《數(shù)學(xué)（第8版 上冊(cè)）》 課件 第1章 運(yùn)算與方程

運(yùn)算與方程第1章1目錄1.1數(shù)與式的運(yùn)算1.2解方程與方程組2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類，理解絕對(duì)值的幾何意義和代數(shù)意義，能進(jìn)行絕對(duì)值的運(yùn)算.2.能進(jìn)行整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算；掌握乘法公式，并會(huì)用于多項(xiàng)式的運(yùn)算；能對(duì)簡單的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；能進(jìn)行整式、分式運(yùn)算；掌握二次根式的運(yùn)算.3.會(huì)解一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程組.31.1數(shù)與式的運(yùn)算4實(shí)例考察為確保棉花的質(zhì)量和產(chǎn)量雙提升，某地按照棉花品質(zhì)對(duì)棉花的種植者進(jìn)行補(bǔ)貼.已知2023年度棉花價(jià)格基礎(chǔ)補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)為每千克0.35元，同時(shí)，為進(jìn)一步提高棉花質(zhì)量，將對(duì)優(yōu)質(zhì)棉花給予額外的質(zhì)量補(bǔ)貼，其中，（1）特種棉：每千克補(bǔ)貼0.8元；（2）陸地棉：每千克補(bǔ)貼0.7元；假設(shè)某棉農(nóng)有特種棉xkg，陸地棉ykg，試問他能獲得多少補(bǔ)貼？解決這個(gè)問題需要用到整式運(yùn)算的知識(shí).51.1.1整式的運(yùn)算數(shù)與式的運(yùn)算是數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容，數(shù)的運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方、開方等；式的運(yùn)算有整式、分式、二次根式的四則運(yùn)算、因式分解等.如果一個(gè)式子中都是數(shù)或字母的積，例如實(shí)例考察中特種棉的額外補(bǔ)貼0.8x元，陸地棉的額外補(bǔ)貼0.7y元，這樣的式子叫做單項(xiàng)式；幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式，例如棉花價(jià)格基礎(chǔ)補(bǔ)貼0.35（x+y）元.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.6整式的加減運(yùn)算一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)則先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).整式的乘除運(yùn)算一般地，當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，有乘方運(yùn)算其中，an

稱為a的n次冪，a稱為底數(shù)，n稱為指數(shù)，規(guī)定a1=a，a0=1（a≠0）.7對(duì)于整數(shù)冪有以下運(yùn)算法則（其中a，b≠0，m，n是整數(shù)）：（1）同底數(shù)冪的乘法am·an=am+n；（2）同底數(shù)冪的除法am÷an=am-n；（3）冪的乘方（am）n=amn；（4）積的乘方（a·b）n=an·bn；（5）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪a-n=整式相乘時(shí)，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘；單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.89某些特殊形式的多項(xiàng)式相乘，可以寫成公式的形式，當(dāng)遇到相同形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)，就可以直接運(yùn)用乘法公式寫出結(jié)果：（1）平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2；（2）完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2.整式相除時(shí)，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式；多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加.因式分解

多項(xiàng)式的因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式相乘，它與整式乘法互為逆運(yùn)算，即提公因式法如果一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，將多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式相乘.公式法如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解成幾個(gè)因式相乘.10十字相乘法1.對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次三項(xiàng)式x2+（m+n）x+mn.由多項(xiàng)式的乘法法則可得公式x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n），可以利用公式直接分解的多項(xiàng)式有以下特點(diǎn)：112.對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a≠1且a≠0）.先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字線左上角和左下角；然后分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字線右上角和右下角；最后交叉相乘并求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù).

條件：（1）a=a1a2；（2）c=c1c2；（3）bx=a1c2x+a2c1x.

則ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.121.1.2分式的運(yùn)算如果

A，B

是兩個(gè)整式，并且

B

中含有字母，那么式子（B≠0）就叫做分式，其中A

為分子，B

為分母.例如：甲、乙兩地距離600km，列車運(yùn)行速度是200km/h，后因技術(shù)改造實(shí)現(xiàn)了提速，如果列車提速xkm/h，那么提速后列車的運(yùn)行時(shí)間是h，這就是一個(gè)分式.13分式的基本性質(zhì)

分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，即其中A，B，M

是整式且M≠0.14分式的運(yùn)算法則

1.分式的加減運(yùn)算.同分母加減，分母不變，分子加減，即異分母加減，先通分變成同分母，再利用同分母的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算或化簡，即152.分式的乘法運(yùn)算.分子乘以分子做分子，分母乘以分母做分母，即3.分式的除法運(yùn)算.被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)，再利用分式的乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算或化簡，即161.1.3二次根式的運(yùn)算我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)過平方根：若x2=a（a≥0），則稱x為a的平方根（二次方根），即x=±．0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根.二次根式我們把形如

（a≥0）的式子叫做二次根式，一般地，17二次根式的四則運(yùn)算1.二次根式的加減運(yùn)算.二次根式相加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡根式，然后將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.2.二次根式的乘除運(yùn)算.二次根式的乘法法則是二次根式的除法法則是181.2解方程與方程組19實(shí)例考察數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，在我們平時(shí)生活中處處可見數(shù)學(xué)的影子，方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一種非常有效的數(shù)學(xué)模型.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，我國運(yùn)動(dòng)員獲得383枚獎(jiǎng)牌，是日本運(yùn)動(dòng)員獲得的獎(jiǎng)牌數(shù)的2倍還多7枚，同學(xué)們知道日本運(yùn)動(dòng)員獲得多少枚獎(jiǎng)牌嗎？根據(jù)問題我們不妨設(shè)日本運(yùn)動(dòng)員獲得x枚獎(jiǎng)牌，可得2x+7=383.201.2.1一元一次方程方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是一次，這樣的方程叫做一元一次方程.使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解.方程中的未知數(shù)與已知數(shù)參與運(yùn)算，通過運(yùn)算將方程變形，最終變?yōu)椤皒=常數(shù)”

的形式，也就是求出使方程中等號(hào)兩邊相等的未知數(shù)的值，即方程的解.變形過程的數(shù)學(xué)依據(jù)是等式的基本性質(zhì).21解一元一次方程的一般步驟如圖所示.221.2.2一元二次方程方程x2+3x-4=0和（1-x）2=0的等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是2次，我們把這樣的方程叫做一元二次方程.能使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.23一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的形式，稱為關(guān)于x

的一元二次方程的一般式.其中ax2，bx，c分別叫做一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，a，b分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).一元二次方程的常用解法有直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法.24下面我們探討用公式法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.將方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得移項(xiàng)，得兩邊同時(shí)加上，得即25其中，由a≠0，得a2>0.對(duì)于b2-4ac，有以下三種情況：（1）當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，等號(hào)兩邊直接開平方，得則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，方程的有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即（3）當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，<0，方程沒有實(shí)數(shù)根，或者說在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程無解.26一般地，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式，記作Δ=b2-4ac.當(dāng)Δ≥0時(shí)，我們也可以把一元二次方程的求根公式記為求根公式表達(dá)了用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c=0的結(jié)果，利用公式，我們可以由一元二次方程的系數(shù)，直接求出方程的根，這種方法叫做公式法.271.2.3二元一次方程組如果在一個(gè)方程中有兩個(gè)未知數(shù)，且最高次為1次，例如：x+2y=10，這樣的方程叫做二元一次方程.如果只有這樣一個(gè)方程，我們不難發(fā)現(xiàn)，滿足條件的x，y有無窮多組，即方程有無窮多個(gè)解.如果方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相等，那么有可能可以唯一確定未知數(shù)的值.類似

由兩個(gè)二元一次方程組成，每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1次的方程組叫做二元一次方程組.2