2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型練9大題綜合練一理含解析

題型練9大題綜合練(一)題型練第74頁(yè)

一、解答題1.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.解:(1)由題設(shè)及A+B+C=π,得sinB=8sin2B2故sinB=4(1-cosB).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=15(2)由cosB=1517得sinB=817,故S△ABC=12acsinB=又S△ABC=2,則ac=17由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×所以b=2.2.(2024全國(guó)Ⅲ,理18)某學(xué)生愛好小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園熬煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):熬煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0,200](200,400](400,600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園熬煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”;若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.依據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)列聯(lián)表,推斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園熬煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)?人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.解:(1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率的估計(jì)值如下表:空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園熬煉的平均人次的估計(jì)值為1100(100×20+300×35+500×45)=350(3)依據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表:人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228依據(jù)列聯(lián)表得K2=100×(33×8-22×37由于5.820>3.841,故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園熬煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=5(1)求證:PD⊥平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM∥平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說明理由答案：(1)證明因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD,所以PD⊥平面PAB.(2)解取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以PO⊥AD.又因?yàn)镻O?平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.因?yàn)镃O?平面ABCD,所以PO⊥CO.因?yàn)锳C=CD,所以CO⊥AD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意,得點(diǎn)A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n令z=2,則x=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又PB=(1,1,-1),所以cos<n,PB>=n·PB所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為3(3)解設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在λ∈[0,1]使得AM=λ因此點(diǎn)M(0,1-λ,λ),BM=(-1,-λ,λ).因?yàn)锽M?平面PCD,所以BM∥平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)BM·n=即(-1,-λ,λ)·(1,-2,2)=0.解得λ=1所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM∥平面PCD,此時(shí)AM4.(2024全國(guó)Ⅲ,理20)已知橢圓C:x225+y2m2=1(0<m<5)的離心率為154(1)求C的方程;(2)若點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q在直線x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面積.解：(1)由題設(shè)可得25-m25=154,得m2=2516(2)設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),Q(6,yQ),依據(jù)對(duì)稱性可設(shè)yQ>0,由題意知yP>0.由已知可得點(diǎn)B(5,0),直線BP的方程為y=-1yQ(所以|BP|=yP1+yQ2因?yàn)閨BP|=|BQ|,所以yP=1,將yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直線BP的方程得yQ=2或8.所以點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直線P1Q1的方程為y=13x,點(diǎn)A(-5,0)到直線P1Q1的距離為102,故△AP1Q1|P2Q2|=130,直線P2Q2的方程為y=79x+103,點(diǎn)A到直線P2Q2的距離為13026,故△AP2Q綜上,△APQ的面積為55.已知函數(shù)f(x)=x-lnx.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等,證明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2;(2)若a≤3-4ln2,證明:對(duì)于隨意k>0,直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn).答案：證明(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=12由f'(x1)=f'(x2),得12因?yàn)閤1≠x2,所以1由基本不等式,得12x1因?yàn)閤1≠x2,所以x1x2>256.由題意得f(x1)+f(x2)=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-設(shè)g(x)=12x-lnx,則g'(x)=1所以x(0,16)16(16,+∞)g'(x)-0+g(x)↘2-4ln2↗所以g(x)在[256,+∞)上單調(diào)遞增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(2)令m=e-(|a|+k),n=|a|+1f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n1n-an所以,存在x0∈(m,n),使f(x0)=kx0+a.所以,對(duì)于隨意的a∈R及k∈(0,+∞),直線y=kx+a與曲線y=f(x)有公共點(diǎn).由f(x)=kx+a,得k=x設(shè)h(x)=x-則h'(x)=ln其中g(shù)(x)=x2-lnx由(1)可知g(x)≥g(16).又a≤3