第05講 導數(shù)的應用（15種題型）-沖刺2025年高考數(shù)學熱點、重難點題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）

第05講導數(shù)的應用（15種題型）題型一：利用導數(shù)證明或求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）1．（2023春·甘肅天水·高三校考開學考試）已知函數(shù)．(1)當a=1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若在定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.(2).【分析】（1）利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）利用分離參數(shù)法得到恒成立.令，利用導數(shù)求出，即可求出a的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．當a=1時，.導函數(shù).令，解得：；令，解得：.所以函數(shù)的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.（2）因為在定義域內(nèi)恒成立，所以恒成立.令，只需.的導函數(shù).令，解得：.列表得：1+-單增極大值單減所以.所以.解得：.所以a的取值范圍為.2．（2023·陜西·西安市西光中學校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的最大值為，求的值.【答案】(1)函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2)【分析】（1）確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的正負，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求得函數(shù)的導數(shù)，討論a的取值范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，結(jié)合題意，求得a的值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為當時，，，令得，；令得，或，結(jié)合定義域得，∴函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）①當時，，∴，∴函數(shù)在上是增函數(shù)，∴，∴，∴符合題意；②當且時，令得，+0-增函數(shù)極大值減函數(shù)∴，∴，∴不符合題意，舍去；③若，即時，在上，∴在上是增函數(shù)，故在上的最大值為，∴不符合題意，舍去，綜合以上可得.3．（2023·山東·濰坊一中校聯(lián)考模擬預測）在中，，是邊上一點，．(1)若，求的值；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出、，再在、、中分別利用正弦定理計算可得；（2）設，則，，由面積公式表示出、、，即可得到，從而得到，令，則，設利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的值域，即可得解.【詳解】（1）解：由，，可得，．在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得，所以．（2）解：由，得．設，則，，所以，，，則，故．設，則．因為，所以，則．設，，則．因為當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．因為，，所以，故的取值范圍為．4．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）求導，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出答案；（2）當吋，，即證在上恒成立，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用導數(shù)比較在時，和的大小，即可得證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，記，則，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）原不等式為，即，即證在上恒成立，設，則，所以，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，令，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，且在上有，所以可得到，即，所以在時，有成立.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及利用導數(shù)證明不等式問題，考查了轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，有一定的難度.5．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù).(1)若，判斷的單調(diào)性；(2)當時，不等式恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增(2)【分析】（1）求解導函數(shù)，對進行分解變形得，結(jié)合余弦函數(shù)的取值范圍確定的符號，即可得函單調(diào)性；（2）求解導函數(shù)，得，令，設，分類討論判斷的符號，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，再滿足，即可求得正實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）若，則，所以，當時，，所以，，則，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增.（2）當時，，所以.因為恒成立，即，令，設，①若，即，當時，，當時，，記，則，，得，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，易知當時，，所以，又，所以，所以恒成立，即滿足題意.；②若，即，則在上恒成立，即當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以恒成立，即滿足題意.③若，即，當時，，當時，，記，則，得，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以當，即時，，所以恒成立，即滿足題意；當，即時，，不滿足題意，即不滿足題意.④若，即，當時，；當時，，即當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，不滿足題意，即不滿足題意.綜上，正實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)極值與最值與導數(shù)綜合應用，屬于難題.解決本題的關鍵是，在含有三角函數(shù)的導數(shù)問題中，需要利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)分區(qū)間討論導函數(shù)的正負從而確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，在本題中由于，需令，引入新函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)與余弦函數(shù)的取值范圍分段處理導數(shù)符號與函數(shù)最值問題，從而得正實數(shù)a的取值范圍.6．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，是的導函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設，若函數(shù)在上存在小于1的極小值，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞增；(2).【分析】（1）求導得到，令，證明，即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）求導得到，再對分求函數(shù)的極值即得解.【詳解】（1）由題意，知的定義域為，．令，則，∴，且當時，；當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，，從而，，∴在上單調(diào)遞增．（2）由題意，得，，．①當時，，．由（1）知，，且當時，；當時，，∴僅在處取得極小值，且極小值為，不符合題意．②當時，令，則．（i）若，即，則，，所以恒成立，此時無極值，不符合題意．（ii）若，即，則圖象的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增．∵，，由函數(shù)單調(diào)性和零點存在性定理得，在上存在唯一的實數(shù)，使得，從而，且當時，，從而；當時，，從而．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴僅在處取得極小值，極小值為．∵在上單調(diào)遞減，且，∴，符合題意．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．【點睛】關鍵點睛：解答本題有兩個關鍵，其一，第一問利用了二次求導，其二，第二問，利用了隱零點，這些都是求解導數(shù)問題常見到的題型，要理解掌握靈活運用.7．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，(1)若a＝1，b＝2，試分析和的單調(diào)性與極值；(2)當a＝b＝1時，、的零點分別為，；，，從下面兩個條件中任選一個證明．（若全選則按照第一個給分）求證：①；②.【答案】(1)結(jié)論見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)求函數(shù)，的導函數(shù)，，再求，的解，分區(qū)間研究函數(shù)，的單調(diào)性和極值；(2)①不妨設，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理確定的范圍，再證明，要證明，只需證明，即可完成證明；②同①可以證明，要證明只需證明，其中，再利用導數(shù)證明求其最大值，并證明最大值小于即可.【詳解】（1）由已知，該函數(shù)的定義域為，所以，當時，，令，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，當時，，當時，，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，其中，所以為函數(shù)的極小值點，極小值為，函數(shù)沒有極大值點；由已知，該函數(shù)的定義域為，所以，設，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，，所以存在，，使得，當時，，當時，，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以為函數(shù)的極小值點，極小值為，函數(shù)沒有極大值點，（2）①由(1)可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，且，又，所以函數(shù)有且僅有兩個零點，不妨設，則，，當時，，該函數(shù)的定義域為，所以，設，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，又，，所以存在，，使得，當時，，當時，，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，所以函數(shù)有兩個零點，不妨設，則，因為為的零點，所以，令，則，所以，所以，所以為函數(shù)的零點，又，所以，同理可得，所以，要證明，只需證明，只需證明，而，，所以，所以；②同①可得函數(shù)有且僅有兩個零點，設其較小零點為，因為，因為，故，所以，，則，，函數(shù)有兩個零點，設其較小零點為，則，要證明，只需證明，只需證明，設，則，只需證明，只需證明，設，，則，設，則，所以函數(shù)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，所以所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，又，所以因為，所以，所以，所以，所以【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一般考慮先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理確定零點的范圍.8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的，恒成立，求證：．【答案】(1)遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）由題知對于任意的恒成立，進而分時和時兩種情況討論求解即可.【詳解】（1）解：，令，則，即，解得的遞增區(qū)間為；令，則，即，解得的遞減區(qū)間為．所以，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為（2）證明：因為，對于任意的，恒成立，所以，對于任意的恒成立，當時，；當時，，令，，所以，．令，，所以，在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞減，所以，，即在上恒成立所以，在上單調(diào)遞減，所以，，所以，．綜上，．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵在于分離參數(shù)，進而構造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論函數(shù)的零點個數(shù).【答案】(1)增區(qū)間為和，減區(qū)間為(2)答案見解析【分析】（1）當時，求得，利用函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：當時，，該函數(shù)的定義域為，，由可得，由可得或.故當時，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為.（2）解：函數(shù)的定義域為，，由，得，，由可得，由可得或.所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，當時，，令，其中，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當時，，此時，，所以在上不存在零點；①當時，，此時函數(shù)無零點；②當時，，此時函數(shù)只有一個零點；③當時，，，則在與上各有一個零點.綜上所述，（i）當時，在上不存在零點；（ii）當時，在上存在一個零點；（iii）當時，在上存在兩個零點.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中且．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在實數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的“不動點”求函數(shù)的“不動點”的個數(shù)；(3)若關于x的方程有兩個相異的實數(shù)根，求a的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)答案見解析；(3)且.【分析】（1）直接利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記，利用導數(shù)得在和上均單調(diào)遞增．記，對分討論，結(jié)合零點定理求函數(shù)的“不動點”的個數(shù)；（3）記，利用（1）得出的單調(diào)性和值域，然后分和兩種情況，結(jié)合（2）中不動點的范圍對進行分析即可【詳解】（1）當時，，定義域為R．，令，得．當時，；當時，．所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（2）函數(shù)的不動點即為方程的根，即方程的根．顯然，不是方程的根，所以．記，因為（當且僅當取等號），所以在和上均單調(diào)遞增．由，記．①當時，（?。┊敃r，，（可設當，當，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以），存在，使得，即存在唯一使得；（ⅱ）當時，，（設當，當，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以），存在，使得，即存在唯一使得．②當時，（?。┊敃r，無零點；（ⅱ）當時，因為，，存在，使得，即存在唯一使得．綜上所述，當時，函數(shù)有兩個“不動點”，；當時，函數(shù)有一個“不動點”．（3）記，由（1）知，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，且；當時，函數(shù)單調(diào)遞減，且當趨向于無窮時，的增長速率遠遠大于一次函數(shù)的增長速率，則．當，由（2）知（其中）．由，代入得．因為，所以此時只有一個解；因為，所以此時有兩個解，故共有三個解，不滿足題意；當，由（2）知由，代入得，當時，只有一個解，不滿足題意，此時；時，共有兩個解，滿足題意，綜上所述，當且時方程有兩個不同實數(shù)根．【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是利用導數(shù)分析函數(shù)的零點問題，常用的方法：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（直接分析函數(shù)的圖象得解）；（3）方程+圖象法（令得到，分析的圖象得解）.11．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．(1)若，試判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若恒成立．①求的取值范圍：②設，表示不超過的最大整數(shù)．求．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)為上的增函數(shù)，證明見解析(2)①；②當或2時，；當時，【分析】（1）求導，再根據(jù)導函數(shù)的符號即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）①恒成立，只要即可，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而可得出答案；②先利用作差法判斷的單調(diào)性，然后結(jié)合①中的結(jié)論求出的范圍，再根據(jù)的定義即可得解.【詳解】（1），記，則，所以，所以單調(diào)遞減；，所以單調(diào)遞增,所以，所以，即，且僅有，所以為上的增函數(shù)；（2）①，令，則，則，所以單調(diào)遞增,所以，即，①當時，，所以為遞增函數(shù)，所以，滿足題意；②當時，，有唯一零點，且，則時，單調(diào)遞減，所以，不合題意，舍去，綜上，；②經(jīng)計算：，因為，所以數(shù)列單調(diào)遞增，所以，當或2時，，當時，，當時，由①可知，此時，即，令，則，則有，令，則有，因為，所以當時，，所以，當或2時，；當時，．【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．12．（2023·全國·高三專題練習）現(xiàn)定義：為函數(shù)在區(qū)間上的立方變化率.已知函數(shù)，(1)若存在區(qū)間，使得的值域為，且函數(shù)在區(qū)間上的立方變化率為大于0，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意區(qū)間的立方變化率均大于的立方變化率，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得到單調(diào)遞增，即，故，分離參數(shù)后得到有兩不等實根，構造，得到其單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象得到實數(shù)的取值范圍；（2）由題意得到，轉(zhuǎn)化為對任意，有，構造，求導得到在上恒成立，解法一：考慮與兩種情況，結(jié)合同構思想，得到，求出其單調(diào)性，得到在上恒成立，變形為，構造，求導后得到其單調(diào)性，求出；解法二：變形為，構造，觀察得到與互為反函數(shù)，從而證明出恒成立即可，構造，求導后得到其單調(diào)性，求出；方法三：對二次求導，構造，求導后分與兩種情況，分析出時，在上存在唯一，使得，求出在上恒成立，轉(zhuǎn)化為只需即可，利用基本不等式證明出結(jié)論，且時，不合題意，得到答案.【詳解】（1）在區(qū)間上的立方變化率為正，可得單調(diào)遞增，即.故若存在區(qū)間，使得的值域為，即存在不同的，使得，故方程有兩不等實根，化簡得有兩不等實根.即與有兩個不同的交點.由，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當時，，當時，，故要使與有兩個不同的交點，,故實數(shù)的取值范圍是；（2）由對任意區(qū)間的立方變化率均大于的立方變化率，可得，由可得，，即對任意，有可得在上單調(diào)遞增.即在上恒成立，解法一：①當時，當時，，顯然不成立.②當時，在上恒成立，即在上恒成立，令在上恒成立，即.顯然在上單調(diào)遞增，得在上恒成立.即恒成立令，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得解法二：①當時，當時，，顯然不成立.②當時，可轉(zhuǎn)化為，令，可得與互為反函數(shù)，故恒成立，只需恒成立即可，即恒成立.令，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得.解法三：令，可得①當時，，此時在上單調(diào)遞增，由，當時，，故在上存在唯一，使得，即，即，，令，則，當時，，當時，，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上恒成立，只需即可.而，解得經(jīng)檢驗，當時等號成立，故②當時，當時，，顯然不成立.故.【點睛】隱零點的處理思路：第一步：用零點存在性定理判定導函數(shù)零點的存在性，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區(qū)間，有時還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點的個數(shù)；第二步：虛設零點并確定取范圍，抓住零點方程實施代換，如指數(shù)與對數(shù)互換，超越函數(shù)與簡單函數(shù)的替換，利用同構思想等解決，需要注意的是，代換可能不止一次.題型二：分類討論法證明或求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（含參）1．（2023秋·天津·高三統(tǒng)考期末）設函數(shù)，，，已知曲線在點處的切線與直線垂直．(1)求a的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若對成立，求b的取值范圍．【答案】(1)2(2)答案見解析(3)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義可得關于a的方程，解方程即可得出答案；（2）對求導，分和討論的正負，即可求出的單調(diào)性；（3）由恒成立，等價于，令，轉(zhuǎn)化為求.【詳解】（1）的定義域為，

，

由于直線的斜率為，.（2），，

①當時，，在R上單調(diào)遞增；②當時，令有，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增.綜上所述：，的單調(diào)遞增區(qū)間為R，，的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.（3）由恒成立，等價于，令（），，

①若時，，所以在上單調(diào)遞增，，即，滿足，②若時，則，所以在上單調(diào)遞增，當趨近于0時，趨近于，不成立，故不滿足題意.

③若時，令，，，，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，只需即可，，，令，，在上單調(diào)遞增，，時，，，，所以在上單調(diào)遞增，，即，

綜上：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義、求單調(diào)區(qū)間和利用導數(shù)求解恒成立問題；本題求解恒成立問題的關鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.2．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，然后構造新函數(shù)，利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證.[方法二]：分析+放縮法有2個不同零點，不妨設，由得（其中）．且．要證，只需證，即證，只需證．又，所以，即．所以只需證．而，所以，又，所以只需證．所以，原命題得證．[方法三]：若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個零點且．又，故進一步有．由可得且，從而．．因為，所以，故只需證．又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時有，故不等式成立．【整體點評】本題第二、三問均涉及利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題，其中第三問難度更大，涉及到三種不同的處理方法，方法一：直接分析零點，將要證明的不等式消元，代換為關于的函數(shù)，再利用零點反代法，換為關于的不等式，移項作差構造函數(shù)，利用導數(shù)分析范圍.方法二：通過分析放縮，找到使得結(jié)論成立的充分條件，方法比較冒險！方法三：利用兩次零點反代法，將不等式化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為與0比較大小，代入函數(shù)放縮得到結(jié)論.3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個零點，求的取值范圍．【答案】（1）詳見解析；(2).【分析】（1），對分和兩種情況討論即可；（2）有三個零點，由（1）知，且，解不等式組得到的范圍，再利用零點存在性定理加以說明即可.【詳解】（1）由題，，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，令，得，令，得，令，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，有三個零點，則，且即，解得，當時，，且，所以在上有唯一一個零點，同理，，所以在上有唯一一個零點，又在上有唯一一個零點，所以有三個零點，綜上可知的取值范圍為.【點晴】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查學生邏輯推理能力、數(shù)學運算能力，是一道中檔題.4．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)性；(2)首先求得導數(shù)過坐標原點的切線方程，然后將原問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題，據(jù)此即可求得公共點坐標.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導函數(shù)的判別式，當時，在R上單調(diào)遞增，當時，的解為：，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；綜上可得：當時，在R上單調(diào)遞增，當時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標原點的切線與曲線的公共點的坐標為和.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，和過曲線外一點所做曲線的切線問題，注意單調(diào)性研究中對導函數(shù)，要依據(jù)其零點的不同情況進行分類討論；再求切線與函數(shù)曲線的公共點坐標時，要注意除了已經(jīng)求出的切點，還可能有另外的公共點(交點),要通過聯(lián)立方程求解，其中得到三次方程求解時要注意其中有一個實數(shù)根是求出的切點的橫坐標，這樣就容易通過分解因式求另一個根.三次方程時高考壓軸題中的常見問題，不必恐懼，一般都能容易找到其中一個根，然后在通過分解因式的方法求其余的根.5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)當時，，求a的取值范圍；(3)設，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.（2）設，求出，先討論時題設中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設中的不等式.【詳解】（1）當時，，則，當時，，當時，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設，則，又，設，則，若，則，因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設矛盾.若，則，下證：對任意，總有成立，證明：設，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當時，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對任意的恒成立.所以對任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應該利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導數(shù)的符號合理分類討論，導數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構建數(shù)列不等式.6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，.(1)若，求的最小值；(2)若有且只有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小值為；(2).【分析】（1）代入，求出，根據(jù)的范圍可得在上恒成立，即可求出最小值；（2）顯然，則原題可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且只有1個零點．求出導函數(shù)，進而二次求導可得在區(qū)間上單調(diào)遞增.推理得到當時，在上零點，根據(jù)導函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的存在定理可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當時，，則.

當時，，所以，所以.又，所以，所以恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最小值為.（2）解：由已知可得，則在區(qū)間上有且只有1個零點．，令，.則，因為在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，當時，有最小值；當時，有最大值.當時，有，則恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.又，所以在區(qū)間上無零點，不符合題意，舍去；當時，有恒成立，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.又，所以在區(qū)間上無零點，不符合題意，舍去；當時，有，.又在區(qū)間上單調(diào)遞增，根據(jù)零點的存在定理可得，，使得.當時，，單調(diào)遞減：當時，，單調(diào)遞增.又，，要使在區(qū)間上有且只有一個零點，則，解得.又，所以.綜上，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求解參數(shù)的取值范圍：先觀察看函數(shù)是否已存在零點，然后根據(jù)導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的存在定理，即可得到參數(shù)的取值范圍.7．（2023春·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W?？茧A段練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；(2).【分析】（1）對函數(shù)求導，討論和兩種情況導數(shù)的符號，進而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)題意，化簡可得，構造函數(shù)，若不等式恒成立，則即可，進而求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)，所以，當時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，另，得，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述，當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）若不等式恒成立，則有，即，化簡得，設函數(shù)，，，令得，即，所以存在，使得成立，所以，①，且，即，②，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，代入①②，可得，要使得恒成立，則即可，所以.8．（2023春·河南·高三洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若存在極小值，求的極小值的最大值．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)2【分析】（1）代入函數(shù)解析式，求導，利用導數(shù)討論的單調(diào)性；（2）分類討論函數(shù)的單調(diào)性，計算極小值，利用構造函數(shù)求解單調(diào)性的方法求極小值的最大值．【詳解】（1）當時，，，令，解得或．當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2），①若，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，無極小值．②若，令，解得或．（ⅰ）若，即，x小于0大于0小于0單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以在處取極小值，此時有的極小值．（ⅱ）若，即，在R上恒成立，所以單調(diào)遞減，無極值．（ⅲ）若，即，x小于0大于0小于0單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減的極小值．令，設，則，令，則或（舍去）．當時，，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減．所以，綜上所述，的極小值的最大值為2．【點睛】方法點睛：1.利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應用.2.求算式的最值或證明不等式，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若，求證：當時，對，恒有．【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞減；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)見解析【分析】（1）對求導，分，兩種情況，根據(jù)導數(shù)的正負可判斷的單調(diào)性；（2）構造新函數(shù)，將所求問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，利用導數(shù)研究的單調(diào)性，即可證得.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，此時在上單調(diào)遞減；當時，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述：當時，在上單調(diào)遞減；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）證明：當時，，令函數(shù)，，所以在上單調(diào)遞減，且，所以，即，所以當，，則，所以，所以當，，則，所以，令函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以對，恒成立，所以當時，對，恒有.【點睛】方法點睛：證明不等式，構造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.題型三：已知函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍1．（2023·陜西咸陽·?？寄M預測）已知函數(shù)，是其導函數(shù)，其中．(1)若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)若不等式對恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出導函數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)遞減，可得在上恒成立，分類參數(shù)可得在上恒成立，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得解；（2）將已知不等式轉(zhuǎn)化為對恒成立，令，在對分類討論，求出的最大值小于等于0，即可求出答案.【詳解】（1）解：，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，所以a的取值范圍為；（2）解：由得，即對恒成立，令，，當時，，不滿足；當時，時，，時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，不符合題意；當時，時，，時，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，解得，綜上所述，a的取值范圍.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，考查了學生的計算能力.2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.【答案】(1)極小值，無極大值(2)【分析】（1）先求出導函數(shù)，令導函數(shù)為零，然后列表判斷函數(shù)的極值即可，（2）先求出導函數(shù)，然后分和求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可求得結(jié)果(1)當時，，則，令，得，，和的變化情況如下表30遞減極小值遞增所以當時，取得極小值，無極大值(2)由（），得（），當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，當時，由，得，，和的變化情況如下表0遞減極小值遞增因為在上單調(diào)遞增，所以，得，綜上，a的取值范圍為3．（2023·河南信陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)設函數(shù)，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，利用分離參數(shù)法得到對恒成立.設，利用導數(shù)判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增，求出；（2）把題意轉(zhuǎn)化為，恒成立.由為的一個極小值點，解得.代入原函數(shù)驗證成立.【詳解】（1）由題意知因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即對恒成立設，則當時，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增所以（2）由題知所以，因為，所以，即為的最小值，為的一個極小值點，所以，解得當時，所以①當時，（當且僅當時等號成立）所以在上單調(diào)遞增②當時，若，；若，所以在上單調(diào)遞減綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以當時，【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應用．4．（2022·湖南·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，且．(1)若，且在R上單調(diào)遞增，求的取值范圍(2)若圖像上存在兩條互相垂直的切線，求的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）在R上單調(diào)遞增即其導函數(shù)在R上大于等于0恒成立；（2）若圖像上存在兩條互相垂直的切線即存在使，由此可得結(jié)論.（1）由題意知，則，得恒成立，即恒成立，即有.（2）由，令，由，得，所以由題意可知，若圖像上存在兩條互相垂直的切線，只需要且，即，所以，，，所以的最大值為．5．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的極值；(2)若函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）由求得，由此求得的極值.（2）由，結(jié)合判別式來求得的取值范圍.（1），，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.所以的極大值為，極小值為.（2）依題意在上恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是.6．（2022·天津·二模）已知為的導函數(shù).(1)求在的切線方程；(2)討論在定義域內(nèi)的極值；(3)若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，從而可求切線方程；（2）設，其中，求出，討論其符號后可求導數(shù)的極值.（3）在內(nèi)單調(diào)遞減即為，利用導數(shù)可求后者，從而可求參數(shù)的取值范圍.(1)，，而，故切線方程為：即.(2)設，其中，則，當時，，故在上為減函數(shù)，故無極值；當時，若，則，故在上為增函數(shù)；若，則，故在上為減函數(shù)；故有極大值其極大值為，無極小值.(3)因為在內(nèi)單調(diào)遞減，則于恒成立，故在恒成立即.令，則.令得，令得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.所以，故.所以.7．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的值；(2)當時，①證明：函數(shù)有兩個極值點，，且隨著的增大而增大；②證明：．【答案】(1)(2)①證明見解析②證明見解析【分析】（1）由題意恒成立，二次求導，分情況討論的正負情況；（2）①由（1）得，且，即，可確定的取值范圍，且，可證隨著的增大而增大，且，所以隨著的增大而增大；②若證即證，設，，可轉(zhuǎn)化為求的最值問題.【詳解】（1），，由題意知，恒成立，當時，恒成立，則單調(diào)遞增，又，則當時，，單調(diào)遞減，即不符合題意；當時，．解得．可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，設，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．若，即時，，符合題意；若，即時，，不符合題意．綜上，．（2）證明：①時，，由（1）知，，且，當時，，當時，，所以為極大值點，由（1）有，則當時，，所以，所以當時，，當時，．當時，．所以為極小值點，所以有兩個極值點，因為，所以，設，則，由（1）可知，，所以，單調(diào)遞增，所以隨著的增大而增大，且，所以隨著的增大而增大．②由，可得，要證，即證，即證，設，，，，．所以單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以命題得證．【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．題型四：構造函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小一、解答題1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若關于x的不等式在恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）可以直接求導，利用點斜式直線方程即可；（2）由于和的特殊性，當與，同時出現(xiàn)在不等式中時，往往需要用縮放的方法來轉(zhuǎn)換，縮放的方法中有兩個常用的：，，適當?shù)厥褂?，可以解決這個問題.(1)因為，所以，，，所以在處的切線?程為即；(2)不等式，即在，恒成立設，且又，①當時，，因為是連續(xù)的，所以，使當時，，從而在上單調(diào)遞減，又，∴當時，，這與在時恒成立不符.②當時，對于任意的，，從而，這時.設，則，設，則.當時，，在上單調(diào)遞增.又，∴當時，，即.因此，設，則又，當時，，即∴在上單調(diào)遞增.又∵，∴當時，，從而.綜上，實數(shù)a的取值范圍為；故答案為：.【點睛】解決本題的核心是使用縮放法，對于，本身不好計算，參數(shù)a分不出來，這時就應該考慮縮放，因為是指數(shù)函數(shù)中常用的，如下圖：也是常用的，在中剛好都有；適當?shù)厥褂每s放，可以大大化簡計算過程.2．（2022春·天津西青·高三?？茧A段練習）已知實數(shù)，函數(shù).(1)（i）若函數(shù)在上恰有一個零點，求實數(shù)的值；（ⅱ）當時，證明：對任意的，恒有.(2)當時，方程有兩個不同的實數(shù)根，證明：.【答案】(1)（i）；（ⅱ）證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）（i）由題設可得，根據(jù)導函數(shù)符號判斷的單調(diào)性，進而求得極值，結(jié)合題設有，即可求參數(shù)值；（ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為求證，再將其展開有，利用基本不等式、因式分解，并構造并利用導數(shù)研究單調(diào)性，即可證明結(jié)論.（2）令并研究其單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為求證，然后構造，利用導數(shù)研究極值點、單調(diào)性可得，結(jié)合，將問題進一步轉(zhuǎn)化為求證即，討論、，構造中間函數(shù)結(jié)合導數(shù)研究函數(shù)值符號，即可證結(jié)論.（1）（i）由題設且，則上，上，所以在上遞減，在上遞增，而，要使在上恰有一個零點，只需，即.（ⅱ），，要證，即證，，則，需證，由，且，由，則，即在上，遞減，所以，即，綜上，成立，故得證.（2）由等價于，若，需證，由上，，故時，即遞減.因為等價于，令且，，則，又在上遞減，趨向正無窮時趨向于，所以使，則在上，遞增；在上，遞減；綜上，存在極大值，結(jié)合是的兩個不同零點，所以，且，綜上，由的單調(diào)性，問題轉(zhuǎn)化為證明即可.當時，顯然成立；當時，要證，只需即可，令且，則，故遞減，則，即，所以，令，則在上遞減且，，故使，所以在上，遞增，上，遞減，則，即.綜上，上，得證.【點睛】關鍵點點睛：（1）（ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化為，利用基本不等式、因式分解、構造函數(shù)研究單調(diào)性證明不等式；（2）利用分析法，構造結(jié)合導數(shù)研究單調(diào)性、極值，將問題轉(zhuǎn)化為求證，注意分類討論思想的應用.3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，.(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)的值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）分別求得和，根據(jù)，列出方程，即可求解；（2）由得，轉(zhuǎn)化為，設，求得，令，利用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性和最值，進而求得在上單調(diào)遞增，得到對恒成立，即可求解.(1)解：由題意，函數(shù)，可得，所以，又由函數(shù)，可得，所以，因為在點處的切線與在點處的切線互相平行，可得，又因為，所以.(2)解：由得，即，即，設，則，，由，設，可得，所以時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，即對恒成立，設，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用同構結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式為.4．（2022·浙江·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線方程為，求a的值；(2)若恒成立，求a的取值范圍【答案】(1)2(2)【分析】（1）先求導數(shù)，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求答案.（2）將恒成立變形為恒成立，整理為，然后構造函數(shù)，將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題解決.(1)∵，,∴,∵曲線在點處的切線方程為,∴，即，解得；(2)恒成立，即恒成立，即，令，則，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴，∴，即，令，則，當時，，此時單調(diào)遞增，當時，，此時單調(diào)遞減，∴，故，則，即.5．（2022春·浙江溫州·高三統(tǒng)考開學考試）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求證：時，；(2)設的解為（，2，…），.①當時，求的取值范圍；②判斷是否存在，使得成立，并說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)①；②不存在，理由見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件構造函數(shù)，利用導數(shù)探討其單調(diào)性推理作答.(2)①探討函數(shù)的性質(zhì)，作出部分圖象，結(jié)合圖象可得，構造函數(shù)并求出其值域得解；②分類討論的各種取值條件下值的范圍即可判斷作答.(1)，令，求導得：，令，，，則在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，則，，即，所以時，.(2)①，當或或時，，當或時，，于是得在，，上都遞增，在，上都遞減，而，又時，，，的部分圖象大致如圖，觀察圖象知，當時，又，必有，令，，因在上遞減，則在上遞減，因此，在上遞增，則當時，，所以的取值范圍是；②不存在，因，則當時，而，必有，即不成立，當時，不存在或者，有，即不成立，當時，，令，，，而當時，，，則，即在上遞增，，因此，，，于是得，又，，且函數(shù)在上遞增，故有，即，不成立，綜上，不存在，使得成立.【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關鍵.6．（2022·河南·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的零點個數(shù)；(2)比較，，的大小，并說明理由.【答案】(1)一個零點(2)，理由見解析【分析】（1）對二次求導，求出的單調(diào)性及極值，判斷出的零點個數(shù)；（2）對要比較大小的式子進行整理變形，結(jié)合第一問函數(shù)的單調(diào)性進行證明.(1)，，設，則因此在上單調(diào)遞減，又，所以當時，，即，在上單調(diào)遞增，當時，，即，在上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，又，故有且僅有一個零點.(2)因為，，由（1）可知，當時，恒成立，又，所以，又對于任意的時，所以，即，因為，所以，所以.【點睛】導函數(shù)比較函數(shù)值的大小，通常會構造函數(shù)，或者對函數(shù)值進行變形，本題中，是關鍵，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進行比較.題型五：利用導數(shù)求解函數(shù)的極值1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在與時，都取得極值．(1)求，的值；(2)若，求的單調(diào)增區(qū)間和極值．【答案】(1)，(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值是，函數(shù)的極小值是.【分析】（1）利用導數(shù)與極值點的關系，求得后，再檢驗；（2）首先求，再利用導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，極值的關系，即可求解.【詳解】（1），由條件可知和，即，解得：，，所以，檢驗：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增經(jīng)檢驗與時，都取得極值，滿足條件，所以，；（2），解得：，所以單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增有表可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，函數(shù)的極大值是，函數(shù)的極小值是.2．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù).(1)求的極值；(2)設，若對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，證明：.【答案】(1)的極小值為(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導研究函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）構造函數(shù)，求導后注意到，進而得到，，再驗證充分性；（3）構造函數(shù)利用導函數(shù)研究其單調(diào)性，從而證明不等式.(1)函數(shù)，則，令，解得：，且當時，，時，因此：的極小值為，無極大值.(2)令，則，注意到：，若要，必須要求，即，亦即另一方面：當時，因為單調(diào)遞增，則當時，恒成立，所以在時單調(diào)遞增，故；故實數(shù)的取值范圍為：；(3)構造函數(shù)，，，，，，在上是單調(diào)遞增的；故即：另一方面，構造函數(shù)，，在上是單調(diào)遞減的故即：綜上，.【點睛】函數(shù)單調(diào)性是非常重要的，有些題目通過構造新函數(shù)，研究其單調(diào)性和極值，最值，可以很快的得到解決，本題中的第三問要證明不等式，看起來很繁瑣，只要我們把換成就可以得到新函數(shù)，利用導函數(shù)研究其單調(diào)性和極值，就可以得到解決.3．（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù).(1)若，求的極值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)有極小值，無極大值；(2)討論過程見解析.【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合極值的定義進行求解即可；（2）根據(jù)導數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合的不同取值分類討論進行求解即可.（1）當時，，所以，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，該函數(shù)有極小值，無極大值.（2）由，，當時，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減；當時，，或，當時，，函數(shù)在時，單調(diào)遞增，當時，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【點睛】關鍵點睛：根據(jù)一元二次方程兩根之間的大小關系分類討論是解題的關鍵.4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的極值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】（1）極大值為；極小值為；（2）答案見解析．【分析】（1）時，先求導以及的根，再列表判斷單調(diào)性，即求得極值；（2）先寫定義域，求導以及的根，再討論根是否在定義域內(nèi)和兩個根的大小關系，確定導數(shù)的正負情況，即得函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】解：（1）當時，，定義域為，．令，解得，或．當變化時，，的變化情況如下表：＋－＋單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增當時，有極大值，且極大值為；當時，有極小值，且極小值為．（2）函數(shù)定義域為，．令得或．①若，則當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．②若，即，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.③若，即，則當時，，單調(diào)遞增，④若，即，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增．綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是．5．（2022·河北衡水·統(tǒng)考二模）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若曲線有，兩個零點.（i）求的取值范圍；（ii）證明：存在一組，（），使得的定義域和值域均為.【答案】(1)極大值為，無極小值(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出導函數(shù)，求出的根，列表確定的正負，的單調(diào)性與極值；（2）（i）轉(zhuǎn)化為有兩解，設，利用導數(shù)確定的單調(diào)性與極值，最大值大于0，確定有小于0的函數(shù)值（需引入新函數(shù)，再利用導數(shù)確定單調(diào)性得出），結(jié)合零點存在定理得結(jié)論；（ii）先利用導數(shù)確定的單調(diào)性與最大值點，然后由按與區(qū)間的關系分類討論確定函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的值域，由值域是確定的取值范圍，從而得證．(1)函數(shù)定義域是，當時，，則，令，解得，列表可知1+0－單調(diào)遞增1單調(diào)遞減的極大值為，無極小值；(2)（i）解：由題意可知，有兩解，即有兩解，設，則，令，解得（舍去），列表可知，+0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減，因為有兩個零點，所以，解得，當時，有，可得，令，有，時，．時，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有，可得，當時，.所以存在，，使得，所以；（ii）證明：因為，令，解得，列表可知，+0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，①若，則在上單調(diào)遞增，因此，，由上可知取，，此時，，所以當時，存在一組，符合題意；②若，則在上單調(diào)遞減，所以，，所以，即，不符題意；③若，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由得，又因為，所以，即，，所以當時，存在一組，符合題意；綜上，存在一組，符合題意.【點睛】本題考查用導數(shù)求函數(shù)的極值，研究方程的根與函數(shù)零點分布，研究函數(shù)的值域．難點有兩個：第一個是由零點個數(shù)確定參數(shù)范圍時，零點的存在性一般與零點存在定理結(jié)合，因此需要在某個區(qū)間的兩個端點處函數(shù)值符號相反才能得出，本題中需要引入新函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)得出，第二個是確定函數(shù)值域問題，需對參數(shù)進行分類，一定要注意分類標準的確定，需要有統(tǒng)一標準，本題是按區(qū)間與函數(shù)的最大值點的關系分類，然后求出對應參數(shù)的取值范圍，它們正好相適應，從而得出結(jié)論．本題對學生的邏輯能力，運算求解能力，分析問題解決問題的能力要求較高，屬于困難題．6．（2023·全國·高三專題練習）已知對于不相等的正實數(shù)a，b，有成立，我們稱其為對數(shù)平均不等式．現(xiàn)有函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，．①證明：；②證明：．【答案】(1)極大值為，無極小值(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)區(qū)間即可求出極值；（2）由和可得，由已知條件所給的不等式即可證得①；由①可得，則，令，構造函數(shù)，利用二次求導根據(jù)單調(diào)性即可證得②.(1)函數(shù)的定義域為，，則當時，；時，．即在上遞增，上遞減，故的極大值為，無極小值．(2)結(jié)合（1）由，；，，可得，①由題意可得，從而，即，結(jié)合參考的公式可得：，故，且，即，從而有．②由①可得，令，則，所以，則，則，∴遞減，又∵，∴，故遞增，∴，即，即．題型六:利用函數(shù)的極值求參數(shù)值1．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)若在，上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．(2)若的最大值為6，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）在，上是減函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在，上恒成立,進而求得實數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及邊界值可以求得函數(shù)最大值，進而求得實數(shù)的值.(1)函數(shù)的定義域為，，在，上是減函數(shù)，在，內(nèi)恒成立，在，內(nèi)恒成立，設，則，，，在，內(nèi)單調(diào)遞增，，由可得．(2)函數(shù)的定義域為，且，又知的最大值為6，故，即，．下面證明：當時，，即，也即，設，，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，，在內(nèi)恒成立，符合題意．2．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)在處有極值.（1）求實數(shù)、的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求極值.【答案】（1），；（2）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值，無極大值.【分析】（1）由題設有，結(jié)合在處有極值，列方程組求、的值；（2）由（1）得且的定義域為，即可確定的區(qū)間單調(diào)性，進而確定單調(diào)區(qū)間和極值.【詳解】（1）由，知.又∵在處有極值，則，即，∴，.（2）由（1）可知，定義域為，∴.令，則（舍去）或；當變化時，，的變化情況如表：1-0+↘極小值↗∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，且函數(shù)在定義域上有極小值，而無極大值.【點睛】關鍵點點睛：（1）利用極值點處導數(shù)值為0，求參數(shù)值即可.（2）寫出函數(shù)的導函數(shù)，并討論定義域上各區(qū)間的單調(diào)性，進而確定極值.3．（2018·北京·高考真題）設函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線斜率為0，求a；（Ⅱ）若在處取得極小值，求a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】分析：（1）求導，構建等量關系，解方程可得參數(shù)的值；（2）對分及兩種情況進行分類討論，通過研究的變化情況可得取得極值的可能，進而可求參數(shù)的取值范圍.詳解：解：（Ⅰ）因為，所以.，由題設知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，則當時，；當時，.所以在x=1處取得極小值.若，則當時，，所以.所以1不是的極小值點.綜上可知，a的取值范圍是.方法二：.（1）當a=0時，令得x=1.隨x的變化情況如下表：x1+0?↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.（2）當a>0時，令得.①當，即a=1時，，∴在上單調(diào)遞增，∴無極值，不合題意.②當，即0<a<1時，隨x的變化情況如下表：x1+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極大值，不合題意.③當，即a>1時，隨x的變化情況如下表：x+0?0+↗極大值↘極小值↗∴在x=1處取得極小值，即a>1滿足題意.（3）當a<0時，令得.隨x的變化情況如下表：x?0+0?↘極小值↗極大值↘∴在x=1處取得極大值，不合題意.綜上所述，a的取值范圍為.點睛：導數(shù)類問題是高考數(shù)學中的必考題，也是壓軸題，主要考查的形式有以下四個：①考查導數(shù)的幾何意義，涉及求曲線切線方程的問題；②利用導數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間問題；③利用導數(shù)求函數(shù)的極值最值問題；④關于不等式的恒成立問題.解題時需要注意的有以下兩個方面：①在求切線方程問題時，注意區(qū)別在某一點和過某一點解題步驟的不同；②在研究單調(diào)性及極值最值問題時常常會涉及到分類討論的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立問題屬于高考中的難點，要注意問題轉(zhuǎn)換的等價性.4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.(1)求的取值范圍；(2)記兩個極值點為，，且，當時，求證：不等式恒成立.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將在有兩個不同根轉(zhuǎn)化為方程在有兩個不同根，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，進而求出的取值范圍；（2）兩邊取對數(shù)，將證明轉(zhuǎn)化為證明，再利用（1）合理轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為證明恒成立，再通過求其最值進行證明.【詳解】（1）解：由題意知，函數(shù)的定義域為，方程在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根，即方程在有兩個不同根；令，則，則當時，，時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因為，當時，，當時，，所以的取值范圍為；（2）證明：欲證兩邊取對數(shù)等價于要證，由（1）可知，分別是方程的兩個根，即，所以原式等價于，因為，，所以原式等價于要證明.又由，作差得，，即.所以原式等價于，令，，則不等式在上恒成立.令，又，當時，可見時，，所以在上單調(diào)增，又，,所以在恒成立，所以原不等式恒成立.【點睛】利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法：（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.（2）函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)，然后構建不等式求解.5．（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）已知函數(shù)（）．(1)若a=1，討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)存在兩個極小值點，，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當時，設，求證：．【答案】(1)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增(2)(3)證明見解析【分析】（1）代入求導，求的正負，判斷單調(diào)區(qū)間；（2）求，分類討論和范圍下的極小值點個數(shù)，從而得出a的取值范圍；（3）求的最小值，轉(zhuǎn)化為證明，化簡求導數(shù)證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，，所以，設，則，故為上的增函數(shù)，故，當時，，函數(shù)在上為單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）由已知，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當時，，①當時，，此時當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；所以，無極大值；②當時，，又在單調(diào)遞增，所以在上有唯一零點，且，設，則當，故在上為減函數(shù).所以，所以，所以，又在單調(diào)遞減，所以在上有唯一零點，且，故當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；所以函數(shù)有兩個極小值點．故實數(shù)a的取值范圍為．（3）由已知，即，其定義域為，所以，當時，或，因為，所以，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以．所以要證，只需證，即證，令，則，記，則，∴在單調(diào)遞減，又，故存在，使得，即，∴，記，在上單調(diào)遞減，，故只需證，即，∵，∴在上單調(diào)遞增，成立，故原不等式成立．【點睛】關鍵點點睛：（1）本題討論極小值點個數(shù)，關鍵是將導數(shù)寫成含有常見函數(shù)的形式，然后分析討論的范圍，得出極值點的個數(shù)；（2）用導數(shù)證明不等式，可以采用凹凸反轉(zhuǎn)的方法，即將不等式拆分成兩個函數(shù)，證明其中一個函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值，或證明其中一個函數(shù)的最大值小于另一個函數(shù)的最小值；（3）當求函數(shù)時，若零點不可求，可采用“隱零點”的方法，即借助于等式，表示參數(shù)，代入消參求出最值.6．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)且.（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點，且.【答案】（1）a=1；（2）見解析.【分析】（1）通過分析可知f（x）≥0等價于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，進而利用h′（x）＝a可得h（x）min＝h（），從而可得結(jié)論；（2）通過（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，記t（x）＝f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，從而可知f′（x）＝0存在兩根x0，x2，利用f（x）必存在唯一極大值點x0及x0可知f（x0），另一方面可知f（x0）＞f（）．【詳解】（1）解：因為f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx＝x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），則f（x）≥0等價于h（x）＝ax﹣a﹣lnx≥0，求導可知h′（x）＝a．則當a≤0時h′（x）＜0，即y＝h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以當x0＞1時，h（x0）＜h（1）＝0，矛盾，故a＞0．因為當0＜x時h′（x）＜0、當x時h′（x）＞0，所以h（x）min＝h（），又因為h（1）＝a﹣a﹣ln1＝0，所以1，解得a＝1；另解：因為f（1）＝0，所以f（x）≥0等價于f（x）在x＞0時的最小值為f（1），所以等價于f（x）在x＝1處是極小值，所以解得a＝1；（2）證明：由（1）可知f（x）＝x2﹣x﹣xlnx，f′（x）＝2x﹣2﹣lnx，令f′（x）＝0，可得2x﹣2﹣lnx＝0，記t（x）＝2x﹣2﹣lnx，則t′（x）＝2，令t′（x）＝0，解得：x，所以t（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，所以t（x）min＝t（）＝ln2﹣1＜0，從而t（x）＝0有解，即f′（x）＝0存在兩根x0，x2，且不妨設f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負、在（x2，+∞）上為正，所以f（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0＝0，所以f（x0）x0﹣x0lnx0x0+2x0﹣2x0，由x0可知f（x0）＜（x0）max；由f′（）＜0可知x0，所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，）上單調(diào)遞減，所以f（x0）＞f（）；綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于難題．題型七：利用導數(shù)求解函數(shù)的最值1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導得，按照、及結(jié)合導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當時，，則，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.2．（2021·全國·高考真題）設函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.【點睛】方法點睛：不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導函數(shù)的零點確定其在各個區(qū)間上的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)[方法一]由題意將所給的式子進行變形，利用四元基本不等式即可證得題中的不等式；(3)[方法一]將所給的式子進行恒等變形，構造出(2)的形式，利用(2)的結(jié)論即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：基本不等式法由四元均值不等式可得，當且僅當，即或時等號成立．所以．[方法二]：構造新函數(shù)+齊次化方法因為，令，則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值．求導得，令，得．當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的最大值為，故．[方法三]：結(jié)合函數(shù)的周期性進行證明注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計算可得：，，，據(jù)此可得：，，即.(3)利用(2)的結(jié)論由于，所以．【整體點評】(2)方法一：基本不等式是證明不等式的重要工具，利用基本不等式解題時一定要注意等號成立的條件；方法二：齊次化之后切化弦是一種常用的方法，它將原問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的問題，然后構造函數(shù)即可證得題中的不等式；方法三：周期性是三角函數(shù)的重要特征，結(jié)合函數(shù)的周期性和函數(shù)的最值證明不等式充分體現(xiàn)了三角函數(shù)有界限的應用.(3)方法一：利用(2)的結(jié)論體現(xiàn)了解答題的出題思路，逐問遞進是解答題常見的設問方式；4．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當時，；當時，.所以，，.題型八：利用導數(shù)解決函數(shù)的極值點問題1．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法可以快速解答.二、多選題2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.三、填空題3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構造新函數(shù)，二次求導=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構造新函數(shù)，多次求導判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．四、解答題4．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：所以當時，與僅有一個