2015-2024年十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題25 新定義綜合(數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義)(解析版)_第1頁
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2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題25新定義綜合(數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義)考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢考點(diǎn)1數(shù)列新定義(10年10考)2024·全國新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全國新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江蘇卷2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2017·北京卷2017·江蘇卷、2016·江蘇卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)體系下,新定義類試題更綜合性的考查學(xué)生的思維能力和推理能力;以問題為抓手,創(chuàng)新設(shè)問方式,搭建思維平臺,引導(dǎo)考生思考,在思維過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法。題目更加注重綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,本題分值最高,試題容量明顯增大,對學(xué)科核心素養(yǎng)的考查也更深入。壓軸題命題打破了試題題型、命題方式、試卷結(jié)構(gòu)的固有模式,增強(qiáng)試題的靈活性,采取多樣的形式多角度的提問,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,新定義題型的特點(diǎn)是;通過給出一個(gè)新概念,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景,要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問題,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì),按新定義照章辦事”逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算,使問題得以解決,難度較難,需重點(diǎn)特訓(xùn)??键c(diǎn)2函數(shù)新定義(10年4考)2024·上海、2020·江蘇、2018·江蘇2015·湖北、2015·福建考點(diǎn)3集合新定義(10年3考)2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山東卷、2015·浙江卷考點(diǎn)4其他新定義(10年2考)2020·北京卷、2016·四川卷考點(diǎn)01數(shù)列新定義小題1.(2021·全國新Ⅱ卷·高考真題)(多選)設(shè)正整數(shù),其中,記.則(

)A. B.C. D.【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤,利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng),,,所以,,A選項(xiàng)正確;對于B選項(xiàng),取,,,而,則,即,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),,所以,,,所以,,因此,,C選項(xiàng)正確;對于D選項(xiàng),,故,D選項(xiàng)正確.故選:ACD.2.(2020·全國新Ⅱ卷·高考真題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足,且存在正整數(shù),使得成立,則稱其為0-1周期序列,并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對于周期為的0-1序列,是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo),下列周期為5的0-1序列中,滿足的序列是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)新定義,逐一檢驗(yàn)即可【詳解】由知,序列的周期為m,由已知,,對于選項(xiàng)A,,不滿足;對于選項(xiàng)B,,不滿足;對于選項(xiàng)D,,不滿足;故選:C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問題,涉及到周期數(shù)列,考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道中檔題.大題1.(2024·全國新Ⅰ卷·高考真題)設(shè)m為正整數(shù),數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組,且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列,則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.(1)寫出所有的,,使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列;(2)當(dāng)時(shí),證明:數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列;(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和,記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為,證明:.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】(1)直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可;(2)根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論;(3)證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè),再使用概率的定義.【詳解】(1)首先,我們設(shè)數(shù)列的公差為,則.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列,故我們可以對該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,得到新?shù)列,然后對進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之,我們可以不妨設(shè),此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題,第1小問相當(dāng)于從中取出兩個(gè)數(shù)和,使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是,或,或.所以所有可能的就是.(2)由于從數(shù)列中取出和后,剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分,共組,使得每組成等差數(shù)列:①,共組;②,共組.(如果,則忽略②)故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.(3)定義集合,.下面證明,對,如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立,則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列:命題1:或;命題2:.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況:如果,且.此時(shí)設(shè),,.則由可知,即,故.此時(shí),由于從數(shù)列中取出和后,剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分,共組,使得每組成等差數(shù)列:①,共組;②,共組;③,共組.(如果某一部分的組數(shù)為,則忽略之)故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況:如果,且.此時(shí)設(shè),,.則由可知,即,故.由于,故,從而,這就意味著.此時(shí),由于從數(shù)列中取出和后,剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分,共組,使得每組成等差數(shù)列:①,共組;②,,共組;③全體,其中,共組;④,共組.(如果某一部分的組數(shù)為,則忽略之)這里對②和③進(jìn)行一下解釋:將③中的每一組作為一個(gè)橫排,排成一個(gè)包含個(gè)行,個(gè)列的數(shù)表以后,個(gè)列分別是下面這些數(shù):,,,.可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù),它們再取并以后,將取遍中除開五個(gè)集合,,,,中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).而這十個(gè)數(shù)中,除開已經(jīng)去掉的和以外,剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù).這就說明我們給出的分組方式滿足要求,故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此,我們證明了:對,如果前述命題1和命題2同時(shí)成立,則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來考慮這樣的的個(gè)數(shù).首先,由于,和各有個(gè)元素,故滿足命題1的總共有個(gè);而如果,假設(shè),則可設(shè),,代入得.但這導(dǎo)致,矛盾,所以.設(shè),,,則,即.所以可能的恰好就是,對應(yīng)的分別是,總共個(gè).所以這個(gè)滿足命題1的中,不滿足命題2的恰好有個(gè).這就得到同時(shí)滿足命題1和命題2的的個(gè)數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個(gè)數(shù)和時(shí),總的選取方式的個(gè)數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論,使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè).所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足.這就證明了結(jié)論.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵在于對新定義數(shù)列的理解,只有理解了定義,方可使用定義驗(yàn)證或探究結(jié)論.2.(2024·北京·高考真題)已知集合.給定數(shù)列,和序列,其中,對數(shù)列進(jìn)行如下變換:將的第項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變,得到的數(shù)列記作;將的第項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變,得到數(shù)列記作;……;以此類推,得到,簡記為.(1)給定數(shù)列和序列,寫出;(2)是否存在序列,使得為,若存在,寫出一個(gè)符合條件的;若不存在,請說明理由;(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù),且為偶數(shù),求證:“存在序列,使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”.【答案】(1)(2)不存在符合條件的,理由見解析(3)證明見解析【分析】(1)直接按照的定義寫出即可;(2)解法一:利用反證法,假設(shè)存在符合條件的,由此列出方程組,進(jìn)一步說明方程組無解即可;解法二:對于任意序列,所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4,可知序列共有8項(xiàng),可知:,檢驗(yàn)即可;(3)解法一:分充分性和必要性兩方面論證;解法二:若,分類討論相等得個(gè)數(shù),結(jié)合題意證明即可;若存在序列,使得為常數(shù)列,結(jié)合定義分析證明即可.【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列,由序列可得;由序列可得;由序列可得;所以.(2)解法一:假設(shè)存在符合條件的,可知的第項(xiàng)之和為,第項(xiàng)之和為,則,而該方程組無解,故假設(shè)不成立,故不存在符合條件的;解法二:由題意可知:對于任意序列,所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4,假設(shè)存在符合條件的,且,因?yàn)?,即序列共?項(xiàng),由題意可知:,檢驗(yàn)可知:當(dāng)時(shí),上式不成立,即假設(shè)不成立,所以不存在符合條件的.(3)解法一:我們設(shè)序列為,特別規(guī)定.必要性:若存在序列,使得的各項(xiàng)都相等.則,所以.根據(jù)的定義,顯然有,這里,.所以不斷使用該式就得到,必要性得證.充分性:若.由已知,為偶數(shù),而,所以也是偶數(shù).我們設(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中,使得最小的一個(gè).上面已經(jīng)說明,這里,.從而由可得.同時(shí),由于總是偶數(shù),所以和的奇偶性保持不變,從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在,根據(jù)對稱性,不妨設(shè),,即.情況1:若,則由和都是偶數(shù),知.對該數(shù)列連續(xù)作四次變換后,新的相比原來的減少,這與的最小性矛盾;情況2:若,不妨設(shè).情況2-1:如果,則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后,新的相比原來的至少減少,這與的最小性矛盾;情況2-2:如果,則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后,新的相比原來的至少減少,這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾,所以對任意的都有.假設(shè)存在使得,則是奇數(shù),所以都是奇數(shù),設(shè)為.則此時(shí)對任意,由可知必有.而和都是偶數(shù),故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù),對該數(shù)列進(jìn)行一次變換,則該數(shù)列成為常數(shù)列,新的等于零,比原來的更小,這與的最小性矛盾.綜上,只可能,而,故是常數(shù)列,充分性得證.解法二:由題意可知:中序列的順序不影響的結(jié)果,且相對于序列也是無序的,(?。┤?,不妨設(shè),則,①當(dāng),則,分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列,可得,為常數(shù)列,符合題意;②當(dāng)中有且僅有三個(gè)數(shù)相等,不妨設(shè),則,即,分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列可得,即,因?yàn)闉榕紨?shù),即為偶數(shù),可知的奇偶性相同,則,分別執(zhí)行個(gè)序列,,,,可得,為常數(shù)列,符合題意;③若,則,即,分別執(zhí)行個(gè)、個(gè),可得,因?yàn)?,可得,即轉(zhuǎn)為①,可知符合題意;④當(dāng)中有且僅有兩個(gè)數(shù)相等,不妨設(shè),則,即,分別執(zhí)行個(gè)、個(gè),可得,且,可得,即轉(zhuǎn)為②,可知符合題意;⑤若,則,即,分別執(zhí)行個(gè)、個(gè),可得,且,可得,即轉(zhuǎn)為③,可知符合題意;綜上所述:若,則存在序列,使得為常數(shù)列;(ⅱ)若存在序列,使得為常數(shù)列,因?yàn)閷θ我猓谐闪ⅲ魹槌?shù)列,則,所以;綜上所述:“存在序列,使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第三問的關(guān)鍵在于對新定義的理解,以及對其本質(zhì)的分析.3.(2023·北京·高考真題)已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m,且的前n項(xiàng)和分別為,并規(guī)定.對于,定義,其中,表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若,求的值;(2)若,且,求;(3)證明:存在,滿足使得.【答案】(1),,,(2)(3)證明見詳解【分析】(1)先求,根據(jù)題意分析求解;(2)根據(jù)題意題意分析可得,利用反證可得,在結(jié)合等差數(shù)列運(yùn)算求解;(3)討論的大小,根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.【詳解】(1)由題意可知:,當(dāng)時(shí),則,故;當(dāng)時(shí),則,故;當(dāng)時(shí),則故;當(dāng)時(shí),則,故;綜上所述:,,,.(2)由題意可知:,且,因?yàn)椋?,則對任意恒成立,所以,又因?yàn)?,則,即,可得,反證:假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為,當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則,則,又因?yàn)椋瑒t,假設(shè)不成立,故,即數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以.(3)因?yàn)榫鶠檎麛?shù),則均為遞增數(shù)列,(?。┤?,則可取,滿足使得;(ⅱ)若,則,構(gòu)建,由題意可得:,且為整數(shù),反證,假設(shè)存在正整數(shù),使得,則,可得,這與相矛盾,故對任意,均有.①若存在正整數(shù),使得,即,可取,滿足,使得;②若不存在正整數(shù),使得,因?yàn)?,且,所以必存在,使得,即,可得,可取,滿足,使得;(ⅲ)若,定義,則,構(gòu)建,由題意可得:,且為整數(shù),反證,假設(shè)存在正整數(shù),使得,則,可得,這與相矛盾,故對任意,均有.①若存在正整數(shù),使得,即,可取,即滿足,使得;②若不存在正整數(shù),使得,因?yàn)?,且,所以必存在,使得,即,可得,可取,滿足,使得.綜上所述:存在使得.4.(2022·北京·高考真題)已知為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對任意的,在Q中存在,使得,則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列.(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列?是否為連續(xù)可表數(shù)列?說明理由;(2)若為連續(xù)可表數(shù)列,求證:k的最小值為4;(3)若為連續(xù)可表數(shù)列,且,求證:.【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列;不是連續(xù)可表數(shù)列.(2)證明見解析.(3)證明見解析.【分析】(1)直接利用定義驗(yàn)證即可;(2)先考慮不符合,再列舉一個(gè)合題即可;(3)時(shí),根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行,再討論時(shí),由可知里面必然有負(fù)數(shù),再確定負(fù)數(shù)只能是,然后分類討論驗(yàn)證不行即可.【詳解】(1),,,,,所以是連續(xù)可表數(shù)列;易知,不存在使得,所以不是連續(xù)可表數(shù)列.(2)若,設(shè)為,則至多,6個(gè)數(shù)字,沒有個(gè),矛盾;當(dāng)時(shí),數(shù)列,滿足,,,,,,,,.(3),若最多有種,若,最多有種,所以最多有種,若,則至多可表個(gè)數(shù),矛盾,從而若,則,至多可表個(gè)數(shù),而,所以其中有負(fù)的,從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)(恰21個(gè)),這表明中僅一個(gè)負(fù)的,沒有0,且這個(gè)負(fù)的在中絕對值最小,同時(shí)中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為,則所有數(shù)之和,,,再考慮排序,排序中不能有和相同,否則不足個(gè),(僅一種方式),與2相鄰,若不在兩端,則形式,若,則(有2種結(jié)果相同,方式矛盾),,同理,故在一端,不妨為形式,若,則(有2種結(jié)果相同,矛盾),同理不行,,則(有2種結(jié)果相同,矛盾),從而,由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能,①或,②這2種情形,對①:,矛盾,對②:,也矛盾,綜上,當(dāng)時(shí),數(shù)列滿足題意,.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛,先理解題意,是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項(xiàng)(可以是一項(xiàng))之和能表示從到中間的任意一個(gè)值.本題第二問時(shí),通過和值可能個(gè)數(shù)否定;第三問先通過和值的可能個(gè)數(shù)否定,再驗(yàn)證時(shí),數(shù)列中的幾項(xiàng)如果符合必然是的一個(gè)排序,可驗(yàn)證這組數(shù)不合題.5.(2021·北京·高考真題)設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì),則稱為數(shù)列:①,且;②;③,.(1)如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么是否可能為數(shù)列?說明理由;(2)若數(shù)列是數(shù)列,求;(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列,使得恒成立?如果存在,求出所有的p;如果不存在,說明理由.【答案】(1)不可以是數(shù)列;理由見解析;(2);(3)存在;.【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列;(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng),然后討論計(jì)算即可確定的值;(3)構(gòu)造數(shù)列,易知數(shù)列是的,結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)因?yàn)樗?,因?yàn)樗运詳?shù)列,不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①,由性質(zhì)③,因此或,或,若,由性質(zhì)②可知,即或,矛盾;若,由有,矛盾.因此只能是.又因?yàn)榛?,所以?若,則,不滿足,舍去.當(dāng),則前四項(xiàng)為:0,0,0,1,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),經(jīng)驗(yàn)證命題成立,假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,當(dāng)時(shí):若,則,利用性質(zhì)③:,此時(shí)可得:;否則,若,取可得:,而由性質(zhì)②可得:,與矛盾.同理可得:,有;,有;,又因?yàn)?,有即?dāng)時(shí)命題成立,證畢.綜上可得:,.(3)令,由性質(zhì)③可知:,由于,因此數(shù)列為數(shù)列.由(2)可知:若;,,因此,此時(shí),,滿足題意.【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”,“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問題,有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解.但是,透過現(xiàn)象看本質(zhì),它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識,所以說“新題”不一定是“難題”,掌握好三基,以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.6.(2020·北京·高考真題)已知是無窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì):①對于中任意兩項(xiàng),在中都存在一項(xiàng),使;②對于中任意項(xiàng),在中都存在兩項(xiàng).使得.(Ⅰ)若,判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①,說明理由;(Ⅱ)若,判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說明理由;(Ⅲ)若是遞增數(shù)列,且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明:為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳解解析;(Ⅲ)證明詳見解析.【分析】(Ⅰ)根據(jù)定義驗(yàn)證,即可判斷;(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗(yàn)證,即可判斷;(Ⅲ)解法一:首先,證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號,然后證明,最后,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二:首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù),然后證得成等比數(shù)列,之后證得成等比數(shù)列,同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列,從而命題得證.【詳解】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①;(Ⅱ)具有性質(zhì)①;具有性質(zhì)②;(Ⅲ)解法一首先,證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號,不妨設(shè)恒為正數(shù):顯然,假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng),設(shè),第一種情況:若,即,由①可知:存在,滿足,存在,滿足,由可知,從而,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾,假設(shè)不成立.第二種情況:若,由①知存在實(shí)數(shù),滿足,由的定義可知:,另一方面,,由數(shù)列的單調(diào)性可知:,這與的定義矛盾,假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得,數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號.其次,證明:利用性質(zhì)②:取,此時(shí),由數(shù)列的單調(diào)性可知,而,故,此時(shí)必有,即,最后,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列:假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列,不妨設(shè),其中,(的情況類似)由①可得:存在整數(shù),滿足,且(*)由②得:存在,滿足:,由數(shù)列的單調(diào)性可知:,由可得:(**)由(**)和(*)式可得:,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有:,注意到均為整數(shù),故,代入(**)式,從而.總上可得,數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.即數(shù)列為等比數(shù)列.解法二:假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù):首先利用性質(zhì)②:取,此時(shí),由數(shù)列的單調(diào)性可知,而,故,此時(shí)必有,即,即成等比數(shù)列,不妨設(shè),然后利用性質(zhì)①:取,則,即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為,下面我們來證明,否則,由數(shù)列的單調(diào)性可知,在性質(zhì)②中,取,則,從而,與前面類似的可知?jiǎng)t存在,滿足,若,則:,與假設(shè)矛盾;若,則:,與假設(shè)矛盾;若,則:,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾;即不存在滿足題意的正整數(shù),可見不成立,從而,然后利用性質(zhì)①:取,則數(shù)列中存在一項(xiàng),下面我們用反證法來證明,否則,由數(shù)列的單調(diào)性可知,在性質(zhì)②中,取,則,從而,與前面類似的可知?jiǎng)t存在,滿足,即由②可知:,若,則,與假設(shè)矛盾;若,則,與假設(shè)矛盾;若,由于為正整數(shù),故,則,與矛盾;綜上可知,假設(shè)不成立,則.同理可得:,從而數(shù)列為等比數(shù)列,同理,當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù),不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證,數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,等比數(shù)列的證明,數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運(yùn)用等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.7.(2020·江蘇·高考真題)已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù),若對一切正整數(shù)n,均有成立,則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列.(1)若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列,求λ的值;(2)若數(shù)列是“”數(shù)列,且an>0,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)對于給定的λ,是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列,且an≥0?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由,【答案】(1)1(2)(3)【分析】(1)根據(jù)定義得,再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系化簡得,最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果;(2)根據(jù)定義得,根據(jù)平方差公式化簡得,求得,即得;(3)根據(jù)定義得,利用立方差公式化簡得兩個(gè)方程,再根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)確定參數(shù)滿足的條件,解得結(jié)果【詳解】(1)(2),(3)假設(shè)存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對于給定的,存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列,且或有兩個(gè)不等的正根.可轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則有兩個(gè)不等正根,設(shè).①

當(dāng)時(shí),,即,此時(shí),,滿足題意.②

當(dāng)時(shí),,即,此時(shí),,此情況有兩個(gè)不等負(fù)根,不滿足題意舍去.綜上,【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項(xiàng)求通項(xiàng)、一元二次方程實(shí)根分步,考查綜合分析求解能力,屬難題.8.(2019·江蘇·高考真題)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列{an}滿足:,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”;(2)已知數(shù)列{bn}滿足:,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn},對任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí),都有成立,求m的最大值.【答案】(1)見解析;(2)①bn=n;②5.【分析】(1)由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可證得題中的結(jié)論;(2)①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式;②由①確定的值,將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a1≠0,q≠0.由,得,解得.因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.(2)①因?yàn)?,所以.由得,則.由,得,當(dāng)時(shí),由,得,整理得.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n.②由①知,bk=k,.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M–數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c1=1,q>0.因?yàn)閏k≤bk≤ck+1,所以,其中k=1,2,3,…,m.當(dāng)k=1時(shí),有q≥1;當(dāng)k=2,3,…,m時(shí),有.設(shè)f(x)=,則.令,得x=e.列表如下:xe(e,+∞)+0–f(x)極大值因?yàn)椋裕?,?dāng)k=1,2,3,4,5時(shí),,即,經(jīng)檢驗(yàn)知也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m≥6,分別取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,從而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上,所求m的最大值為5.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識探究與解決問題的能力.9.(2018·江蘇·高考真題)設(shè),對1,2,···,n的一個(gè)排列,如果當(dāng)s<t時(shí),有,則稱是排列的一個(gè)逆序,排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為其逆序數(shù).例如:對1,2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數(shù)為2.記為1,2,···,n的所有排列中逆序數(shù)為k的全部排列的個(gè)數(shù).(1)求的值;(2)求的表達(dá)式(用n表示).【答案】(1)2

5(2)n≥5時(shí),【詳解】分析:(1)先根據(jù)定義利用枚舉法確定含三個(gè)元素的集合中逆序數(shù)為2的個(gè)數(shù),再利用枚舉法確定含四個(gè)元素的集合中逆序數(shù)為2的個(gè)數(shù);(2)先尋求含n個(gè)元素的集合中逆序數(shù)為2與含n+1個(gè)元素的集合中逆序數(shù)為2的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系,再根據(jù)疊加法求得結(jié)果.詳解:解:(1)記為排列abc的逆序數(shù),對1,2,3的所有排列,有,所以.對1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,將數(shù)字4添加進(jìn)去,4在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置.因此,.(2)對一般的n(n≥4)的情形,逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè):12…n,所以.逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列,所以.為計(jì)算,當(dāng)1,2,…,n的排列及其逆序數(shù)確定后,將n+1添加進(jìn)原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置.因此,.當(dāng)n≥5時(shí),,因此,n≥5時(shí),.點(diǎn)睛:探求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.尋求相鄰項(xiàng)之間的遞推關(guān)系,是求數(shù)列通項(xiàng)公式的一個(gè)有效的方法.10.(2017·北京·高考真題)設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列,記,其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(Ⅰ)若,,求的值,并證明是等差數(shù)列;(Ⅱ)證明:或者對任意正數(shù),存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),;或者存在正整數(shù),使得是等差數(shù)列.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】試題分析:(Ⅰ)分別代入求,觀察規(guī)律,再證明當(dāng)時(shí),,所以關(guān)于單調(diào)遞減.所以,從而得證;(Ⅱ)首先求的通項(xiàng)公式,分三種情況討論證明.試題解析:(Ⅰ),.當(dāng)時(shí),,所以關(guān)于單調(diào)遞減.所以.所以對任意,于是,所以是等差數(shù)列.(Ⅱ)設(shè)數(shù)列和的公差分別為,則.所以①當(dāng)時(shí),取正整數(shù),則當(dāng)時(shí),,因此.此時(shí),是等差數(shù)列.②當(dāng)時(shí),對任意,此時(shí),是等差數(shù)列.③當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),有.所以對任意正數(shù),取正整數(shù),故當(dāng)時(shí),.【名師點(diǎn)睛】近幾年北京卷理科壓軸題一直為新信息題,本題考查學(xué)生對新定義的理解能力和使用能力,本題屬于偏難問題,反映出學(xué)生對新的信息的理解和接受能力,本題考查數(shù)列的有關(guān)知識及歸納法證明,即考查了數(shù)列(分段形函數(shù))求值,又考查了歸納法證明和對數(shù)據(jù)的分析研究,考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力,本題屬于拔高難題,特別是第二問難度較大,適合選拔優(yōu)秀學(xué)生.11.(2017·江蘇·高考真題)對于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列{an}滿足對任意正整數(shù)n(n>k)總成立,則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明:等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”;(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”,又是“P(3)數(shù)列”,證明:{an}是等差數(shù)列.【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】試題分析:(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)得,即得,再根據(jù)定義即可判斷;(2)先根據(jù)定義得,,再將條件集中消元:,,即得,最后驗(yàn)證起始項(xiàng)也滿足即可.試題解析:證明:(1)因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,設(shè)其公差為,則,從而,當(dāng)時(shí),,所以,因此等差數(shù)列是“數(shù)列”.(2)數(shù)列既是“數(shù)列”,又是“數(shù)列”,因此,當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),.②由①知,,③,④將③④代入②,得,其中,所以是等差數(shù)列,設(shè)其公差為.在①中,取,則,所以,在①中,取,則,所以,所以數(shù)列是等差數(shù)列.點(diǎn)睛:證明為等差數(shù)列的方法:①用定義證明:為常數(shù));②用等差中項(xiàng)證明:;③通項(xiàng)法:為關(guān)于的一次函數(shù);④前項(xiàng)和法:.12.(2016·江蘇·高考真題)記.對數(shù)列和的子集,若,定義;若,定義.例如:時(shí),.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列,且當(dāng)時(shí),.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)對任意正整數(shù),若,求證:;(3)設(shè),求證:.【答案】(1)(2)詳見解析(3)詳見解析【詳解】(1)由已知得.于是當(dāng)時(shí),.又,故,即.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)因?yàn)?,,所?因此,.(3)下面分三種情況證明.①若是的子集,則.②若是的子集,則.③若不是的子集,且不是的子集.令,則,,.于是,,進(jìn)而由,得.設(shè)是中的最大數(shù),為中的最大數(shù),則.由(2)知,,于是,所以,即.又,故,從而,故,所以,即.綜合①②③得,.【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和【名師點(diǎn)睛】本題有三個(gè)難點(diǎn):一是數(shù)列新定義,利用新定義確定等比數(shù)列的首項(xiàng),再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解;二是利用放縮法求證不等式,放縮的目的是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列,從而可利用特殊數(shù)列的性質(zhì),以算代征;三是結(jié)論含義的應(yīng)用,實(shí)質(zhì)又是一個(gè)新定義,只不過是新定義的性質(zhì)應(yīng)用.13.(2016·北京·高考真題)設(shè)數(shù)列A:,,…().如果對小于()的每個(gè)正整數(shù)都有<,則稱是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.(1)對數(shù)列A:-2,2,-1,1,3,寫出的所有元素;(2)證明:若數(shù)列A中存在使得>,則;(3)證明:若數(shù)列A滿足-≤1(n=2,3,…,N),則的元素個(gè)數(shù)不小于-.【答案】(1)的元素為和;(2)詳見解析;(3)詳見解析.【詳解】試題分析:(Ⅰ)關(guān)鍵是理解“G時(shí)刻”的定義,根據(jù)定義即可寫出的所有元素;(Ⅱ)要證,即證中含有一元素即可;(Ⅲ)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.只要證明當(dāng)時(shí)結(jié)論仍然成立即可.試題解析:(Ⅰ)的元素為和.(Ⅱ)因?yàn)榇嬖谑沟?,所?記,則,且對任意正整數(shù).因此,從而.(Ⅲ)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.以下設(shè).由(Ⅱ)知.設(shè).記.則.對,記.如果,取,則對任何.從而且.又因?yàn)槭侵械淖畲笤兀?從而對任意,,特別地,.對.因此.所以.因此的元素個(gè)數(shù)p不小于.【考點(diǎn)】數(shù)列、新定義問題.【名師點(diǎn)睛】數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題要注意分析題意,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型,數(shù)列的綜合問題涉及的數(shù)學(xué)思想:函數(shù)與方程思想(如:求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如:求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如:求通項(xiàng)公式)、分類討論思想(如:等比數(shù)列求和,或)等.14.(2016·上海·高考真題)若無窮數(shù)列滿足:只要,必有,則稱具有性質(zhì).(1)若具有性質(zhì),且,,求;(2)若無窮數(shù)列是等差數(shù)列,無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,,,判斷是否具有性質(zhì),并說明理由;(3)設(shè)是無窮數(shù)列,已知.求證:“對任意都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.【答案】(1).(2)不具有性質(zhì).(3)見解析.【詳解】試題分析:(1)根據(jù)已知條件,得到,結(jié)合求解即可.(2)根據(jù)的公差為,的公比為,寫出通項(xiàng)公式,從而可得.通過計(jì)算,,,,即知不具有性質(zhì).(3)從充分性、必要性兩方面加以證明,其中必要性用反證法證明.試題解析:(1)因?yàn)椋?,,.于是,又因?yàn)椋獾茫?)的公差為,的公比為,所以,..,但,,,所以不具有性質(zhì).[證](3)充分性:當(dāng)為常數(shù)列時(shí),.對任意給定的,只要,則由,必有.充分性得證.必要性:用反證法證明.假設(shè)不是常數(shù)列,則存在,使得,而.下面證明存在滿足的,使得,但.設(shè),取,使得,則,,故存在使得.取,因?yàn)椋ǎ?,所以,依此類推,得.但,即.所以不具有性質(zhì),矛盾.必要性得證.綜上,“對任意,都具有性質(zhì)”的充要條件為“是常數(shù)列”.【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、充要條件的證明、反證法【名師點(diǎn)睛】本題對考生的邏輯推理能力要求較高,是一道難題.解答此類題目時(shí),熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識及反證法是基礎(chǔ),靈活應(yīng)用已知條件進(jìn)行推理是關(guān)鍵.本題易錯(cuò)主要有兩個(gè)原因,一是不得法,二是對復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)漏百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維及推理能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.15.(2016·上?!じ呖颊骖})對于無窮數(shù)列{}與{},記A={|=,},B={|=,},若同時(shí)滿足條件:①{},{}均單調(diào)遞增;②且,則稱{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列.(1)若=,=,判斷{}與{}是否為無窮互補(bǔ)數(shù)列,并說明理由;(2)若=且{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列,求數(shù)列{}的前16項(xiàng)的和;(3)若{}與{}是無窮互補(bǔ)數(shù)列,{}為等差數(shù)列且=36,求{}與{}得通項(xiàng)公式.【答案】(1)與不是無窮互補(bǔ)數(shù)列;(2);(3),.【詳解】(1)因?yàn)?,,所以,從而與不是無窮互補(bǔ)數(shù)列.(2)因?yàn)?,所以.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)的和為.(3)設(shè)的公差為,,則.由,得或.若,則,,與“與是無窮互補(bǔ)數(shù)列”矛盾;若,則,,.綜上,,.16.(2015·北京·高考真題)已知數(shù)列滿足:,,且.記集合.(Ⅰ)若,寫出集合的所有元素;(Ⅱ)若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:的所有元素都是3的倍數(shù);(Ⅲ)求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(III)8.【分析】(Ⅰ),利用可求得集合的所有元素為6,12,24;(Ⅱ)因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)是3的倍數(shù),由,2,,可歸納證明對任意,是3的倍數(shù);(Ⅲ)分是3的倍數(shù)與不是3的倍數(shù)討論,即可求得集合的元素個(gè)數(shù)的最大值.【詳解】解:(Ⅰ)若,由于,2,,.故集合的所有元素為6,12,24,;(Ⅱ)因?yàn)榧洗嬖谝粋€(gè)元素是3的倍數(shù),所以不妨設(shè)是3的倍數(shù),由,2,,可歸納證明對任意,是3的倍數(shù).如果,的所有元素都是3的倍數(shù);如果,因?yàn)?,或,所以?的倍數(shù);于是是3的倍數(shù);類似可得,,,都是3的倍數(shù);從而對任意,是3的倍數(shù);綜上,若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),則集合的所有元素都是3的倍數(shù)(Ⅲ)對,,2,,可歸納證明對任意,,3,因?yàn)槭钦麛?shù),,所以是2的倍數(shù).從而當(dāng)時(shí),是2的倍數(shù).如果是3的倍數(shù),由(Ⅱ)知,對所有正整數(shù),是3的倍數(shù).因此當(dāng)時(shí),,24,,這時(shí)的元素個(gè)數(shù)不超過5.如果不是3的倍數(shù),由(Ⅱ)知,對所有正整數(shù),不是3的倍數(shù).因此當(dāng)時(shí),,8,16,20,28,,這時(shí)的元素個(gè)數(shù)不超過8.當(dāng)時(shí),,2,4,8,16,20,28,,有8個(gè)元素.綜上可知,集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為8.考點(diǎn):1.分段函數(shù)形數(shù)列通項(xiàng)公式求值;2.歸納法證明;3.數(shù)列元素分析.考點(diǎn)02函數(shù)新定義小題1.(2015·湖北·高考真題)已知符號函數(shù)是上的增函數(shù),,則A. B.C. D.【答案】B【詳解】試題分析:本題是選擇題,可以用特殊法,符號函數(shù),是上的增函數(shù),,不妨令,則,,所以A不正確,B正確,,C不正確,D正確;對于D,令,則,,所以D不正確;故選B.考點(diǎn):函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用【思路點(diǎn)睛】符號函數(shù)或者說函數(shù)的新定義問題是高考中一類??碱}目,此類題目一般難度不是很大,但想做出來也是很復(fù)雜的.所以做此類題目一定要弄清楚新定義函數(shù)的意思,然后根據(jù)函數(shù)的意義及性質(zhì),逐步進(jìn)行解題.此題中新定義的函數(shù),是分段函數(shù)的形式,且給了我們另一個(gè)函數(shù)以及與的關(guān)系,利用函數(shù)的性質(zhì)代入即可得到所求答案.2.(2015·福建·高考真題)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串,其中稱為第位碼元,二元碼是通信中常用的碼,但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?)已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組:其中運(yùn)算定義為:.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定等于.【答案】.【詳解】由題意得相同數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算后為,不同數(shù)字運(yùn)算后為.由可判斷后個(gè)數(shù)字出錯(cuò);由可判斷后個(gè)數(shù)字沒錯(cuò),即出錯(cuò)的是第個(gè)或第個(gè);由可判斷出錯(cuò)的是第個(gè),綜上,第位發(fā)生碼元錯(cuò)誤.考點(diǎn):推理證明和新定義.大題1.(2024·上?!じ呖颊骖})對于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn),令,若是取到最小值的點(diǎn),則稱是在的“最近點(diǎn)”.(1)對于,求證:對于點(diǎn),存在點(diǎn),使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”;(2)對于,請判斷是否存在一個(gè)點(diǎn),它是在的“最近點(diǎn)”,且直線與在點(diǎn)處的切線垂直;(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù),且函數(shù)在定義域R上恒正,設(shè)點(diǎn),.若對任意的,存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”,試判斷的單調(diào)性.【答案】(1)證明見解析(2)存在,(3)嚴(yán)格單調(diào)遞減【分析】(1)代入,利用基本不等式即可;(2)由題得,利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值,則得到,再證明直線與切線垂直即可;(3)根據(jù)題意得到,對兩等式化簡得,再利用“最近點(diǎn)”的定義得到不等式組,即可證明,最后得到函數(shù)單調(diào)性.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號,故對于點(diǎn),存在點(diǎn),使得該點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”.(2)由題設(shè)可得,則,因?yàn)榫鶠樯蠁握{(diào)遞增函數(shù),則在上為嚴(yán)格增函數(shù),而,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故,此時(shí),而,故在點(diǎn)處的切線方程為.而,故,故直線與在點(diǎn)處的切線垂直.(3)設(shè),,而,,若對任意的,存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”,設(shè),則既是的最小值點(diǎn),也是的最小值點(diǎn),因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域均為,則也是兩函數(shù)的極小值點(diǎn),則存在,使得,即①②由①②相等得,即,即,又因?yàn)楹瘮?shù)在定義域R上恒正,則恒成立,接下來證明,因?yàn)榧仁堑淖钚≈迭c(diǎn),也是的最小值點(diǎn),則,即,③,④③④得即,因?yàn)閯t,解得,則恒成立,因?yàn)榈娜我庑?,則嚴(yán)格單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第三問的關(guān)鍵是結(jié)合最值點(diǎn)和極小值的定義得到,再利用最值點(diǎn)定義得到即可.2.(2020·江蘇·高考真題)已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有.(1)若,求h(x)的表達(dá)式;(2)若,求k的取值范圍;(3)若求證:.【答案】(1);(2);(3)證明詳見解析【分析】(1)方法一:根據(jù)一元二次不等式恒成立問題的解法,即可求得的表達(dá)式;(2)方法一:先由,求得的一個(gè)取值范圍,再由,求得的另一個(gè)取值范圍,從而求得的取值范圍.(3)方法一:根據(jù)題意可得兩個(gè)含參數(shù)的一元二次不等式在區(qū)間上恒成立,再結(jié)合放縮,即可利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】(1)[方法一]:判別式法由可得在R上恒成立,即和,從而有即,所以,因此,.所以.[方法二]【最優(yōu)解】:特值+判別式法由題設(shè)有對任意的恒成立.令,則,所以.因此即對任意的恒成立,所以,因此.故.(2)[方法一]令,.又.若,則在上遞增,在上遞減,則,即,不符合題意.當(dāng)時(shí),,符合題意.當(dāng)時(shí),在上遞減,在上遞增,則,即,符合題意.綜上所述,.由當(dāng),即時(shí),在為增函數(shù),因?yàn)?,故存在,使,不符合題意.當(dāng),即時(shí),,符合題意.當(dāng),即時(shí),則需,解得.綜上所述,的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】:特值輔助法由已知得在內(nèi)恒成立;由已知得,令,得,∴(*),令,,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,∴,∴當(dāng)時(shí)在內(nèi)恒成立;由在內(nèi)恒成立,由(*)知,∴,∴,解得.∴的取值范圍是.(3)[方法一]:判別式+導(dǎo)數(shù)法因?yàn)閷θ我夂愠闪?,①對任意恒成立,等價(jià)于對任意恒成立.故對任意恒成立.令,當(dāng),,此時(shí),當(dāng),,但對任意的恒成立.等價(jià)于對任意的恒成立.的兩根為,則,所以.令,構(gòu)造函數(shù),,所以時(shí),,遞減,.所以,即.[方法二]:判別式法

由,從而對任意的有恒成立,等價(jià)于對任意的①,恒成立.(事實(shí)上,直線為函數(shù)的圖像在處的切線)同理對任意的恒成立,即等價(jià)于對任意的恒成立.

②當(dāng)時(shí),將①式看作一元二次方程,進(jìn)而有,①式的解為或(不妨設(shè));當(dāng)時(shí),,從而或,又,從而成立;當(dāng)時(shí),由①式得或,又,所以.當(dāng)時(shí),將②式看作一元二次方程,進(jìn)而有.由,得,此時(shí)②式的解為不妨設(shè),從而.綜上所述,.[方法三]【最優(yōu)解】:反證法假設(shè)存在,使得滿足條件的m,n有.因?yàn)椋裕驗(yàn)?,所以.因?yàn)閷愠闪?,所以有.則有,

③,

④解得.由③+④并化簡得,.因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增,且,所以,.由對恒成立,即有

⑤對恒成立,將⑤式看作一元二次方程,進(jìn)而有.設(shè),則,所以在區(qū)間上遞減,所以,即.設(shè)不等式⑤的解集為,則,這與假設(shè)矛盾.從而.由均為偶函數(shù).同樣可證時(shí),也成立.綜上所述,.【整體點(diǎn)評】(1)的方法一利用不等式恒成立的意義,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),使用判別式得到不等式組,求解得到;方法二先利用特值求得的值,然后使用判別式進(jìn)一步求解,簡化了運(yùn)算,是最優(yōu)解;(2)中的方法一利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),使用分類討論思想分別求得的取值范圍,然后取交集;方法二先利用特殊值進(jìn)行判定得到,然后在此基礎(chǔ)上,利用導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證不等式的一側(cè)恒成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得不等式的另一側(cè)也成立的條件,進(jìn)而得到結(jié)論,是最優(yōu)解;(3)的方法一、方法二中的分解因式難度較大,方法三使用反證法,推出矛盾,思路清晰,運(yùn)算簡潔,是最優(yōu)解.3.(2018·江蘇·高考真題)記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在,滿足且,則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”.(1)證明:函數(shù)與不存在“點(diǎn)”;(2)若函數(shù)與存在“點(diǎn)”,求實(shí)數(shù)的值;(3)已知函數(shù),.對任意,判斷是否存在,使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”,并說明理由.【答案】(1)證明見解析;(2);(3)存在,使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點(diǎn)”.【詳解】分析:(1)根據(jù)題中“S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程,根據(jù)方程組無解證得結(jié)論;(2)同(1)根據(jù)“S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程,解方程組可得a的值;(3)通過構(gòu)造函數(shù)以及結(jié)合“S點(diǎn)”的定義列兩個(gè)方程,再判斷方程組是否有解即可證得結(jié)論.詳解:解:(1)函數(shù)f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,則f′(x)=1,g′(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得,此方程組無解,因此,f(x)與g(x)不存在“S”點(diǎn).(2)函數(shù),,則.設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S”點(diǎn),由f(x0)與g(x0)且f′(x0)與g′(x0),得,即,(*)得,即,則.當(dāng)時(shí),滿足方程組(*),即為f(x)與g(x)的“S”點(diǎn).因此,a的值為.(3)對任意a>0,設(shè).因?yàn)?,且h(x)的圖象是不間斷的,所以存在∈(0,1),使得,令,則b>0.函數(shù),則.由f(x)與g(x)且f′(x)與g′(x),得,即(**)此時(shí),滿足方程組(**),即是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的一個(gè)“S點(diǎn)”.因此,對任意a>0,存在b>0,使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在“S點(diǎn)”.點(diǎn)睛:涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題、方程解的個(gè)數(shù)問題、函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況,歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值,然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.考點(diǎn)03集合新定義小題1.(2020·浙江·高考真題)設(shè)集合S,T,SN*,TN*,S,T中至少有兩個(gè)元素,且S,T滿足:①對于任意x,yS,若x≠y,都有xyT②對于任意x,yT,若x<y,則S;下列命題正確的是(

)A.若S有4個(gè)元素,則S∪T有7個(gè)元素B.若S有4個(gè)元素,則S∪T有6個(gè)元素C.若S有3個(gè)元素,則S∪T有5個(gè)元素D.若S有3個(gè)元素,則S∪T有4個(gè)元素【答案】A【分析】分別給出具體的集合S和集合T,利用排除法排除錯(cuò)誤選項(xiàng),然后證明剩余選項(xiàng)的正確性即可.【詳解】首先利用排除法:若取,則,此時(shí),包含4個(gè)元素,排除選項(xiàng)C;若取,則,此時(shí),包含5個(gè)元素,排除選項(xiàng)D;若取,則,此時(shí),包含7個(gè)元素,排除選項(xiàng)B;下面來說明選項(xiàng)A的正確性:設(shè)集合,且,,則,且,則,同理,,,,,若,則,則,故即,又,故,所以,故,此時(shí),故,矛盾,舍.若,則,故即,又,故,所以,故,此時(shí).若,則,故,故,即,故,此時(shí)即中有7個(gè)元素.故A正確.故選:A.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問題,有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解.但是,透過現(xiàn)象看本質(zhì),它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識,所以說“新題”不一定是“難題”,掌握好三基,以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.2.(2015·山東·高考真題)集合,,都是非空集合,現(xiàn)規(guī)定如下運(yùn)算:且.假設(shè)集合,,,其中實(shí)數(shù),,,,,滿足:(1),;;(2);(3).計(jì)算.【答案】或【分析】由題設(shè)條件求,,,,,的大小關(guān)系,再根據(jù)集合運(yùn)算新定義求即可.【詳解】,得;,得;∴,;同理,∴.由(1)(3)可得.∴,,.或.故答案為:或3.(2015·浙江·高考真題)設(shè),是有限集,定義,其中表示有限集A中的元素個(gè)數(shù),命題①:對任意有限集,,“”是“”的充分必要條件;命題②:對任意有限集,,,,A.命題①和命題②都成立B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立,命題②不成立D.命題①不成立,命題②成立【答案】A【詳解】命題①顯然正確,通過如下文氏圖亦可知表示的區(qū)域不大于的區(qū)域,故命題②也正確,故選A.考點(diǎn):集合的性質(zhì)4.(2015·湖北·高考真題)已知集合,,定義集合,則中元素的個(gè)數(shù)為A.77 B.49 C.45 D.30【答案】C【詳解】因?yàn)榧?,所以集合中?個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn)),即圖中圓中的整點(diǎn),集合中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn)):即圖中正方形中的整點(diǎn),集合的元素可看作正方形中的整點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn)),即個(gè).考點(diǎn):1.集合的相關(guān)知識,2.新定義題型.大題1.(2018·北京·高考真題)設(shè)n為正整數(shù),集合A=.對于集合A中的任意元素和,記M()=.(Ⅰ)當(dāng)n=3時(shí),若,,求M()和M()的值;(Ⅱ)當(dāng)n=4時(shí),設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意元素,當(dāng)相同時(shí),M()是奇數(shù);當(dāng)不同時(shí),M()是偶數(shù).求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值;(Ⅲ)給定不小于2的n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意兩個(gè)不同的元素,M()=0.寫出一個(gè)集合B,使其元素個(gè)數(shù)最多,并說明理由.【答案】(1)2,1;(2)最大值為4;(3)【詳解】(Ⅰ),.(Ⅱ)考慮數(shù)對只有四種情況:、、、,相應(yīng)的分別為、、、,所以中的每個(gè)元素應(yīng)有奇數(shù)個(gè),所以中的元素只可能為(上下對應(yīng)的兩個(gè)元素稱之為互補(bǔ)元素):、、、,、、、,對于任意兩個(gè)只有個(gè)的元素,都滿足是偶數(shù),所以集合、、、滿足題意,假設(shè)中元素個(gè)數(shù)大于等于,就至少有一對互補(bǔ)元素,除了這對互補(bǔ)元素之外還有至少個(gè)含有個(gè)的元素,則互補(bǔ)元素中含有個(gè)的元素與之滿足不合題意,故中元素個(gè)數(shù)的最大值為.(Ⅲ),此時(shí)中有個(gè)元素,下證其為最大.對于任意兩個(gè)不同的元素,滿足,則,中相同位置上的數(shù)字不能同時(shí)為,假設(shè)存在有多于個(gè)元素,由于與任意元素都有,所以除外至少有個(gè)元素含有,根據(jù)元素的互異性,至少存在一對,滿足,此時(shí)不滿足題意,故中最多有個(gè)元素.考點(diǎn)04其他新定義1.(2020·北京·高考真題)2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日(Day).歷史上,求圓周率的方法有多種,與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似.?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是:當(dāng)正整數(shù)充分大時(shí),計(jì)算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形(各邊均與圓相切的正邊形)的周長,將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值.按照阿爾·卡西的方法,的近似值的表達(dá)式是(

).A. B.C. D.【答案】A【分析】計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長,利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.【詳解】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應(yīng)的圓心角為,每條邊長為,所以,單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為,單位圓的外切正邊形的每條邊長為,其周長為,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圓周率的近似值的計(jì)算,根據(jù)題意計(jì)算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2.(2016·四川·高考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)不是原點(diǎn)時(shí),定義的“伴隨點(diǎn)”為,當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí),定義“伴隨點(diǎn)”為它自身,現(xiàn)有下列命題:①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn),則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn).②單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上.③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對稱④若三點(diǎn)在同一條直線上,則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線.其中的真命題是.【答案】②③【詳解】對于①,若令,則其伴隨點(diǎn)為,而的伴隨點(diǎn)為,而不是,故錯(cuò)誤;對于②,設(shè)曲線關(guān)于軸對稱,則對曲線表示同一曲線,其伴隨曲線分別為與也表示同一曲線,又因?yàn)槠浒殡S曲線分別為與的圖象關(guān)于軸對稱,所以正確;③令單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為其伴隨點(diǎn)為仍在單位圓上,故正確;對于④,直線上取點(diǎn)后得其伴隨點(diǎn)消參后軌跡是圓,故錯(cuò)誤.故答案為:②③.專題25新定義綜合(數(shù)列新定義、函數(shù)新定義、集合新定義及其他新定義)考點(diǎn)十年考情(2015-2024)命題趨勢考點(diǎn)1數(shù)列新定義(10年10考)2024·全國新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全國新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全國新Ⅱ卷、2020·北京卷2020·江蘇卷2019·江蘇卷、2018·江蘇卷、2017·北京卷2017·江蘇卷、2016·江蘇卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)體系下,新定義類試題更綜合性的考查學(xué)生的思維能力和推理能力;以問題為抓手,創(chuàng)新設(shè)問方式,搭建思維平臺,引導(dǎo)考生思考,在思維過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法。題目更加注重綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性,本題分值最高,試題容量明顯增大,對學(xué)科核心素養(yǎng)的考查也更深入。壓軸題命題打破了試題題型、命題方式、試卷結(jié)構(gòu)的固有模式,增強(qiáng)試題的靈活性,采取多樣的形式多角度的提問,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力,新定義題型的特點(diǎn)是;通過給出一個(gè)新概念,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景,要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識和方法,實(shí)現(xiàn)信息的遷移達(dá)到靈活解題的目的;遇到新定義問題,應(yīng)耐心讀題,分析新定義的特點(diǎn),弄清新定義的性質(zhì),按新定義照章辦事”逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算,使問題得以解決,難度較難,需重點(diǎn)特訓(xùn)??键c(diǎn)2函數(shù)新定義(10年4考)2024·上海、2020·江蘇、2018·江蘇2015·湖北、2015·福建考點(diǎn)3集合新定義(10年3考)2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山東卷、2015·浙江卷考點(diǎn)4其他新定義(10年2考)2020·北京卷、2016·四川卷考點(diǎn)01數(shù)列新定義小題1.(2021·全國新Ⅱ卷·高考真題)(多選)設(shè)正整數(shù),其中,記.則(

)A. B.C. D.【答案】ACD【分析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤,利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng),,,所以,,A選項(xiàng)正確;對于B選項(xiàng),取,,,而,則,即,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于C選項(xiàng),,所以,,,所以,,因此,,C選項(xiàng)正確;對于D選項(xiàng),,故,D選項(xiàng)正確.故選:ACD.2.(2020·全國新Ⅱ卷·高考真題)0-1周期序列在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用.若序列滿足,且存在正整數(shù),使得成立,則稱其為0-1周期序列,并稱滿足的最小正整數(shù)為這個(gè)序列的周期.對于周期為的0-1序列,是描述其性質(zhì)的重要指標(biāo),下列周期為5的0-1序列中,滿足的序列是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)新定義,逐一檢驗(yàn)即可【詳解】由知,序列的周期為m,由已知,,對于選項(xiàng)A,,不滿足;對于選項(xiàng)B,,不滿足;對于選項(xiàng)D,,不滿足;故選:C【點(diǎn)晴】本題考查數(shù)列的新定義問題,涉及到周期數(shù)列,考查學(xué)生對新定義的理解能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,是一道中檔題.大題1.(2024·全國新Ⅰ卷·高考真題)設(shè)m為正整數(shù),數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列,若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組,且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列,則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.(1)寫出所有的,,使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列;(2)當(dāng)時(shí),證明:數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列;(3)從中一次任取兩個(gè)數(shù)和,記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為,證明:.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】(1)直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可;(2)根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論;(3)證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè),再使用概率的定義.【詳解】(1)首先,我們設(shè)數(shù)列的公差為,則.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列,當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列,故我們可以對該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,得到新?shù)列,然后對進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之,我們可以不妨設(shè),此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題,第1小問相當(dāng)于從中取出兩個(gè)數(shù)和,使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是,或,或.所以所有可能的就是.(2)由于從數(shù)列中取出和后,剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分,共組,使得每組成等差數(shù)列:①,共組;②,共組.(如果,則忽略②)故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.(3)定義集合,.下面證明,對,如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立,則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列:命題1:或;命題2:.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況:如果,且.此時(shí)設(shè),,.則由可知,即,故.此時(shí),由于從數(shù)列中取出和后,剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分,共組,使得每組成等差數(shù)列:①,共組;②,共組;③,共組.(如果某一部分的組數(shù)為,則忽略之)故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況:如果,且.此時(shí)設(shè),,.則由可知,即,故.由于,故,從而,這就意味著.此時(shí),由于從數(shù)列中取出和后,剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分,共組,使得每組成等差數(shù)列:①,共組;②,,共組;③全體,其中,共組;④,共組.(如果某一部分的組數(shù)為,則忽略之)這里對②和③進(jìn)行一下解釋:將③中的每一組作為一個(gè)橫排,排成一個(gè)包含個(gè)行,個(gè)列的數(shù)表以后,個(gè)列分別是下面這些數(shù):,,,.可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù),它們再取并以后,將取遍中除開五個(gè)集合,,,,中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).而這十個(gè)數(shù)中,除開已經(jīng)去掉的和以外,剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù).這就說明我們給出的分組方式滿足要求,故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此,我們證明了:對,如果前述命題1和命題2同時(shí)成立,則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來考慮這樣的的個(gè)數(shù).首先,由于,和各有個(gè)元素,故滿足命題1的總共有個(gè);而如果,假設(shè),則可設(shè),,代入得.但這導(dǎo)致,矛盾,所以.設(shè),,,則,即.所以可能的恰好就是,對應(yīng)的分別是,總共個(gè).所以這個(gè)滿足命題1的中,不滿足命題2的恰好有個(gè).這就得到同時(shí)滿足命題1和命題2的的個(gè)數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個(gè)數(shù)和時(shí),總的選取方式的個(gè)數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論,使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè).所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿足.這就證明了結(jié)論.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題的關(guān)鍵在于對新定義數(shù)列的理解,只有理解了定義,方可使用定義驗(yàn)證或探究結(jié)論.2.(2024·北京·高考真題)已知集合.給定數(shù)列,和序列,其中,對數(shù)列進(jìn)行如下變換:將的第項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變,得到的數(shù)列記作;將的第項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變,得到數(shù)列記作;……;以此類推,得到,簡記為.(1)給定數(shù)列和序列,寫出;(2)是否存在序列,使得為,若存在,寫出一個(gè)符合條件的;若不存在,請說明理由;(3)若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù),且為偶數(shù),求證:“存在序列,使得的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”.【答案】(1)(2)不存在符合條件的,理由見解析(3)證明見解析【分析】(1)直接按照的定義寫出即可;(2)解法一:利用反證法,假設(shè)存在符合條件的,由此列出方程組,進(jìn)一步說明方程組無解即可;解法二:對于任意序列,所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4,可知序列共有8項(xiàng),可知:,檢驗(yàn)即可;(3)解法一:分充分性和必要性兩方面論證;解法二:若,分類討論相等得個(gè)數(shù),結(jié)合題意證明即可;若存在序列,使得為常數(shù)列,結(jié)合定義分析證明即可.【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列,由序列可得;由序列可得;由序列可得;所以.(2)解法一:假設(shè)存在符合條件的,可知的第項(xiàng)之和為,第項(xiàng)之和為,則,而該方程組無解,故假設(shè)不成立,故不存在符合條件的;解法二:由題意可知:對于任意序列,所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4,假設(shè)存在符合條件的,且,因?yàn)?,即序列共?項(xiàng),由題意可知:,檢驗(yàn)可知:當(dāng)時(shí),上式不成立,即假設(shè)不成立,所以不存在符合條件的.(3)解法一:我們設(shè)序列為,特別規(guī)定.必要性:若存在序列,使得的各項(xiàng)都相等.則,所以.根據(jù)的定義,顯然有,這里,.所以不斷使用該式就得到,必要性得證.充分性:若.由已知,為偶數(shù),而,所以也是偶數(shù).我們設(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中,使得最小的一個(gè).上面已經(jīng)說明,這里,.從而由可得.同時(shí),由于總是偶數(shù),所以和的奇偶性保持不變,從而和都是偶數(shù).下面證明不存在使得.假設(shè)存在,根據(jù)對稱性,不妨設(shè),,即.情況1:若,則由和都是偶數(shù),知.對該數(shù)列連續(xù)作四次變換后,新的相比原來的減少,這與的最小性矛盾;情況2:若,不妨設(shè).情況2-1:如果,則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后,新的相比原來的至少減少,這與的最小性矛盾;情況2-2:如果,則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后,新的相比原來的至少減少,這與的最小性矛盾.這就說明無論如何都會(huì)導(dǎo)致矛盾,所以對任意的都有.假設(shè)存在使得,則是奇數(shù),所以都是奇數(shù),設(shè)為.則此時(shí)對任意,由可知必有.而和都是偶數(shù),故集合中的四個(gè)元素之和為偶數(shù),對該數(shù)列進(jìn)行一次變換,則該數(shù)列成為常數(shù)列,新的等于零,比原來的更小,這與的最小性矛盾.綜上,只可能,而,故是常數(shù)列,充分性得證.解法二:由題意可知:中序列的順序不影響的結(jié)果,且相對于序列也是無序的,(ⅰ)若,不妨設(shè),則,①當(dāng),則,分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列,可得,為常數(shù)列,符合題意;②當(dāng)中有且僅有三個(gè)數(shù)相等,不妨設(shè),則,即,分別執(zhí)行個(gè)序列、個(gè)序列可得,即,因?yàn)闉榕紨?shù),即為偶數(shù),可知的奇偶性相同,則,分別執(zhí)行個(gè)序列,,,,可得,為常數(shù)列,符合題意;③若,則,即,分別執(zhí)行個(gè)、個(gè),可得,因?yàn)椋傻?,即轉(zhuǎn)為①,可知符合題意;④當(dāng)中有且僅有兩個(gè)數(shù)相等,不妨設(shè),則,即,分別執(zhí)行個(gè)、個(gè),可得,且,可得,即轉(zhuǎn)為②,可知符合題意;⑤若,則,即,分別執(zhí)行個(gè)、個(gè),可得,且,可得,即轉(zhuǎn)為③,可知符合題意;綜上所述:若,則存在序列,使得為常數(shù)列;(ⅱ)若存在序列,使得為常數(shù)列,因?yàn)閷θ我猓谐闪?,若為常?shù)列,則,所以;綜上所述:“存在序列,使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題第三問的關(guān)鍵在于對新定義的理解,以及對其本質(zhì)的分析.3.(2023·北京·高考真題)已知數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m,且的前n項(xiàng)和分別為,并規(guī)定.對于,定義,其中,表示數(shù)集M中最大的數(shù).(1)若,求的值;(2)若,且,求;(3)證明:存在,滿足使得.【答案】(1),,,(2)(3)證明見詳解【分析】(1)先求,根據(jù)題意分析求解;(2)根據(jù)題意題意分析可得,利用反證可得,在結(jié)合等差數(shù)列運(yùn)算求解;(3)討論的大小,根據(jù)題意結(jié)合反證法分析證明.【詳解】(1)由題意可知:,當(dāng)時(shí),則,故;當(dāng)時(shí),則,故;當(dāng)時(shí),則故;當(dāng)時(shí),則,故;綜上所述:,,,.(2)由題意可知:,且,因?yàn)?,且,則對任意恒成立,所以,又因?yàn)?,則,即,可得,反證:假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為,當(dāng)時(shí),則;當(dāng)時(shí),則,則,又因?yàn)?,則,假設(shè)不成立,故,即數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,所以.(3)因?yàn)榫鶠檎麛?shù),則均為遞增數(shù)列,(?。┤簦瑒t可取,滿足使得;(ⅱ)若,則,構(gòu)建,由題意可得:,且為整數(shù),反證,假設(shè)存在正整數(shù),使得,則,可得,這與相矛盾,故對任意,均有.①若存在正整數(shù),使得,即,可取,滿足,使得;②若不存在正整數(shù),使得,因?yàn)?,且,所以必存在,使得,即,可得,可取,滿足,使得;(ⅲ)若,定義,則,構(gòu)建,由題意可得:,且為整數(shù),反證,假設(shè)存在正整數(shù),使得,則,可得,這與相矛盾,故對任意,均有.①若存在正整數(shù),使得,即,可取,即滿足,使得;②若不存在正整數(shù),使得,因?yàn)椋?,所以必存在,使得,即,可得,可取,滿足,使得.綜上所述:存在使得.4.(2022·北京·高考真題)已知為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m,若對任意的,在Q中存在,使得,則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列.(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列?是否為連續(xù)可表數(shù)列?說明理由;(2)若為連續(xù)可表數(shù)列,求證:k的最小值為4;(3)若為連續(xù)可表數(shù)列,且,求證:.【答案】(1)是連續(xù)可表數(shù)列;不是連續(xù)可表數(shù)列.(2)證明見解析.(3)證明見解析.【分析】(1)直接利用定義驗(yàn)證即可;(2)先考慮不符合,再列舉一個(gè)合題即可;(3)時(shí),根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行,再討論時(shí),由可知里面必然有負(fù)數(shù),再確定負(fù)數(shù)只能是,然后分類討論驗(yàn)證不行即可.【詳解】(1),,,,,所以是連續(xù)可表數(shù)列;易知,不存在使得,所以不是連續(xù)可表數(shù)列.(2)若,設(shè)為,則至多,6個(gè)數(shù)字,沒有個(gè),矛盾;當(dāng)時(shí),數(shù)列,滿足,,,,,,,,.(3),若最多有種,若,最多有種,所以最多有種,若,則至多可表個(gè)數(shù),矛盾,從而若,則,至多可表個(gè)數(shù),而,所以其中有負(fù)的,從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)(恰21個(gè)),這表明中僅一個(gè)負(fù)的,沒有0,且這個(gè)負(fù)的在中絕對值最小,同時(shí)中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為,則所有數(shù)之和,,,再考慮排序,排序中不能有和相同,否則不足個(gè),(僅一種方式),與2相鄰,若不在兩端,則形式,若,則(有2種結(jié)果相同,方式矛盾),,同理,故在一端,不妨為形式,若,則(有2種結(jié)果相同,矛盾),同理不行,,則(有2種結(jié)果相同,矛盾),從而,由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能,①或,②這2種情形,對①:,矛盾,對②:,也矛盾,綜上,當(dāng)時(shí),數(shù)列滿足題意,.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛,先理解題意,是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項(xiàng)(可以是一項(xiàng))之和能表示從到中間的任意一個(gè)值.本題第二問時(shí),通過和值可能個(gè)數(shù)否定;第三問先通過和值的可能個(gè)數(shù)否定,再驗(yàn)證時(shí),數(shù)列中的幾項(xiàng)如果符合必然是的一個(gè)排序,可驗(yàn)證這組數(shù)不合題.5.(2021·北京·高考真題)設(shè)p為實(shí)數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì),則稱為數(shù)列:①,且;②;③,.(1)如果數(shù)列的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么是否可能為數(shù)列?說明理由;(2)若數(shù)列是數(shù)列,求;(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.是否存在數(shù)列,使得恒成立?如果存在,求出所有的p;如果不存在,說明理由.【答案】(1)不可以是數(shù)列;理由見解析;(2);(3)存在;.【分析】(1)由題意考查的值即可說明數(shù)列不是數(shù)列;(2)由題意首先確定數(shù)列的前4項(xiàng),然后討論計(jì)算即可確定的值;(3)構(gòu)造數(shù)列,易知數(shù)列是的,結(jié)合(2)中的結(jié)論求解不等式即可確定滿足題意的實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)因?yàn)樗裕驗(yàn)樗运詳?shù)列,不可能是數(shù)列.(2)性質(zhì)①,由性質(zhì)③,因此或,或,若,由性質(zhì)②可知,即或,矛盾;若,由有,矛盾.因此只能是.又因?yàn)榛颍曰?若,則,不滿足,舍去.當(dāng),則前四項(xiàng)為:0,0,0,1,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),經(jīng)驗(yàn)證命題成立,假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,當(dāng)時(shí):若,則,利用性質(zhì)③:,此時(shí)可得:;否則,若,取可得:,而由性質(zhì)②可得:,與矛盾.同理可得:,有;,有;,又因?yàn)?,有即?dāng)時(shí)命題成立,證畢.綜上可得:,.(3)令,由性質(zhì)③可知:,由于,因此數(shù)列為數(shù)列.由(2)可知:若;,,因此,此時(shí),,滿足題意.【點(diǎn)睛】本題屬于數(shù)列中的“新定義問題”,“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種,然后根據(jù)此新定義去解決問題,有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義,這樣有助于對新定義的透徹理解.但是,透過現(xiàn)象看本質(zhì),它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識,所以說“新題”不一定是“難題”,掌握好三基,以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.6.(2020·北京·高考真題)已知是無窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì):①對于中任意兩項(xiàng),在中都存在一項(xiàng),使;②對于中任意項(xiàng),在中都存在兩項(xiàng).使得.(Ⅰ)若,判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①,說明理由;(Ⅱ)若,判斷數(shù)列是否同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說明理由;(Ⅲ)若是遞增數(shù)列,且同時(shí)滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明:為等比數(shù)列.【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳解解析;(Ⅲ)證明詳見解析.【分析】(Ⅰ)根據(jù)定義驗(yàn)證,即可判斷;(Ⅱ)根據(jù)定義逐一驗(yàn)證,即可判斷;(Ⅲ)解法一:首先,證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號,然后證明,最后,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列即可.解法二:首先假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù),然后證得成等比數(shù)列,之后證得成等比數(shù)列,同理即可證得數(shù)列為等比數(shù)列,從而命題得證.【詳解】(Ⅰ)不具有性質(zhì)①;(Ⅱ)具有性質(zhì)①;具有性質(zhì)②;(Ⅲ)解法一首先,證明數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號,不妨設(shè)恒為正數(shù):顯然,假設(shè)數(shù)列中存在負(fù)項(xiàng),設(shè),第一種情況:若,即,由①可知:存在,滿足,存在,滿足,由可知,從而,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾,假設(shè)不成立.第二種情況:若,由①知存在實(shí)數(shù),滿足,由的定義可知:,另一方面,,由數(shù)列的單調(diào)性可知:,這與的定義矛盾,假設(shè)不成立.同理可證得數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)恒為負(fù)數(shù).綜上可得,數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)同號.其次,證明:利用性質(zhì)②:取,此時(shí),由數(shù)列的單調(diào)性可知,而,故,此時(shí)必有,即,最后,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列為等比數(shù)列:假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)成等比數(shù)列,不妨設(shè),其中,(的情況類似)由①可得:存在整數(shù),滿足,且(*)由②得:存在,滿足:,由數(shù)列的單調(diào)性可知:,由可得:(**)由(**)和(*)式可得:,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性有:,注意到均為整數(shù),故,代入(**)式,從而.總上可得,數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.即數(shù)列為等比數(shù)列.解法二:假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù):首先利用性質(zhì)②:取,此時(shí),由數(shù)列的單調(diào)性可知,而,故,此時(shí)必有,即,即成等比數(shù)列,不妨設(shè),然后利用性質(zhì)①:取,則,即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為,下面我們來證明,否則,由數(shù)列的單調(diào)性可知,在性質(zhì)②中,取,則,從而,與前面類似的可知?jiǎng)t存在,滿足,若,則:,與假設(shè)矛盾;若,則:,與假設(shè)矛盾;若,則:,與數(shù)列的單調(diào)性矛盾;即不存在滿足題意的正整數(shù),可見不成立,從而,然后利用性質(zhì)①:取,則數(shù)列中存在一項(xiàng),下面我們用反證法來證明,否則,由數(shù)列的單調(diào)性可知,在性質(zhì)②中,取,則,從而,與前面類似的可知?jiǎng)t存在,滿足,即由②可知:,若,則,與假設(shè)矛盾;若,則,與假設(shè)矛盾;若,由于為正整數(shù),故,則,與矛盾;綜上可知,假設(shè)不成立,則.同理可得:,從而數(shù)列為等比數(shù)列,同理,當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時(shí)亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列.由推理過程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù),不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù).從而題中的結(jié)論得證,數(shù)列為等比數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,等比數(shù)列的證明,數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,數(shù)學(xué)歸納法與推理方法、不等式的性質(zhì)的綜合運(yùn)用等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和推理能力.7.(2020·江蘇·高考真題)已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù),若對一切正整數(shù)n,均有成立,則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列.(1)若等差數(shù)列是“λ~1”數(shù)列,求λ的值;(2)若數(shù)列是“”數(shù)列,且an>0,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)對于給定的λ,是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列,且an≥0?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說明理由,【答案】(1)1(2)(3)【分析】(1)根據(jù)定義得,再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系化簡得,最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果;(2)根據(jù)定義得,根據(jù)平方差公式化簡得,求得,即得;(3)根據(jù)定義得,利用立方差公式化簡得兩個(gè)方程,再根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)確定參數(shù)滿足的條件,解得結(jié)果【詳解】(1)(2),(3)假設(shè)存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對于給定的,存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列,且或有兩個(gè)不等的正根.可轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則有兩個(gè)不等正根,設(shè).①

當(dāng)時(shí),,即,此時(shí),,滿足題意.②

當(dāng)時(shí),,即,此時(shí),,此情況有兩個(gè)不等負(fù)根,不滿足題意舍去.綜上,【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項(xiàng)求通項(xiàng)、一元二次方程實(shí)根分步,考查綜合分析求解能力,屬難題.8.(2019·江蘇·高考真題)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列{an}滿足:,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”;(2)已知數(shù)列{bn}滿足:,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn},對任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí),都有成立,求m的最大值.【答案】(1)見解析;(2)①bn=n;②5.【分析】(1)由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可證得題中的結(jié)論;(2)①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式;②由①確定的值,將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值.【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a1≠0,q≠0.由,得,解得.因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.(2)①因?yàn)椋裕傻?,則.由,得,當(dāng)時(shí),由,得,整理得.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n.②由①知,bk=k,.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M–數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c1=1,q>0.因

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