柯西不等式與權(quán)方和不等式專題課件高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)_第1頁
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文檔簡介

柯西不等式與權(quán)方和不等式高中必會系列之題型一

柯西不等式柯西-施瓦茨不等式，最初于1821年被柯西提出，故大多數(shù)時候被簡稱為“柯西不等式”。其積分形式在1859被布尼亞科夫斯基提出，其證明由施瓦茲于1888年給出。由于柯西不等式的積分形式在分析學(xué)中占有十分重要的地位，故歷史上，該不等式又稱為柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式。柯西不等式的原始形式描述了離散形式的變量的大小關(guān)系：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立).證明：由均值不等式，可知原式得證二維形式的柯西不等式的變式給定兩個平面向量由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算規(guī)則可知其中，從而證明原不等式。當(dāng)且僅當(dāng)兩向量共線時，即

時，上式取等號?？赏瞥隹挛鞑坏仁降南蛄啃问絴α·β|≤|α||β|(當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立).例1

已知x，y∈R,3x2＋2y2≤6，求2x＋y的最值.例2證明跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)a＝(1，－2)，b＝(x，y)，若x2＋y2＝16，則a·b的最大值為________.∵a＝(1，－2)，b＝(x，y)，∴a·b＝x－2y.由柯西不等式的向量形式可得[12＋(－2)2](x2＋y2)≥(x－2y)2，即5×16≥(x－2y)2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝ka，題型二

權(quán)方和不等式

例1

(1)若x>0，y>0，

＝2，則6x＋5y的最小值為__________.

跟蹤訓(xùn)練已知正數(shù)x，y，

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