2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念課時(shí)素養(yǎng)評價(jià)含解析新人教A版必修第一冊

PAGE6-指數(shù)函數(shù)的概念(15分鐘35分)1.若指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4，81)，則f(x)的解析式為 ()A.f(x)=x3 B.f(x)=3xC.f(x)=QUOTE D.f(x)=QUOTE【解析】選B.設(shè)f(x)=ax(a>0且a≠1)，則由f(4)=81得a4=81，所以a=3，所以f(x)=3x.2.若函數(shù)f(x)=QUOTE·ax是指數(shù)函數(shù)，則fQUOTE的值為 ()A.2 B.2QUOTE C.-2QUOTE D.-2【解析】選B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=QUOTE·ax是指數(shù)函數(shù)，所以QUOTEa-3=1，a>0，a≠1，解得a=8，所以f(x)=8x，所以fQUOTE=QUOTE=2QUOTE.3.某城市房價(jià)(均價(jià))經(jīng)過6年時(shí)間從1200元/m2增加到了4800元/m2，則這6年間平均每年的增長率是 ()A.QUOTE-1 B.QUOTE+1C.50% D.600元【解析】選A.設(shè)這6年間平均每年的增長率為x，則1200(1+x)6=4800，解得x=QUOTE-1=QUOTE-1.4.若函數(shù)f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指數(shù)函數(shù)，則a=_______.

【解析】由指數(shù)函數(shù)的定義得QUOTE解得a=1.答案：15.函數(shù)y=2(a-1)x是刻畫指數(shù)衰減改變規(guī)律的模型，則a的取值范圍是_______.

【解析】由題意0<a-1<1，所以1<a<2.答案：(1，2)【補(bǔ)償訓(xùn)練】某電商平臺近三年的購物節(jié)的銷售額連續(xù)增長，這三年的增長率分別為x，y，z，則這三年平均增長率為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE-1【解析】選D.設(shè)這三年平均增長率為p，則(1+p)3=(1+x)(1+y)(1+z)故p=QUOTE-1.6.已知函數(shù)f(x)=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù)，(1)求f(x)的表達(dá)式.(2)推斷F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性，并加以證明.【解析】(1)a2-3a+3=1，可得a=2或a=1(舍去)，所以f(x)=2x.(2)F(x)=2x-2-x，所以F(-x)=-F(x)，所以F(x)是奇函數(shù).(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1.以x為自變量的四個(gè)函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為 ()A.y=2(e-1)x B.y=(1-e)xC.y=3x+1 D.y=πx【解析】選D.由指數(shù)函數(shù)的定義可知選D.2.某種放射性元素，100年后只剩原來質(zhì)量的一半，現(xiàn)有這種元素1克，3年后剩下A.QUOTE克 B.(1-0.5%)3克C.0.925克 D.QUOTE克【解析】選D.設(shè)這種放射性元素，每年衰減P，則(1-P)100=QUOTE，則1-P=QUOTE，故這種元素1克，3年后剩下(1-P)3=QUOTE=QUOTE=QUOTE(克).3.某環(huán)保小組發(fā)覺某市生活垃圾年增長率為b，2012年該市生活垃圾量為a噸，由此可以預(yù)料2024年垃圾量為 ()A.a(1+10b)噸 B.a(1+9b)噸C.a(1+b)10噸 D.a(1+b)9噸【解析】選C.2012年該市生活垃圾量為a噸，所以2013年產(chǎn)生的垃圾量是a(1+b)噸，2024年產(chǎn)生的垃圾量是a(1+b)(1+b)=a(1+b)2噸，…由此可以預(yù)料2024年垃圾量為a(1+b)10噸.4.某地為了保持水土資源，實(shí)行退耕還林，假如2024年退耕8萬公頃，以后每年比上一年增加10%，那么2024年需退耕 ()A.8×1.14萬公頃 B.8×1.15萬公頃C.8×1.16萬公頃 D.8×1.13萬公頃【解析】選B.依據(jù)題意，2024年退耕8萬公頃，x年后退耕8×1.1x萬公頃，所以2024年退耕畝數(shù)為8×1.15萬公頃.二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5.以x為自變量的四個(gè)函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為 ()A.y=(QUOTE+1)x B.y=(1-QUOTE)xC.y=52x D.y=(QUOTE)x【解析】選AD.由指數(shù)函數(shù)的定義可知選A，D.6.若函數(shù)f(x)=(m2-m-1)ax是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為 ()A.2 B.3 C.-1 【解析】選AC.由指數(shù)函數(shù)的定義，得m2-m-1=1，解得m=2或-1.【光速解題】可將A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中的值代入驗(yàn)證即可快速得出答案.三、填空題(每小題5分，共10分)7.已知函數(shù)f(x)滿意：對隨意實(shí)數(shù)x1<x2，有f(x1)<f(x2)，且f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，若寫出一個(gè)滿意這些條件的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)可以寫為_______.

【解析】滿意條件的函數(shù)可以是y=2x.答案：y=2x(底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)即可，不唯一)8.已知函數(shù)f(x)滿意f(x)=QUOTE則f(-7.5)的值為_______.

【解析】由題意，得f(-7.5)=f(-5.5)=f(-3.5)=f(-1.5)=f(0.5)=20.5=QUOTE.答案：QUOTE四、解答題(每小題10分，共20分)9.某生態(tài)文明小鎮(zhèn)2024年底人口為20萬人，人均住房面積為8m2，安排2024年底人均住房達(dá)到10m2，假如該鎮(zhèn)將每年人口平均增長率限制在1%，那么要實(shí)現(xiàn)上述安排，【解析】設(shè)這個(gè)城市平均每年要新增住房x萬m2，據(jù)題意可得20×8+4x=20(1+1%)4·10，所以x=50×1.014-40≈12.所以這個(gè)城市平均每年至少需新增住房12萬m2.10.按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨存期x改變的函數(shù)解析式.假如存入本金1000元，每期利率為2.25%，試計(jì)算5期后的本利和是多少(精確到1元)？【解析】依據(jù)題意得：1期到期本利和為：y=a(1+r)，2期到期本利和為：y=a(1+r)2，3期到期本利和為：y=a(1+r)3，所以y=a(1+r)x(x∈N*).將a=1000，r=2.25%，x=5代入得，y=1000×(1+2.25%)5=1000×1.02255≈1118.所以本利和y隨存期x改變的函數(shù)式為y=a(1+r)x(x∈N*)，5期后的本利和約為1118元.1.某商品價(jià)格y(單位：元)因上架時(shí)間x(單位：天)的不同而不同，假定商品的價(jià)格與上架時(shí)間的函數(shù)關(guān)系是一種指數(shù)型函數(shù)，即y=k·ax(a>0且a≠1)(x∈N*).當(dāng)商品上架第1天的價(jià)格為96元，而上架第3天的價(jià)格為54元時(shí)，該商品上架第4天的價(jià)格為_______元.

【解析】由題意可知QUOTE解得QUOTE所以當(dāng)x=4時(shí)，y=k·a4=QUOTE.答案：QUOTE2.牛奶保鮮時(shí)間因貯存溫度的不同而不同.假定保鮮時(shí)間y與貯存溫度x的關(guān)系式為y=kerx(k、r為常量).若牛