江蘇省江陰市某校高一上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2024-2025學(xué)年度秋學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研試卷高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，故選：C.2.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合，再根據(jù)交集的定義運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，?x?52x+3>0，解得或，所以或，又因?yàn)?，所?故選：A3.哥德巴赫猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，即所謂的“”問題.1966年，我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明了“”成立.哥德巴赫猜想的內(nèi)容是“每一個(gè)大于2的偶數(shù)都能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”，則該猜想的否定為（）A.每一個(gè)小于2的偶數(shù)都不能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和B.存在一個(gè)小于2的偶數(shù)不能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和C.每一個(gè)大于2的偶數(shù)都不能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和D.存在一個(gè)大于2的偶數(shù)不能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確否定，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，A，C錯(cuò)誤;哥德巴赫猜想的否定為“存在一個(gè)大于2的偶數(shù)不能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和”.故選：D.4.已知函數(shù)，則（）A-7 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接代入計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.5.若，則下列不等式成立的是（）A.BC.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式以及基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法判斷各選項(xiàng)．【詳解】因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，所以．故選：D．6.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，根據(jù)充分、必要條件的定義，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A7.命題“，均成立”為真命題，則的取值范圍為（）A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)零點(diǎn)情況，分情況列不等式，解不等式即可.【詳解】由已知在上恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式為，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上所述，故選：B.8.已知，均為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件化為，再利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?，均為正?shí)數(shù)，，均為正實(shí)數(shù)，且，則，整理得：，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的三要素求解.【詳解】A.因?yàn)?，且定義域?yàn)镽，所以與函數(shù)是同一函數(shù)故正確；B.，且定義域?yàn)镽，所以與函數(shù)是同一函數(shù)故正確；C.，與函數(shù)解析式不同，故錯(cuò)誤；D.定義域?yàn)榕c函數(shù)定義域不同，故錯(cuò)誤；故選：AB【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的三要素以及相等函數(shù)，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.函數(shù)有最大值B.C.D.的解集為【答案】ABD【解析】【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函數(shù)有最大值，A正確；由可知即B正確；利用韋達(dá)定理可得，即可知C錯(cuò)誤；易知不等式可化為，解得可知D正確.【詳解】因?yàn)椴坏仁浇饧癁椋?，函?shù)開口向下，有最大值，A正確；又，函數(shù)值即B正確；又是關(guān)于的二次方程的兩根，則，所以，則C錯(cuò)誤；不等式即為，即，解得或，，D正確.故選：ABD.11.下列說法正確的有（）A.的最小值為B.已知，則的最小值為C.若正數(shù)、滿足，則的最小值為D.設(shè)、為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為．【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式分別計(jì)算各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；綜上所述，即無最小值，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由、，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：由，則，又，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若：是：的充分不必要條件，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合充分不必要條件得到，計(jì)算得到答案.【詳解】由p是q的充分不必要條件，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)充分不必要條件求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系是解題的關(guān)鍵.13.函數(shù)的定義域?yàn)開________．【答案】【解析】【分析】要使函數(shù)式有意義，列出不等式組求解即可.【詳解】要使有意義，只需滿足，解得且.所以定義域?yàn)?故答案為：14.若且，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式變形，然后解不等式可得．【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，解得，所以且等號(hào)能取得．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的概念直接計(jì)算；（2）根據(jù)并集結(jié)果可得集合間的關(guān)系，分和兩種情況列不等式，解不等式.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，則或；【小問2詳解】由，則，當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，由，則，解得，綜上所述或.16.解決下列問題（1）.已知，，求的取值范圍；（2）.已知，，求的取值范圍；（3）.已知，比較與的大小.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由不等式性質(zhì)可解決問題；（2）由待定系數(shù)法結(jié)合不等式性質(zhì)可得答案；（3）由作差法結(jié)合條件可比較大小.【小問1詳解】因，，則，則；【小問2詳解】設(shè).則.，則；【小問3詳解】因，則，則17.如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為的十字形地域，計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為4200元/；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為80元/.設(shè)總造價(jià)為S（單位：元），AD長(zhǎng)為x（單位：m）.當(dāng)x為何值時(shí)，S最??？并求出這個(gè)最小值.【答案】時(shí)，S最小且元.【解析】【分析】先求出，再利用基本不等式求解.【詳解】解：由題意，有，又，有.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”.∴當(dāng)時(shí)，S最小且元.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18.已知命題成立，命題．（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若命題只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由基本不等式，即可得到的取值范圍；（2）根據(jù)題意，列出不等式求解，即可得到的取值范圍；（3）根據(jù)題意，分為真為假與為假為真討論，即可得到的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)槊}為真命題，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，則，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】因?yàn)槊}為真命題，則，解得或，則實(shí)數(shù)取值范圍為.【小問3詳解】因?yàn)槊}只有一個(gè)為真命題，由（1）（2）可知，當(dāng)命題為真命題，命題為假命題時(shí)，且，可得；當(dāng)命題為真命題，命題為假命題時(shí)，且或，可得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是19.已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式；（3）若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式解集為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分情況討論，解不等式；（2）分情況討論二次方程解的情況及不等式解集情況；（3）分離參數(shù)，可得，結(jié)合