，過點O作CB的平行線為x軸，以AD方向為y軸正方向，以射線OP的方向為Z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示；則，故，，∴，∴⊥，即；【小問2詳解】證明：因為平面ABC，平面ABC，所以,因為，故，∵M為AP上一點，且，∴M(0,，)，∴(0,,)，(-4,,)，(4,,)；設(shè)平面BMC的法向量為，則，即，令，則；設(shè)平面AMC的法向量為，則，即，令，則；由于，得⊥，即平面AMC⊥平面BMC．18.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因為底面，且底面，所以．又因為，，所以平面．又平面，所以．從而．因為，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法如圖，聯(lián)結(jié)交于點N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因為M為的中點，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長方體法+等體積法如圖，構(gòu)造長方體，聯(lián)結(jié)，交點記為H，由于，，所以平面．過H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長為正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點評】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進行計算求解，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計算求解二面角問題是常用的方法，思路清晰，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強，需注意進行嚴(yán)格的論證.19如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．（1）若，證明：平面；（2）若，且二面角的正弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可