專題01 實(shí)數(shù)【考點(diǎn)精講】（原卷版）

考點(diǎn)01實(shí)數(shù)一、實(shí)數(shù)的相關(guān)概念實(shí)數(shù)的相關(guān)概念正數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù)意義：表示具有相反意義的量負(fù)數(shù)在正數(shù)前面加上“－”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸相反數(shù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反數(shù)（1）若a,b互為相反數(shù)，則a+b=0;（2）0的相反數(shù)是0;（3）在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等.絕對(duì)值數(shù)軸上點(diǎn)a與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作絕對(duì)值具有非負(fù)性：倒數(shù)乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)（1）ab=1?a,b互為倒數(shù);（2）0沒有倒數(shù);（3）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1.科學(xué)計(jì)數(shù)法把一個(gè)數(shù)寫成a×10n（其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)）的形式無理數(shù)無限不循環(huán)的小數(shù)叫做無理數(shù)平方根①如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，記作；②性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù);0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.算術(shù)平方根①如果一個(gè)正數(shù)的平方等于a，即x2＝a，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根,記作.②非負(fù)性：，立方根①如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根，記作.②性質(zhì)：正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0；負(fù)數(shù)只有一個(gè)負(fù)的立方根.③，零指數(shù)，負(fù)指數(shù)冪；非負(fù)數(shù)1．常見的三種非負(fù)數(shù)：|a|≥0，a2≥0，eq\r(a)≥0(a≥0)．2．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)有最小值是零；②任意幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和仍為非負(fù)數(shù)；③幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0.二、實(shí)數(shù)的分類實(shí)數(shù)的分類按定義分有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)按正負(fù)分正實(shí)數(shù)0負(fù)實(shí)數(shù)三、實(shí)數(shù)的運(yùn)算實(shí)數(shù)的運(yùn)算加法同號(hào)兩數(shù)相加，取原來的符號(hào)。并把它們的絕對(duì)值相加。異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)儲(chǔ)較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大數(shù)的絕對(duì)值減失較小數(shù)的絕對(duì)值。減法減去一個(gè)效等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)乘法兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相乘幾個(gè)非零實(shí)數(shù)相乘。積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)n個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積為0.除法兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相除0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得0乘方幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，記作an（a≠0，n為正整數(shù)）開方與乘方互為逆運(yùn)算運(yùn)算順序分級(jí)：加減是一級(jí)運(yùn)算。除是二級(jí)運(yùn)算，乘方和開方是三級(jí)運(yùn)算，三級(jí)運(yùn)算的題序是三二一、（如果有括號(hào)，先算括號(hào)內(nèi)的；如果沒有括號(hào)，在同一級(jí)運(yùn)算中，要從左至右進(jìn)行運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算）【考點(diǎn)1】實(shí)數(shù)的概念與分類【例1】下列實(shí)數(shù)中是無理數(shù)的是（）A．3.14 B． C． D．無理數(shù)常見的四種類型”：（1）開不盡的數(shù)，如，（2）含有π的絕大部分?jǐn)?shù)，如π，（3）具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.10100000(兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0)（4）三角函數(shù)數(shù)中的一些數(shù)，如，，.1．（2022·安徽）下列為負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C．0 D．2．（2022·浙江金華）在中，是無理數(shù)的是（

）A． B． C． D．23．（2022·江蘇連云港）寫出一個(gè)在1到3之間的無理數(shù)：_________．【考點(diǎn)2】正負(fù)數(shù)的意義【例2】若盈余2萬元記作萬元，則萬元表示（）A．盈余2萬元 B．虧損2萬元 C．虧損萬元 D．不盈余也不虧損正負(fù)數(shù)的意義：表示具有相反意義的量1．（2022·廣西桂林）在東西向的馬路上，把出發(fā)點(diǎn)記為0，向東與向西意義相反．若把向東走2km記做“+2km”，那么向西走1km應(yīng)記做（

）A．﹣2km B．﹣1km C．1km D．+2km2．（2022·云南）中國(guó)是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運(yùn)算的國(guó)家．若零上10℃記作+10℃，則零下10℃可記作（

）A．10℃ B．0℃ C．-10℃ D．-20℃3．（2022·廣西）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在中國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，負(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的正數(shù)“數(shù)量相等，意義相反”，如果向東走了5米，記作＋5米，那么向西走5米，可記作______米．【考點(diǎn)3】數(shù)軸的運(yùn)用【例3】若，則實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置是（）．A． B．C． D．【例4】（2022·貴州黔東南）在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題時(shí)，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)2的點(diǎn)的距離．當(dāng)取得最小值時(shí)，的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．1．（2022·陜西）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a______．（填“>”“=”或“<”）2．（2022·廣西）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)是，則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)表示的數(shù)是（

）A． B．0 C．1 D．23．（2022·黑龍江大慶）實(shí)數(shù)c，d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則下列式子正確的是(

)A． B． C． D．【考點(diǎn)4】絕對(duì)值、相反數(shù)與倒數(shù)【例5】的絕對(duì)值是（）A． B． C． D．【例6】﹣的相反數(shù)，倒數(shù)．1．（2022·四川成都）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2022·廣西梧州）的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇泰州）若，則的值為__________.【考點(diǎn)5】科學(xué)計(jì)數(shù)法【例7】（2022·湖南邵陽(yáng)）5月29日騰訊新聞報(bào)道，2022年第一季度，湖南全省地區(qū)生產(chǎn)總值約為11000億元，11000億用科學(xué)記數(shù)法可表示為，則的值是（

）A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000科學(xué)記數(shù)法的表示方法：一般形式:a×10n.1．a(chǎn)值的確定:1≤|a|<10.2．n值的確定:①當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值大于或等于10時(shí),n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;②當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值小于1時(shí),n是負(fù)整數(shù),它的絕對(duì)值等于原數(shù)左起第一個(gè)非零數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù)(含小數(shù)點(diǎn)前的零).注意:若含有計(jì)數(shù)單位,則先把計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)化為數(shù)字，再用科學(xué)記數(shù)法表示.1．（2022·浙江杭州）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布我國(guó)2021年年末總?cè)丝诩s1412600000人，數(shù)據(jù)1412600000用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（

）A． B． C． D．2．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特）據(jù)2022年5月26日央視新聞報(bào)道，今年我國(guó)農(nóng)發(fā)行安排夏糧收購(gòu)準(zhǔn)備金1100億元．?dāng)?shù)據(jù)“1100億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北武漢）科學(xué)家在實(shí)驗(yàn)室中檢測(cè)出某種病毒的直徑的為0.000000103米，該直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為___________米．【考點(diǎn)6】實(shí)數(shù)的大小比較【例8】比較大?。篲_________（填寫“＞”或“＜”或“＝”）．比較實(shí)數(shù)大小的五種方法（1）絕對(duì)值比較法：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕大值大的反而?。?）數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大（3）平方比較法：先將要平方的兩個(gè)數(shù)分別平方，再根據(jù)a>0,b>0時(shí)，可由a2>b2得到a>b來比較大小。（4）取近以值法：首先對(duì)要比較的兩個(gè)數(shù)取近以值通過比較其近似值來比較兩個(gè)數(shù)的大小，（5）差值比較法1．（2022·四川雅安）在﹣，1，，3中，比0小的數(shù)是（）A．﹣ B．1 C． D．32．（2022·江蘇蘇州）下列實(shí)數(shù)中，比3大的數(shù)是（

）A．5 B．1 C．0 D．－23．（2022·四川南充）比較大小：_______________．（選填＞，＝，＜）【考點(diǎn)7】平方根、算術(shù)平方根與立方根【例9】數(shù)4的算術(shù)平方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2【例10】實(shí)數(shù)8的立方根是．1．（2022·四川瀘州）（

）A． B． C． D．22．（2022·四川涼山）化簡(jiǎn)：＝（

）A．±2 B．－2 C．4 D．23．（2022·浙江杭州）計(jì)算：_________；_________．【考點(diǎn)8】實(shí)數(shù)的估算與運(yùn)算【例11】實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是（）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【例12】（2022·湖北鄂州）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請(qǐng)你推算22022的個(gè)位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【例13】計(jì)算：．關(guān)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要掌握好與實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)，靈活地運(yùn)用各種運(yùn)算律，關(guān)鍵是把好符號(hào)關(guān)；在較復(fù)雜的運(yùn)算中，不注意運(yùn)算順序或者不合理使用運(yùn)算律，從而使運(yùn)算出現(xiàn)錯(cuò)誤。1．（2022·江蘇宿遷）滿足的最大整數(shù)是_______．2．（2022·四川瀘州）與最接近的整數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．73．（2022·黑龍江大慶）函數(shù)叫做高斯函數(shù)，其中x為任意實(shí)數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)．定義，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為(

)①；②；③高斯函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是；④函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，．A．0 B．1 C．2 D．34．（2022·山東煙臺(tái)）如圖，是一個(gè)“數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)”的示意圖．若x＝﹣5，y＝3，則輸出結(jié)果為_____．5．（2022·山東煙臺(tái)）小明和