數(shù)列（解答題8種考法）

數(shù)列（解答題8種考法）考法一數(shù)列常規(guī)方法【例1-1】（2022·陜西）已知等比數(shù)列的前n項和為．(1)求實數(shù)k的值，并求出數(shù)列的通項公式；(2)令，設為數(shù)列的前n項和，求．【例1-2】（2022·河南·靈寶市）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【例1-3】（2022·湖北）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．(1)求出，的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項和為，求證：．【例1-4】（2022·全國1卷高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)證明：．考法二裂項相消大合集【例2-1】（2022·重慶·模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為Sn，，，且(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．【例2-2】（2022·廣東·佛山市）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和，并證明：.【例2-3】（2022·遼寧）等比數(shù)列中，首項，前項和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【例2-4】（2022·湖北·模擬預測）設正項數(shù)列的前項和為且，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【例2-5】（2022·安徽·）在①，，成等比數(shù)列，②，③中選出兩個作為已知條件，補充在下面問題中，并作答．設為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和，已知___．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【例2-6】（2022·浙江金華·模擬預測）已知數(shù)列，其中為等差數(shù)列，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，求證：【例2-7】（2022·浙江·三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，數(shù)列滿足，，其中．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．【例2-8】（2022·天津南開）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．(1)求和的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．考法三分段數(shù)列【例3-1】（2022·江蘇南通）已知數(shù)列滿足：(1)求的值；(2)設，求數(shù)列的通項公式.【例3-2】（2022·浙江嘉興·模擬預測）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．數(shù)列的前n項和為，且滿足(1)求和的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【例3-3】（2022·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．(1)求和的通項公式；(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和；(3)設，求數(shù)列的前n項和．考法四插項數(shù)列【例4-1】（2022·廣東茂名·模擬預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，，．(1)求的通項公式；(2)保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值．【例4-2】（2022·福建省福州第一中學三模）設數(shù)列的前n項和為，，，.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設，在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)構成公差為的等差數(shù)列，求的前n項和.【例4-3】（2022·廣東汕頭·三模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項構成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項的和．考法五數(shù)列中存在性問題【例5-1】．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．(1)若，求；(2)若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．【例5-2】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知正項數(shù)列，其前n項和，滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達式；(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項，使得構成等差數(shù)列？請說明理由.考法六數(shù)列與概率綜合【例6-1】（2022·江蘇連云港·模擬預測）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據(jù)相關法律宣布從2020年6月8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測結果為陽性的旅客人數(shù)達到一定數(shù)量的民航局對其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運行（達到5個暫停運行1周，達到10個暫停運行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調整用于其他航線，“熔斷期”結束后，航空公司方可恢復每周1班航班計劃．已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是．一條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為．(1)求；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列的前n項和，并說明的實際意義．【例6-2】（2023四川成都·高三樹德中學?？计谀┑?2屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊通過點球戰(zhàn)勝法國隊獲得冠軍．(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲?乙?丙三名前鋒隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大小．考法七數(shù)列與三角函數(shù)綜合【例7-1】（2022·安徽）已知函數(shù)的最小正周期為6．(1)已知△的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，若，，求的值；(2)若，求數(shù)列的前2022項和．【例7-2】（2022·河南）已知數(shù)列{}滿足(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)設，求數(shù)列{}的前n項和，并求的最大值.【例7-3】（2022·安徽）已知函數(shù)，(1)求的解析式，并求其單調遞增區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的根按從小到大的順序依次記為求數(shù)列的通項公式及其前n項和．考法八數(shù)列與函數(shù)導數(shù)的綜合【例8-1】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，當時，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列中是否存在最大項與最小項？若存在，求出最大項與最小項；若不存在，說明理由.【例8-2】（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列對于任意的均有；數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，為數(shù)列的前n項和，且恒成立，求λ的最大值.【例8-3】（2023·全國·高三專題練習）設定義在上的函數(shù)與數(shù)列滿足，其中是方程的實數(shù)根，滿足可導，且.(1)證明：；(2)判斷數(shù)列的單調性，并證明.1．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.2．（2023·山西·統(tǒng)考一模）從下面的表格中選出3個數(shù)字（其中任意兩個數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項.第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698(1)求數(shù)列的通項公式，并求的前項和；(2)若，記的前項和，求證.3．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，，．(1)求的取值范圍；(2)記是在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前m項和．4．（2022·湖北·模擬預測）已知數(shù)列，滿足，，且，．(1)若為等比數(shù)列，求值；(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項和．5．（2022·廣東廣州·一模）在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一列323第二列465第三列9128(1)寫出，并求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.6．（2022·廣東茂名·一模）已知數(shù)列，滿足，，且，(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列，的通項公式．7（2022·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．8．（2022·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，且，是的前n項和．(1)求；(2)若為數(shù)列的前n項和，求證：．9．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)在與之間插入個2，構成新數(shù)列，求數(shù)列的前110項的和.10．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預測）已知單調遞增的等差數(shù)列，且，，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)保持數(shù)列中各項先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值．11．（2022·河南）已知數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前n項和為，求證：.12．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預測）記正項數(shù)列的前n項積為，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2n項和．13．（2023·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）某校為了合理配置校本課程資源，教務部門對學生們進行了問卷調查．據(jù)統(tǒng)計，其中的學生計劃只選擇校本課程一，另外的學生計劃既選擇校本課程一又選擇校本課程二．每位學生若只選擇校本課程一，則記1分；若既選擇校本課程一又選擇校本課程二，則記2分．假設每位選擇校本課程一的學生是否計劃選擇校本課程二相互獨立，視頻率為概率．(1)從學生中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)從學生中隨機抽取n人，記這n人的合計得分恰為分的概率為，求．14．（2023江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）在下面兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答.①；②.已知為數(shù)列的前項和，滿足，，______.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.15．（2023·全國·高三專題練習）在數(shù)列中，，，，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.16．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項和為，數(shù)列滿足，求證：(1)數(shù)列為等差數(shù)列；(2)數(shù)列中任意三項均不能構成等比數(shù)列.17．（2023河南）已知是數(shù)列的前項和，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式(2)記數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出實數(shù)的值若不存在，說明理由．18（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.19．（2023·全國·高三對口高考）已知數(shù)列是首項為0的遞增數(shù)列，前n項和為滿足（，）．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設（，），對任意的正整數(shù)k，將集合{，，}中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為，求證：數(shù)列為等比數(shù)列．20．（2023河南南陽·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，是其前n項和，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的最大項．21．（2023春·河南鄭州·高三鄭州四中校考階段練習）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的首項，前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.22．（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的周期為圖象的一條對稱軸為，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)解析式；(2)若數(shù)列，試求其前項和為.23．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)數(shù)列與中的所有項分別構成集合，，將集合中的所有元素從小到大依次排列構成新數(shù)列，求數(shù)列的前20項和24．（2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列滿足．(1)證明：對一切正整數(shù)n成立；(2)令，判斷數(shù)列單調性．25．（2023·高三課時練習）若數(shù)列滿足．(1)求，，及的通項公式；(2)若，數(shù)列的前n項和為．①求；②對于任意正整數(shù)n，均有恒成立，求m的最小值．26．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前n項和記為，且數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.27．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，設，數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列成等差數(shù)列．(2)求數(shù)列的前n項和．(3)若對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．28．（2023遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級中學校考期末）