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導數(shù)(解答題8種考法)考法一零點(交點)的個數(shù)【例1-1】(2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若,討論函數(shù)的零點個數(shù).【例1-2】(2023·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù),.(1)若直線是曲線的一條切線,求a的值;(2)判斷函數(shù)的零點個數(shù).考法二零點(交點)個數(shù)求參【例2-1】(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)若在區(qū)間各恰有一個零點,求a的取值范圍.【例2-2】(2023·四川南充·??寄M預(yù)測)已知函數(shù)(1)若是的極小值點,且,求的取值范圍;(2)若有且僅有兩個零點,求的取值范圍 考法三零點之間的關(guān)系的證明【例3-1】(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)和有相同的最小值.(1)求a;(2)證明:存在直線,其與兩條曲線和共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.【例3-2】(2022秋·福建廈門·高三廈門市湖濱中學??计谥校┮阎陀邢嗤淖畲笾?()(1)求的值;(2)求證:存在直線與兩條曲線和共有三個不同的交點且,使得成等比數(shù)列.【例3-3】(2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模)已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求實數(shù);(2)設(shè)直線與兩條曲線和共有四個不同的交點,其橫坐標分別為,證明:.考法四利用導數(shù)證明不等式【例4-1】(2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)若,求的極值;(2)若在上恒成立,求的取值范圍;(3)證明:.考法五利用導數(shù)解(能)恒成立【例5-1】(2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)當時,求曲線在處的切線方程;(2)若對任意的,恒成立,求的取值范圍.【例5-2】(2023·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)若,判斷的單調(diào)性;(2)當時,不等式恒成立,求正實數(shù)a的取值范圍.【例5-3】(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù).(1)當時,討論的單調(diào)性;(2)當時,,求a的取值范圍;(3)設(shè),證明:.考法六利用導數(shù)解決雙變量【例6-1】(2021·全國·統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)設(shè),為兩個不相等的正數(shù),且,證明:.【例6-2】(2023·湖南·模擬預(yù)測)已知函數(shù),其中為實數(shù),為自然對數(shù)底數(shù),.(1)已知函數(shù),,求實數(shù)取值的集合(2)已知函數(shù)有兩個不同極值點、.①求實數(shù)的取值范圍②證明:.【例6-3】(2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若方程有兩個不相等的實根,,求實數(shù)a的取值范圍,并證明.考法七根據(jù)極值(點)求參數(shù)【例7-1】(2023·新疆·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù),是的導函數(shù).(1)若,求證:當時,恒成立;(2)若存在極小值,求的取值范圍.【例7-2】(2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)證明:恰有一個零點;(2)設(shè)函數(shù).若至少存在兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍.考法八切線的相關(guān)問題【例8-1】(2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模)函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若過原點O可作三條直線與的圖像相切,求實數(shù)a的取值范圍.【例8-2】(2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模)若函數(shù)有兩個零點,且.(1)求a的取值范圍;(2)若在和處的切線交于點,求證:.1.(2023秋·湖南長沙·高二長沙市明德中學??计谀┮阎瘮?shù)和函數(shù)有相同的最大值,直線與兩曲線和恰好有三個交點,從左到右三個交點橫坐標依次為.(1)求實數(shù)的值;(2)求證:.2.(2022·全國·統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù).(1)若,求a的取值范圍;(2)證明:若有兩個零點,則.3.(2021·全國·統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)從下面兩個條件中選一個,證明:只有一個零點①;②.4.(2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模)已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),a,.(1)當時,討論在上的單調(diào)性;(2)當時,若存在,使,求a的取值范圍.5.(2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)證明:當吋,.6.(2023·湖南·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)證明:當時,;(3)若,,求實數(shù)a的取值范圍.7.(2023·河南·長葛市第一高級中學統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,,證明:.8.(2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知,記的導函數(shù)為.(1)討論的單調(diào)性;(2)若有三個零點,且,證明:.9.(2023·四川攀枝花·攀枝花七中??寄M預(yù)測)已知函數(shù),.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)對于任意正整數(shù)n,,求t的最小正整數(shù)值.10.(2022·吉林·東北師大附中校考模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù),若是函數(shù)的兩個零點,求證:.11.(2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模)已知函數(shù),其中且.(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在實數(shù),使得,則稱為函數(shù)的“不動點”求函數(shù)的“不動點”的個數(shù);(3)若關(guān)于x的方程有兩個相異的實數(shù)根,求a的取值范圍.12.(2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模)已知函數(shù),,其中為實數(shù).(1)求的極值;(2)若有4個零點,求的取值范圍.13.(2023·廣西柳州·二模)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的值域;(2)設(shè),當時,函數(shù)有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.14.(2022·陜西西安·西安市第三十八中學??家荒#┮阎瘮?shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)恰有兩個零點,求正數(shù)a的取值范圍.15.(2022·全國·模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù),為的導函數(shù).(1)當時,①若函數(shù)的最大值為0,求實數(shù)的值;②若存在實數(shù),使得不等式成立,求實數(shù)的取值范圍.(2)當時,設(shè),若,其中,證明:.16.(2022·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)有兩個零點.(1)求的取值范圍;(2)求證:(其中是自然對數(shù)的底數(shù)).17.(2022·湖南永州·統(tǒng)考一模)已知,(1)不等式對任意恒成立,求的取值范圍;(2)當有兩個極值點時,求證:.18.(2023·陜西商洛·校考三模)已知.(1)若恒有兩個極值點,(),求實數(shù)a的取值范圍;(2)在(1)的條件下,證明.19.(2022·廣東韶關(guān)·??寄M預(yù)測)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)任取兩個正數(shù),當時,求證:.20(2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知,函數(shù).(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)若有兩個不同的極值點,.(i)求實數(shù)的取值范圍;(ii)證明:(……為自然對數(shù)的底數(shù)).21.(2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)設(shè)是兩個不相等的正數(shù),且,證明:.22.(2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性;(2)設(shè),若方程有三個不同的解,求a的取值范圍.23.(2023·陜西西安·統(tǒng)考一模)已知函數(shù),求證:(1)存在唯一零點;(2)不等式恒成立.24.(2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模)已知函數(shù)的圖像與直線l:相切于點.(1)求函數(shù)的圖像在點處的切線在x軸上的截距;(2)求c與a的函數(shù)關(guān)系;(3)當a為函數(shù)g(a)的零點時,若對任意,不等式恒成立.求實數(shù)k的最值.25(2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.26.(2023·福建·統(tǒng)考一模)已知函數(shù).(1)討論的極值點個數(shù);(2)若有兩個極值點,且,當時,證明:.27.(2023·江蘇徐州·徐州市第七中學??家荒#┮阎瘮?shù).(1)若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍;(2)設(shè)的導函數(shù)為,若滿足,證明:.28.(2022·河南·高三階段練習(理))已
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