第01講 集合與常用邏輯用語（八大熱點、九種解題模型）-沖刺2025年高考數(shù)學(xué)熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）

第01講集合與常用邏輯用語（八大熱點、九種解題模型）題型一：集合的表示一、單選題1．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩集合元素的特征判斷即可；【詳解】解：因為集合為點集，集合為數(shù)集，所以，故選：D2．（2022·河北秦皇島·三模）已知集合中所含元素的個數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意利用列舉法寫出集合，即可得出答案.【詳解】解：因為，所以中含6個元素．故選：C.二、填空題3．（2022·上?！つM預(yù)測）已知集合，則用列舉法表示集合______【答案】【分析】根據(jù)不等式的解法，求得，進(jìn)而利用列舉法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，解得，即集合且.故答案為：.題型二：集合元素的特征一、單選題1．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知集合，，則集合B中元素個數(shù)為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)給定條件分析a，b取值即可判斷作答.【詳解】集合，，則當(dāng)時，有，當(dāng)時，或，當(dāng)時，或，所以，集合B有中5個元素.故選：A2．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)求解即可【詳解】由題，當(dāng)時最小為，最大為，且可得，故集合故選：D3．（2022·廣東·揭西縣河婆中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合、集合，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有可能 B．C． D．【答案】B【分析】由交集結(jié)果和集合中元素的互異性可知.【詳解】，，，若，由集合中元素互異性知：，；若，同理可知：，；綜上所述：.故選：B.題型三：集合的關(guān)系一、單選題1．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知集合，，則的真子集個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】解方程組可求得，根據(jù)元素個數(shù)可求得真子集個數(shù).【詳解】由得：或，，即有個元素，的真子集個數(shù)為個.故選：C.2．（2022·海南海口·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則實數(shù)a＝（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【分析】對于集合，元素對應(yīng)的是一元二次方程的解，根據(jù)判別式得出必有兩個不相等的實數(shù)根，又根據(jù)韋達(dá)定理以及，可確定出其中的元素，進(jìn)而求解.【詳解】對于集合N，因為，所以N中有兩個元素，且乘積為-2，又因為，所以，所以．即a＝1．故選：B.3．（2022·江蘇省木瀆高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知全集U，集合A，B為其子集，若，則（

）A． B． C．A D．B【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，判斷集合A，B的關(guān)系，再利用并集的定義計算作答.【詳解】全集U，集合A，B為其子集，因，則有，所以.故選：C4．（2022·山東聊城·三模）設(shè)集合，，則（

）A．? B．? C． D．【答案】A【分析】先求出集合，再由真子集的定義即可求出答案.【詳解】，所以，所以，所以，所以?.故選：A.5．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）若集合，則對于集合的關(guān)系，則下列關(guān)系中一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)交集和并集的性質(zhì)，結(jié)合子集的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由于，同理知，故，故選：A6．（2022·河北張家口·三模）已知，，，若，則m的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題可知，結(jié)合條件即得.【詳解】∵，故，∵奇數(shù)集，，其中奇數(shù)集，∴m的取值集合為.故選：C.7．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由子集的定義得出集合A，再由集合的交集運算可得答案.【詳解】解：因為集合，，所以，所以，故選：A.8．（2020·南開中學(xué)模擬預(yù)測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到世紀(jì)，直到年，德國數(shù)學(xué)家戴金德提出了“戴金德分割”才結(jié)束了持續(xù)多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴金德分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴金德分割.試判斷，對于任一戴金德分割，下列選項中一定不成立的是（

）A．沒有最大元素，有一個最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．有一個最大元素，有一個最小元素D．有一個最大元素，沒有最小元素【答案】C【分析】本題目考察對新概念的理解，舉具體的實例證明成立即可，A,B,D都能舉出特定的例子，排除法則說明C選項錯誤【詳解】若，；則沒有最大元素，有一個最小元素；故A正確；若，；則沒有最大元素，也沒有最小元素；故B正確；若，；有一個最大元素，沒有最小元素，故D正確；有一個最大元素，有一個最小元素不可能，故C不正確.故選：C二、多選題9．（2021·河北衡水中學(xué)三模）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若，則【答案】ABC【分析】解一元二次不等式求集合A，根據(jù)各選項中集合的關(guān)系，列不等式或方程求參數(shù)值或范圍，判斷A、B、C的正誤，已知參數(shù)，解一元二次不等式求集合B，應(yīng)用交運算求判斷正誤即可.【詳解】由己知得：，令A(yù)：若，即是方程的兩個根，則，得，正確；B：若，則，解得，正確；C：當(dāng)時，，解得或，正確；D：當(dāng)時，有，所以，錯誤；故選：ABC.10．（2021·廣東湛江·二模）已知集合，，則下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則或 D．若時，則或【答案】ABC【分析】求出集合，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷．【詳解】，若，則，且，故A正確.時，，故D不正確.若，則且，解得，故B正確.當(dāng)時，，解得或，故C正確.故選：ABC．三、填空題11．（2022·上海金山·二模）已知集合，若，則實數(shù)的值為__________.【答案】0【分析】解方程即得解.【詳解】解：因為，所以（舍去）或，所以.故答案為：0題型四：集合的運算一、單選題1．（2022·安徽蚌埠·一模）已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先化簡集合，再求其補(bǔ)集即可【詳解】，所以.故選：B2．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式得集合，求函數(shù)的值域得集合，由集合交集的運算即可求解.【詳解】由不等式，解得或，所以集合或，由得，因為得，所以，所以或，故選：D.3．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知全集，集合，集合，用如圖所示的陰影部分表示的集合為（

）A．{2，4} B．{0，3，5，6}C．{0，2，3，4，5，6} D．{1，2，4}【答案】B【分析】根據(jù)文氏圖求解即可.【詳解】，，陰影部分為.故選：B．4．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知集合，集合，，則的取值范圍是（

）A． B．且C．且 D．且且【答案】C【分析】分析可知集合表示直線上去掉點所構(gòu)成的兩條射線，集合表示定點且斜率存在的直線，根據(jù)直線的位置關(guān)系可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】集合表示直線上去掉點所構(gòu)成的兩條射線，在方程中，令可得，集合表示過定點且斜率存在的直線，由得兩直線斜率不同，則，解得．故選：C.5．（2022·廣西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則集合的元素個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)與的圖象的交點個數(shù)可得答案.【詳解】因為函數(shù)與在第二象限有唯一個交點，在第一象限有兩個交點和.所以集合的元素個數(shù)為.故選：A.6．（2022·遼寧實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合A，B滿足，若則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)并集的定義求解．【詳解】由題意，所以．故選：D．7．（2022·湖北·孝昌縣第一高級中學(xué)三模）已知集合，，則中元素的個數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】求出集合，再根據(jù)并集的定義即可求出答案.【詳解】,所以.所以中元素的個數(shù)是.故選：A.8．（2022·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，若有三個元素，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．[3，4） B．[1，2） C．[2，3） D．（2，3]【答案】C【分析】根據(jù)題意，由集合B可得，又由有三個元素，由交集的意義分析可得m的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意則A={0，1，2，3，4}，B＝{x|x＞m}，，若有三個元素，則有，即實數(shù)m的取值范圍是[2，3）；故選：C二、填空題9．（2022·上?！とA師大二附中模擬預(yù)測）已知集合，，則__________.【答案】【分析】由并集的定義即可求解.【詳解】由題，，故答案為：題型五：集合與排列組合概率1..設(shè)集合，選擇A的兩個非空子集B和C，要使C中最小的數(shù)大于B中的最大數(shù)，則不同的選擇方法有________；【答案】【分析】分類討論集合中的最大元素，利用集合的非空子集的個數(shù)的求法把所有滿足題意的情況求出來即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得：當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有1個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；當(dāng)集合中的最大元素為時，滿足題意的集合共有個，對應(yīng)的集合共有個，即滿足題意的共有個；綜上：滿足題意的不同的選擇方法有：，故答案為：.2．（2022·上?！つM預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z是方程的一個根，集合，若在集合M中任取兩個數(shù)，則其和為零的概率為_________．【答案】【分析】由題意解出，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方以及集合的互異性確定，根據(jù)古典概型處理運算．【詳解】，即，解得當(dāng)時，則，，，當(dāng)時，則，，，則集合有4個元素：，，，，即若在集合M中任取兩個數(shù)，共有如下可能：，共6個基本事件，其和為零的有，共2個基本事件，則其和為零的概率為故答案為：．題型六：新定義1.用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【分析】根據(jù)題意可得或，進(jìn)而討論a的范圍，確定出，最后得到答案.【詳解】因為，，所以或，由，得，關(guān)于x的方程，當(dāng)時，即時，易知，符合題意；當(dāng)時，即或時，易知0，-a不是方程的根，故，不符合題意；當(dāng)時，即時，方程無實根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.2.在元數(shù)集中，設(shè)，若的非空子集滿足，則稱是集合的一個“平均子集”，并記數(shù)集的元“平均子集”的個數(shù)為．已知集合，，則下列說法錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)新定義求出元平均子集的個數(shù)，逐一判斷，由此得出正確選項．【詳解】，將中的元素分成5組，，，，．則，,,；同理：，將中的元素分成5組，，，，．則，．∴，，，．故選：C．3．（2022·北京朝陽·一模）對非空數(shù)集，，定義與的和集.對任意有限集，記為集合中元素的個數(shù).(1)若集合，，寫出集合與；(2)若集合滿足，，且，求證：數(shù)列，，，是等差數(shù)列；(3)設(shè)集合滿足，，且，集合（，），求證：存在集合滿足且.【答案】(1)，；(2)詳見解析；(3)詳見解析.【分析】（1）利用和集的定義即得；（2）由題可得，進(jìn)而可得中的所有元素為，結(jié)合條件可得，即證；（3）設(shè)，令集合，，進(jìn)而可得，，即得.（1）∵集合，，∴，；（2）∵，∴集合中至少包含個元素，所以，又，由題可知，又為整數(shù)，∴，∴，∴中的所有元素為，又是中的個元素，且，∴，即，∴，∴數(shù)列，，，是等差數(shù)列；（3）∵集合，∴，設(shè)，其中，設(shè)是首項為，公差為的等差數(shù)列，即，令集合，則，∴，即，∵，∴，所以，故存在集合滿足且.題型七：集合與圓和圓錐曲線-1.設(shè)集合，（）.當(dāng)有且只有一個元素時，則正數(shù)的所有取值為（）A．或 B．C．或 D．或【答案】C【分析】依題畫出滿足題意的圖形，因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，然后分析計算即可得解.【詳解】，，即圓M：的上半部分，如圖：圓M的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓N的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，因為有且只有一個元素，所以圓N和圓M只有一個交點，所以圓N的位置為圓（1）和介于圓（2）、圓（3）之間兩種情況，①外切：，d為圓心距，，此時，②介于圓（2）、圓（3）之間：圓（2）處的半徑，圓（3）處的半徑，所以，綜上，正數(shù)的所有取值為或.故選：C.2.已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【詳解】試題分析：集合表示由直線圍成的平面區(qū)域，集合表示以為圓心，半徑為的圓.為使，須圓落在上述平面區(qū)域內(nèi).由圓心到直線及的距離等于，即，得或，或，又，故實數(shù)的取值范圍，3.設(shè)集合，，記，則點集所表示的軌跡長度為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析集合A，B所對應(yīng)的幾何圖形，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系，如題圖，其交集P對應(yīng)的幾何圖形為線段AB，計算AB的長即可。【詳解】由題意的圓心為，半徑為1，而圓心（-3sinα，-3cosα），滿足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9，故圓心在以（0，0）圓心，半徑為3的圓上，∴集合A對應(yīng)的幾何圖形為圓x2+y2=4和x2+y2=16之間的圓環(huán)區(qū)域，由于原點到直線的距離為，所以直線恰好與圓環(huán)的小圓相切．所以表示的是直線截圓環(huán)的大圓所得的弦長．故點集所表示的軌跡長度為．故選D．4.如圖，有6個半徑都為1的圓，其圓心分別為O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．記集合M＝{⊙Oi｜i＝1，2，3，4，5，6}．若A，B為M的非空子集，且A中的任何一個圓與B中的任何一個圓均無公共點，則稱(A，B)為一個“有序集合對”(當(dāng)A≠B時，(A，B)和(B，A)為不同的有序集合對)，那么M中“有序集合對”(A，B)的個數(shù)是A．50 B．54 C．58 D．60【答案】B【詳解】當(dāng)時，可以是集合的非空子集，有個．同理，當(dāng)或或時的情況類似，則總共有28種可能情況；當(dāng)時，可以是集合的非空子集，有個．當(dāng)?shù)那闆r類似，則總共有6種可能情況；當(dāng)時，可以是集合的非空子集，有個．當(dāng)?shù)那闆r類似，則總共有6種可能情況；當(dāng)時，．當(dāng)或或或或或或或或的情況類似，則總共有10種可能情況；當(dāng)時，．當(dāng)或或的情況類似，則總有4種可能．5.（2020福建福清西山高三）設(shè)平面點集，則所表示的平面圖形的面積為【答案】【詳解】因為或表示的面積如圖陰影部分，利用圖形的對稱性可知所表示的平面圖形的面積為圓面積的一半.故答案為.題型八：集合與數(shù)列一、填空題1．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，，將中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成一個數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn，則使得成立的最小的n的值為____________.【答案】13【分析】依題意，比較與的大小，用枚舉法分別寫出A與B的前若干項，將的前若干項求和即可.【詳解】依題意，，，從小到大排列為，，，∴n的最小值為13.故答案為：13.二、雙空題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，它共有136個二元子集，如??…等等，記這136個二元子集為???…?，設(shè)，定義，將按照從小到大排列構(gòu)成數(shù)列，則___________；則___________.（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】

8

1835028【分析】根據(jù)二元子集和，的定義求解.【詳解】解：由題意得：，，，，，，令，兩邊同乘2得，兩式相減得，，，所以，則，所以，，.故答案為：8，1835028三、解答題3．（2022·湖北·襄陽四中模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，且前四項和為28，數(shù)列的前項和滿足.(1)求數(shù)列的通項公式，并判斷是否為等比數(shù)列；(2)對于集合A，B，定義集合.若，設(shè)數(shù)列和中的所有項分別構(gòu)成集合A，B，將集合的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前30項和.【答案】(1)，判斷答案見解析(2)1926【分析】（1）根據(jù)等數(shù)列的前n項和公式和通項公式可求出的通項公式，根據(jù)等比數(shù)列的定義可判斷是否為等比數(shù)列；（2）結(jié)合等差數(shù)列的前n項和，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可求出結(jié)果.(1)∵是等差數(shù)列，，且前四項和為28，∴，解得∴.∵，∴當(dāng)時，，兩式相減得，即，又∴∴當(dāng)時，數(shù)列的通項公式為.不是等比數(shù)列當(dāng)時，數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，∴.(2)由（1）知，則因為，所以，所以，中要去掉的項最多4項，即3,9,27,81，其中9,81是和的公共項，所以數(shù)列的前30項和由的前32項和，去掉9,81，所以數(shù)列的前30項和為1926.4．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，.(1)求；(2)若集合，將中的所有元素按從小到大順序排列，構(gòu)成數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前n項和為，求.【答案】(1)(2)846【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可解得，進(jìn)而可得，，根據(jù)等差數(shù)列得通項公式即得；（2）先弄清楚以的前33項中，各有多少項A,B中的元素，再分組求和即可.(1)等差數(shù)列中，，∴，，∴.(2)因為，，A，B中沒有共同的元素，所以的前33項中，有5項B中的元素，28項A中的元素，故.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列和遞增的等差數(shù)列滿足，，，.(1)求數(shù)列和數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列和數(shù)列中的所有項分別構(gòu)成集合和，將的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列前63項和.【答案】(1)(2)6043【分析】（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的基本量列方程求解即可.（2）將的前63項中含數(shù)列中的前5項和前4項兩種情況得的范圍，在結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式即可求解.（1）設(shè)等比數(shù)列和遞增的等差數(shù)列的公比和公差分別為:，故由，，，可得:解得故（2）當(dāng)數(shù)列前63項中含有數(shù)列中4項時，令，此時最多23+3=26項，不符合題意當(dāng)數(shù)列前63項中含有數(shù)列中5項時，令，且是和的公共項，則前63項中含有數(shù)列中的前5項和的前60項，再減去公共的兩項，故6．（2022·江蘇省贛榆高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，記中所有的項構(gòu)成的集合為，中所有的項構(gòu)成的集合為B，將中的所有元素從小到大依次排列得到數(shù)列，求的前50項的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，遞推一項兩式相減可得，即可得出是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式.（2）將與中的項從小到大排列，再通過列舉找到與在前50項中相等的項，從而找到滿足條件的前50項，求出與在前50項中各自的項數(shù)，在進(jìn)行分組求和.(1)因為，作差，得，，又，在中，令知，，所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以．(2)，，在的前50項中，集合A，B中相同的元素有，，，，所以的前50項中，包含至，，，，，故其前50項和為：．7．（2021·上海虹口·一模）已知集合，.中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，為數(shù)列的前項的和.(1)求；(2)如果，，求和的值；(3)如果，求（用來表示）.【答案】(1)；(2)，；(3)，.【分析】（1）根據(jù)集合A、B的描述分析中的元素組成，進(jìn)而寫出的前10項，即可求.（2）由結(jié)合且即可求值；令、判斷對應(yīng)中的，進(jìn)而確定值.（3）由中屬于集合A、B中元素之間的個數(shù)關(guān)系，判斷的中分別含集合A、B中元素個數(shù)，進(jìn)而應(yīng)用分組求和，結(jié)合等差、等比前n項和求即可.(1)由題設(shè)，集合A中元素為，集合B中元素為，且A、B沒有重復(fù)元素，∴的前10項為，故.(2)由，故中含集合的4個元素；由且，可得，故中含集合A的40個元素；∴；由，若，則中含集合的7個元素；此時，由且，可得，故中含集合A的1093個元素；∴中.由，若，則中含集合的8個元素；此時，由且，可得，故中含集合A的3280個元素；∴中.綜上，由，即，∴中含集合的7個元素，含集合A的個元素，∴.(3)由題設(shè)，若中含m個集合B的元素，在第個和第個集合B的元素之間存在個集合A的元素，∴若最后一項屬于集合且共有個集合B的元素，，∴共有個元素，由題設(shè)，，故含個集合的元素，含個集合A的元素，∴，∴，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)集合A、B的描述及其元素的性質(zhì)，結(jié)合各小問條件判斷中含A、B中元素個數(shù)，進(jìn)而求參數(shù)及前n項和.【九種解題模型】一：venn圖法解決集合運算問題一、單選題1．（2022·海南·嘉積中學(xué)模擬預(yù)測）已知全集，集合，集合，則圖中的陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用韋恩圖表達(dá)的集合運算直接計算作答.【詳解】依題意，圖中的陰影部分表示的集合是，而全集，，，所以.故選：D2．（2022·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合中，所包含元素的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，分析可知陰影部分所表示的集合為，利用交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】因為或，則，由題意可知，陰影部分所表示的集合為.故選：B.3．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）已知全集，集合，，則?UA∩B=（

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的補(bǔ)集與交集的運算求解即可.【詳解】解：因為全集，集合，，所以?UA=0,2,4故選：A二、填空題4．（2019·江蘇南京·三模）已知全集，，則________.【答案】【分析】利用集合的補(bǔ)集運算即可求解.【詳解】由全集，，所以.故答案為：【點睛】本題考查了集合的補(bǔ)集運算，需理解補(bǔ)集的概念，屬于基礎(chǔ)題.5．（2020·江蘇南通·三模）已知集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，則集合AB＝_______.【答案】{﹣1，0，2}【解析】直接根據(jù)并集運算的定義求解即可．【詳解】解：∵A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，∴AB＝{﹣1，0，2}，故答案為：{﹣1，0，2}．【點睛】本題主要考查集合的并集運算，屬于基礎(chǔ)題．二：分類討論方法解決元素與集合關(guān)系問題一、單選題1．（2013·全國·高考真題（理））設(shè)集合，，，則M中元素的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由題意知，，則x的可能取值為5,6,7,8.因此集合M共有4個元素，故選B.【考點定位】集合的概念二、填空題2．（2022·北京石景山·一模）已知非空集合A，B滿足：，，函數(shù)對于下列結(jié)論：①不存在非空集合對，使得為偶函數(shù)；②存在唯一非空集合對，使得為奇函數(shù)；③存在無窮多非空集合對，使得方程無解．其中正確結(jié)論的序號為_________．【答案】①③【分析】通過求解可以得到在集合A，B含有何種元素的時候會取到相同的函數(shù)值，因為存在能取到相同函數(shù)值的不同元素，所以即使當(dāng)與都屬于一個集合內(nèi)時，另一個集合也不會產(chǎn)生空集的情況，之后再根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷①是否正確，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷②是否正確，解方程判斷③是否正確【詳解】①若，，則，，若，，則，，若，，則，，若，，則，，綜上不存在非空集合對，使得為偶函數(shù)②若，則或，當(dāng)，A=?RB時，滿足當(dāng)時，所以可統(tǒng)一為，此時為奇函數(shù)當(dāng)，時，滿足當(dāng)時，所以可統(tǒng)一為，此時為奇函數(shù)所以存在非空集合對，使得為奇函數(shù)，且不唯一③解的，解的，當(dāng)非空集合對滿足且，則方程無解，又因為，，所以存在無窮多非空集合對，使得方程無解故答案為：①③【點睛】本題主要考查集合間的基本關(guān)系與函數(shù)的奇偶性，但需要較為縝密的邏輯推理①通過對所屬集合的分情況討論來判斷是否存在特殊的非空集合對使得函數(shù)為偶函數(shù)②觀察可以發(fā)現(xiàn)為已知的奇函數(shù)，通過求得不同元素的相同函數(shù)值將解析式歸并到當(dāng)中，使得成為奇函數(shù)③通過求解解析式零點，使得可令兩個解析式函數(shù)值為0的元素均不在所對應(yīng)集合內(nèi)即可得到答案三、解答題3．（2020·北京·模擬預(yù)測）對給定的正整數(shù)，令，，，，，，2，3，，．對任意的，，，，，，，，定義與的距離．設(shè)是的含有至少兩個元素的子集，集合，，中的最小值稱為的特征，記作（A）．（Ⅰ）當(dāng)時，直接寫出下述集合的特征：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，．（Ⅱ）當(dāng)時，設(shè)且（A），求中元素個數(shù)的最大值；（Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)且（A），求證：中的元素個數(shù)小于．【答案】（Ⅰ）答案詳見解析；（Ⅱ）2；（Ⅲ）證明詳見解析.【解析】（Ⅰ）根據(jù)與的距離的定義，直接求出的最小值即可；（Ⅱ）一方面先證明中元素個數(shù)至多有2個元素，另一方面證明存在集合中元素個數(shù)為2個滿足題意，進(jìn)而得出中元素個數(shù)的最大值；（Ⅲ）設(shè)，，，定義的鄰域，先證明對任意的，中恰有2021個元素，再利用反證法證明，于是得到中共有個元素，但中共有個元素，所以，進(jìn)而證明結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）（A），（B），（C）；（Ⅱ）（a）一方面：對任意的，，，，，，令（a），，，，，，則，（a），故（a），令集合（a），則，且和的元素個數(shù)相同，但中共有個元素，其中至多一半屬于，故中至多有2個元素．（b）另一方面：設(shè)，，，是偶數(shù)，則中的元素個數(shù)為對任意的，，，，，，，，，易得與奇偶性相同，故為偶數(shù)，由，得，故，注意到，0，0，0，，0，，，1，0，0，，且它們的距離為2，故此時滿足題意，綜上，中元素個數(shù)的最大值為2．（Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)且（A），設(shè)，，，任意的，定義的鄰域，（a）對任意的1?i?①若，則，恰有一種可能；，②若，則與，恰有一個分量不同，共2020種可能；綜上，中恰有2021個元素，（b）對任意的1?i?事實上，若，不妨設(shè)，，，，，則，這與（A），矛盾，由（a）和（b），中共有個元素，但中共有個元素，所以2021m?注意到是正整數(shù)，但不是正整數(shù)，上述等號無法取到，所以，集合中的元素個數(shù)小于．【點睛】本題考查集合的新定義，集合的含義與表示、集合的運算以及集合之間的關(guān)系，反證法的應(yīng)用，考查學(xué)生分析、解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．三：根據(jù)集合包含關(guān)系求參數(shù)值或范圍一、單選題1．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知集合，．若，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出集合，再根據(jù)，知，列出不等式，解之即可得出答案.【詳解】解：解不等式，得，即，或，由，知，所以或，解得或.故選：D．2．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先通過解絕對值不等式化簡集合，然后由題意得，從而建立不等式組求得的范圍.【詳解】解不等式，得，所以.由，得，∴，解得﹒故選：B四：數(shù)軸法解決集合運算問題一、單選題1．（2022·四川·瀘縣五中模擬預(yù)測（文））設(shè)全集，已知集合，，則?U(A∩B)=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡集合，先求出，再求出其補(bǔ)集即可得解.【詳解】或，，所以，所以?U(A∩B)，即.故選：D2．（2022·江西宜春·模擬預(yù)測（文））已知集合，，則（

）A．R B． C． D．【答案】D【分析】求函數(shù)定義域化簡集合A，解不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】由得，則，由解得，即，所以.故選：D3．（2022·全國·模擬預(yù)測（文））已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合M，N，然后進(jìn)行并集的運算即可.【詳解】∵，，∴.故選：C.二、填空題4．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)集合，則________.【答案】【分析】根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解不等式，得，解得，即，；故答案為：.5．（2020·上海·模擬預(yù)測）已知集合，，則______．【答案】【分析】先解對數(shù)不等式和分式不等式求得集合A、B，再根據(jù)交集定義求得結(jié)果.【詳解】因為，，所以，故答案為：.【點睛】本題考查對數(shù)不等式和分式不等式的解法以及交集定義，屬于基礎(chǔ)題.6．（2020·江蘇·模擬預(yù)測）已知集合，，則______.【答案】【分析】利用集合的交運算即可求解.【詳解】由集合，，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了集合的交概念以及運算，屬于基礎(chǔ)題.7．（2020·江蘇·吳江盛澤中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，集合，則________．【答案】【詳解】，，所以．【點睛】本題考查了交集運算，此題屬于簡單題.8．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·三模）已知全集U＝R，A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，則A∩【答案】或【分析】先化簡集合,再求，最后求得解.【詳解】解：A＝{x|f（x）＝ln（x2﹣1）}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，則＝{x|x≥3或x≤﹣1}，則＝或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域的求法，考查一元二次不等式的解法，考查集合的交集和補(bǔ)集運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.五、元素、子集、集合的個數(shù)1．（2022?衡水模擬）已知集合A＝{x|+＝1，x∈N}，A?C?{0，1，2，3，4}，則滿足條件的集合C的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先化簡，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，子集個數(shù)即可求解．【解答】解：∵A＝{x|+＝1，x∈N}＝{0，1，2}，又A?C?{0，1，2，3，4}，∴C可以為{0，1，2}，{0，1，2，3}，{0，1，2，4}，{0，1，2，3，4}，∴滿足條件的集合C的個數(shù)為4．故選：C．【點評】本題考查集合的包含關(guān)系，子集個數(shù)，屬基礎(chǔ)題．2．（2022?密云區(qū)一模）已知集合P＝{x|0＜x＜4，x∈Z}，且M?P，則M可以是（）A．{1，2} B．{2，4} C．{0，2} D．{3，4}【分析】化簡集合P，再判斷子集即可．【解答】解：∵P＝{x|0＜x＜4，x∈Z}＝{1，2，3}，故選：A．【點評】本題考查了集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．六、集合的交、并、補(bǔ)全的運算3．（2022?溫江區(qū)模擬）集合A＝{a∈Z|a2≤4}，B＝{b∈N|b＜3}，則A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2} D．{1，2，3}【分析】先化簡，再求交集運算即可得解．【解答】解：由題意可得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{0，1，2}，∴A∩B＝{0，1，2}，故選：B．【點評】本題考查集合基本運算，屬基礎(chǔ)題．4．（2022?溫江區(qū)模擬）給定正數(shù)a，b及實數(shù)m，記，若滿足A∩Bm＝?的實數(shù)m的取值集合為{2，﹣2}，則（）A．a(chǎn)＝2，b＝1 B．a(chǎn)＝4，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝1，b＝4【分析】先由集合的描述法得集合表示的幾何意義，再A∩Bm＝?的實數(shù)m的取值集合為{2，﹣2}得雙曲線的漸近線的斜率，從而建立方程求解．【解答】解：∵集合Bm表示直線y＝m（x﹣1）上的點（不含（1，0））．又A∩Bm＝?的實數(shù)m的取值集合為{2，﹣2}，∴過（1，0）有且只有兩條斜率存在的直線與雙曲線有公共點，∴（1，0）在雙曲線上，且雙曲線的兩條漸近線的斜率分別為2，﹣2，∴，∴b＝2，故選：C．【點評】本題考查集合的描述法，數(shù)形結(jié)合思想，直線與雙曲線的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題．七、集合法解充分必要條件5．（2022?浙江模擬）設(shè)x，y都是不等于1的正數(shù)，則“l(fā)ogx2＜logy2”是“2x＞2y＞2”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】因為x，y都是不等于1的正數(shù)，所以logx2＜logy2?x＞y＞0且x≠1、y≠1，2x＞2y＞2?x＞y＞1，以此可解決此題．【解答】解：因為x，y都是不等于1的正數(shù)，所以logx2＜logy2?x＞y＞0且x≠1、y≠1，2x＞2y＞2?x＞y＞1，所以“l(fā)ogx2＜logy2”是“2x＞2y＞2”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題考查充分、必要條件的判斷及指對函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022?丹東模擬）若x∈R，則使“x2＜2x”成立的一個必要不充分條件為（）A．0 B．2＞4x C．＞1 D．x＞0【分析】求出不等式的等價條件，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵由x2＜2x可得0＜x＜2，∴x2＜2x的等價條件是（0，2），由＞4x可得x2＞2x，所以x＞2或x＜0，由＞1可得0＜x＜2，所以使“x2＜2x”成立的一個必要不充分條件為x＞0．故選：D．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出不等式的等價條件是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．八、充分、必要條件的應(yīng)用7．（2022?義烏市模擬）已知實數(shù)a，b，a＞0，b＞0，則“a+b＜2”是“”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】從充分性和必要性兩個角度分別判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+b＜2，∴0＜a＜2﹣b，則，即充分性成立；若，則兩邊同時平方可得，a＜2﹣b，即a+b＜2，即必要性成立；∴“a+b＜2”是“”的充分必要條件．故選：C．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)以及充要條件的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022??？谀M）已知x，y∈R且x≠0，則“x＞y”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】從充分性和必要性兩個角度分別判斷，即可得出答案．【解答】解：（法一）當(dāng)0＞x＞y時，0＜﹣x＜﹣y，則，即；當(dāng)x＞y＞0時，，即；當(dāng)x＞0≥y時，；∴x＞y是的充分條件；當(dāng)時，由于x2＞0，則x＞y，即x＞y是的必要條件；綜上，x＞y是的充要條件．（法二）∵x≠0，∴x2＞0，∴由x＞y兩邊同時除以x2，得，充分性成立；由兩邊同時乘以x2，得x＞y，必要性成立．∴x＞y是的充要條件．故選：C．【點評】本題考查充要條件的判斷以及不等式的性質(zhì)，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．九、量詞命題及其否定9．（2022?齊齊哈爾三模）已知0＜b＜a＜1，下列四個命題：①?x∈（0，+∞），ax＞bx，②?x∈（0，1），logax＞logbx，③?x∈（0，1），xa＞xb，④?x∈（0，b），ax＞logax．其中是真命題的有（）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、指數(shù)與對數(shù)運算性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等逐項判斷．【解答】解：由已知0＜b＜a＜1，對于①：ax＞bx?，因為，且x＞0，故該式成立，即①正確，排除B、D選項；對于②：因為x∈（0，1），故logax＞logbx＞0?0＜logxa＜logxb?⑤，因為y＝logmx當(dāng)m∈（0，1）時，該函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，故⑤式成立，即②式成立，故②正確，故A錯誤，C正確．故選：C．【點評】本題考查全稱量詞與存在量詞命題的真假判斷，屬于中檔題．10．（2022?遼寧模擬）關(guān)于圓C：（x﹣a）2+y2＝a2，有下列四個命題：甲：圓C的半徑r＝1；乙：直線與圓C相切；丙：圓C經(jīng)過點（2，0）；?。褐本€x﹣y﹣1＝0平分圓C，如果只有一個命題是假命題．則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【分析】易知圓心為（a，0），半徑r＝|a|，然后當(dāng)丁成立時，可得a＝1，此時甲、丙都成立，由此可作出判斷．【解答】解：由題知圓心為（a，0），半徑r＝|a|，若丁成立，則a﹣0﹣1＝0，故a＝1，故圓的方程為（x﹣1）2+y2＝1，故圓的半徑r＝1，故甲成立，將（2，0）代入圓的方程，顯然成立，故丙成立，此時圓心（1，0）到直線的距離為d＝，故乙不成立．故選：B．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系以及命題真假的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．【熱點、重難點真題訓(xùn)練】一．選擇題（共12小題）1．（2022?新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N＝（）A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}【分析】分別求解不等式化簡M與N，再由交集運算得答案．【解答】解：由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．故選：D．【點評】本題考查交集及其運算，考查不等式的解法，是基礎(chǔ)題．2．（2022?乙卷）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（）A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義寫出集合M，再判斷選項中的命題是否正確．【解答】解：因為全集U＝{1，2，3，4，5}，?UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3?M，4∈M，5∈M．故選：A．【點評】本題考查了補(bǔ)集的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3．（2022?乙卷）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，則M∩N＝（）A．{2，4} B．{2，4，6} C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，10}【分析】直接利用交集運算求解即可．【解答】解：∵M(jìn)＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，∴M∩N＝{2，4}．故選：A．【點評】本題考查集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022?新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，則A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}【分析】解不等式求集合B，再根據(jù)集合的運算求解即可．【解答】解：|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，∴集合B＝{x|0≤x≤2}∴A∩B＝{1，2}．故選：B．【點評】本題主要考查集合的基本運算，利用集合的關(guān)系是解決本題