新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題13 數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和（講）（原卷版）

第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題13數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和（講）真題體驗(yàn)感悟高考1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，依此類推，其中SKIPIF1<0．則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)證明：SKIPIF1<0．總結(jié)規(guī)律預(yù)測(cè)考向（一）規(guī)律與預(yù)測(cè)1.等差(等比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及求和公式是高考的基礎(chǔ)考點(diǎn)與高頻考點(diǎn).以小題居多，屬于容易題.

2.數(shù)列求和方法中的公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法及分組求和法是高考的高頻考點(diǎn)，以小題或解答題形式出現(xiàn)，難易程度有些起伏，從趨勢(shì)看，與不等式等相結(jié)合，其難度有所增大，總體屬于中檔題.涉及數(shù)列的通項(xiàng)、遞推與不等式相結(jié)合的客觀題有所增加.

（二）本專題考向展示考點(diǎn)突破典例分析考向一分組轉(zhuǎn)化法求和【核心知識(shí)】1．等差數(shù)列的求和公式：SKIPIF1<0；2．等比數(shù)列的求和公式：SKIPIF1<0【典例分析】典例1.（2023秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前4項(xiàng)和為10，且SKIPIF1<0是等比數(shù)列SKIPIF1<0的前3項(xiàng)．(1)求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．典例2.（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.典例3.（2022秋·遼寧丹東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【規(guī)律方法】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．考向二裂項(xiàng)相消法求和【核心知識(shí)】裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開(kāi)后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))或eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋2)))(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和．【典例分析】典例4.（2023秋·湖北十堰·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.典例5.（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．典例6.（2022秋·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項(xiàng)的和.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【總結(jié)提升】利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)1．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；2．將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等．如：若{an}是等差數(shù)列，則eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，eq\f(1,anan＋2)＝eq\f(1,2d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋2))).3.裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)分解，使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消，但在抵消的過(guò)程中，有的是依次項(xiàng)抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消．常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式有：（1）SKIPIF1<0，特別地當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；（2），特別地當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，；（3）（4）（5）考向三錯(cuò)位相減法求和【核心知識(shí)】錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．【典例分析】典例7.（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(3)求SKIPIF1<0．典例8.（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0項(xiàng)是數(shù)列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0項(xiàng).(1)求數(shù)列SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.典例9.（2022秋·河北張家口·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和,SKIPIF1<0．(1)證明:數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【規(guī)律方法】1．求解此類題需掌握三個(gè)技巧：一是巧分拆，即把數(shù)列的通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)的積，并求出等比數(shù)列的公比；二是構(gòu)差式，求出前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后乘以等比數(shù)列的公比，兩式作差；三是得結(jié)論，即根據(jù)差式的特征進(jìn)行準(zhǔn)確求和．2．運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)應(yīng)注意三點(diǎn)：一是判斷模型，即判斷數(shù)列{an}，{bn}一個(gè)為等差數(shù)列，一個(gè)為等比數(shù)列；二是錯(cuò)開(kāi)位置；三是相減時(shí)一定要注意最后一項(xiàng)的符號(hào).3．用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：(1)等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫(xiě)出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．考向四數(shù)列的綜合問(wèn)題【核心知識(shí)】數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題是高考命題的一個(gè)方向，此類問(wèn)題突破的關(guān)鍵在于通過(guò)函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，通過(guò)放縮進(jìn)行等式的證明．【典例分析】典例10.（2022秋·江蘇南通·高三期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項(xiàng)的和，若SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)證明：SKIPIF1<0成等差數(shù)列；(2)比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大??；(3)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為大于1的奇數(shù)，證明：SKIPIF1<0典例11.（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.典例12.（2022·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求使得SKIPIF1<0恒成立的m的最小整數(shù).典例13.（2022秋·天津南開(kāi)·高三南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.典例14.（2022秋·天津和平·高三耀華中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是公比大于0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；(3)設(shè)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，證明：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．【總結(jié)提升】1.數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用是高考命題的一個(gè)重要方向.此類問(wèn)題的常見(jiàn)類型及求解策略:（1）依據(jù)數(shù)列的單調(diào)性解答數(shù)列中的最值問(wèn)題.求解策略:一是根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到數(shù)列的單調(diào)性；二是通過(guò)對(duì)數(shù)列相鄰項(xiàng)的比較(作差、作商)得到數(shù)列的單調(diào)性.（2）利用“放縮法”證明數(shù)列型不等式.求解策略:一是在求和過(guò)程中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和的數(shù)列”；二是求和后再“放縮”.2.易錯(cuò)提醒：(1)公式an＝Sn－Sn－1適用于所有數(shù)列，但易忽略n≥2這個(gè)前提．(2)數(shù)列和不等式的綜合問(wèn)題，要注意條件n∈N*，求最值要注意等號(hào)成立的條件，放縮不等式要適度．考向五數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題【核心知識(shí)】數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題是對(duì)一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列．【典例分析】典例15.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1）記SKIPIF1<0，寫(xiě)出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）求SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和.典例16.（2022秋·廣東東莞·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且對(duì)于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)中的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前20項(xiàng)和SKIPIF1<0．典例17.（2022秋·天津靜海·高三靜海一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.(2)已知SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前2n項(xiàng)和SKIPIF1<0.(3)求證：SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】1．?dāng)?shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題的常見(jiàn)題型①數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問(wèn)題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的類型；③含有{a2n}，{a2n－1}的類型；④已知條件明確的奇偶項(xiàng)問(wèn)題．2．對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把SKIPIF1<0