專題02 二次根式【考點(diǎn)鞏固】（解析版）

專題02二次根式（時(shí)間：60分鐘，滿分120分）一、填空題（每題3分，共30分）1．（2021·湖南）將化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)方法即可得．【詳解】解：原式，，故選：D．2．（2022·貴州貴陽(yáng)）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3【答案】A【詳解】解：由題意得．解得x≥3，故選：A．3．下列各式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】分別根據(jù)算術(shù)平方根、立方根性質(zhì)化簡(jiǎn)，利用二次根式加減法則計(jì)算即可判斷．【詳解】解：A．，故選項(xiàng)A不合題意；B.，故選項(xiàng)B不合題意；C.不等于2，故選項(xiàng)C不合題意；D.，故選項(xiàng)D符合題意．故選D．5．（2022·河北）下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A.，故錯(cuò)誤；B.，故正確；C.，故錯(cuò)誤；D.，故錯(cuò)誤；故選：B．6．（2022·湖北恩施）函數(shù)的自變量x的取值范圍是（

）A．B．C．且D．【答案】C【分析】根據(jù)分式有意義的條件與二次根式有意義的條件得出不等式組，解不等式組即可求解．【詳解】解：∵有意義，∴，解得且，故選C．7．（2022·重慶南開(kāi)中學(xué)三模）估計(jì)的值在（

）A．4和5之間 B．5和6之間C．6和7之間 D．7和8之間【答案】D【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算法則將原式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行無(wú)理數(shù)的估算即可．【詳解】解：==∵25<30<36，∴5<<6，∴7<<8，即的值在7和8之間，故選：D．8．（2022·上海崇明·二模）如果最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，那么x的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．進(jìn)行求解即可．【詳解】∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，∴，∴，故選：D．9．（2022·湖南常德）我們發(fā)現(xiàn)：，，，…，，一般地，對(duì)于正整數(shù)，，如果滿足時(shí)，稱為一組完美方根數(shù)對(duì)．如上面是一組完美方根數(shù)對(duì)．則下面4個(gè)結(jié)論：①是完美方根數(shù)對(duì)；②是完美方根數(shù)對(duì)；③若是完美方根數(shù)對(duì)，則；④若是完美方根數(shù)對(duì)，則點(diǎn)在拋物線上．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)定義逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：，是完美方根數(shù)對(duì)；故①正確；不是完美方根數(shù)對(duì)；故②不正確；若是完美方根數(shù)對(duì)，則即解得或是正整數(shù)則故③正確；若是完美方根數(shù)對(duì)，則,即故④正確故選C10．（2022·廣東番禺中學(xué)三模）若，則等于（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】直接利用二次根式中被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，得出x的值，進(jìn)而得出y的值，再利用有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：x＝2，故y＝-3，∴．故選：A．二、填空題（每題4分，共28分）11．（2022·湖北武漢）計(jì)算的結(jié)果是_________．【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：．故答案為：2．12．（2022·廣西）化簡(jiǎn)：=_____．【答案】【分析】根據(jù)，計(jì)算出結(jié)果即可．【詳解】解：．故答案為：．13．（2022·湖南婁底）函數(shù)的自變量的取值范圍是_______．【答案】【分析】由有意義可得：再解不等式可得答案．【詳解】解：由有意義可得：即解得：故答案為：14．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足|a﹣8|++（c﹣10）2＝0，則這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為_(kāi)__．【答案】4.8【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b、c，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷這個(gè)三角形是直角三角形，再根據(jù)直角三角形的面積公式求最長(zhǎng)邊上的高．【詳解】解：∵|a﹣8|++（c﹣10）2＝0，∴a-8=0，b-6=0，c-10=0，∴a=8，b=6，c=10，∵62+82=102，∴該三角形是直角三角形，∴這個(gè)三角形最長(zhǎng)邊上的高為：=4.8，故答案為：4.8．15．（2022·四川廣安·二模）如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是___________．【答案】-2【分析】根據(jù)數(shù)軸即可判斷a和b的取值范圍，即可判斷的符號(hào)，最后利用二次根式的性質(zhì)去根號(hào)即可化簡(jiǎn)．【詳解】解：由數(shù)軸可知，∴，，∴原式．故答案為：-2．16．（2022·湖北隨州）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)可知m有最小值．設(shè)n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則n的最小值為_(kāi)_____，最大值為_(kāi)_____．【答案】

3

75【分析】根據(jù)n為正整數(shù)，是大于1的整數(shù)，先求出n的值可以為3、12、75，300，再結(jié)合是大于1的整數(shù)來(lái)求解．【詳解】解：∵，是大于1的整數(shù)，∴．∵n為正整數(shù)∴n的值可以為3、12、75，n的最小值是3，最大值是75．故答案為：3；75．17．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)中，給出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求積公式，即如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則該三角形的面積為S＝eq\r(\f(1,4)[a2b2－（\f(a2＋b2－c2,2)）2]).已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為eq\r(6)，2，2，則△ABC的面積為．【解析】直接利用公式結(jié)合二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．△ABC的面積為：eq\r(\f(1,4)[（\r(6)）2×22－（\f(6＋22－22,2)）2])＝eq\f(\r(15),2).三、簡(jiǎn)答題（共66分）18.（8分）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）1【分析】（1）先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可；（2）先把括號(hào)內(nèi)的二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并，再計(jì)算除法．【詳解】解：（1）==；（2）===119.（8分）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再計(jì)算乘除法；（2）先算乘法，將括號(hào)展開(kāi)，再合并．【詳解】解：（1）===；（2）==20.（8分）計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）7【分析】（1）先將括號(hào)展開(kāi)，再計(jì)算乘法，同時(shí)化簡(jiǎn)，最后合并同類二次根式；（2）先計(jì)算負(fù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪和乘法，再算加減法．【詳解】解：（1）===；（2）===721.（12分）觀察下列等式：；；；按照上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫(xiě)出第6個(gè)等式：________________；（2）請(qǐng)寫(xiě)出第n個(gè)等式：________________；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）（2）從等式中找出規(guī)律，比如第三個(gè)等式：3×2-1=5，3×2+1=7，3就是a3的3，5就是，7就是，即可得出答案；（3）根據(jù)上面的規(guī)律得出通分，觀察分子中的項(xiàng)，互為相反數(shù)相加得0便可解出．【詳解】解：（1）觀察，如的下標(biāo)3，與中被開(kāi)方數(shù)，5和7得出：3×2-1=5，3×2+1=7，即7等于下標(biāo)的2倍加1，5等于下標(biāo)的2倍減1；，故答案是：；（2）由（1）知，第n個(gè)等式的下標(biāo)是n，被開(kāi)方數(shù)分別為2n+1，2n-1，所以第n個(gè)等式，故答案是：；（3）．22．（12分）閱讀下面的材料：小明在學(xué)習(xí)完二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3＋2eq\r(2)＝(1＋eq\r(2))2.善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a＋eq\r(2)b＝(m＋eq\r(2)n)2(其中a，b，m，n均為正整數(shù))，則有a＋eq\r(2)b＝m2＋2n2＋2eq\r(2)mn.所以a＝m2＋2n2，b＝2mn.這樣小明就找到了一種把類似a＋eq\r(2)b的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a，b，m，n均為正整數(shù)時(shí)，若a＋eq\r(3)b＝(m＋eq\r(3)n)2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝________，b＝________；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a，b，m，n填空：______＋______eq\r(3)＝(______＋______eq\r(3))2；（3）若a＋4eq\r(3)＝(m＋eq\r(3)n)2，且a，m，n均為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)m2＋3n2；2mn(2)16；8；2；2(答案不唯一)(3)由題意得a＝m2＋3n2，4＝2mn.因?yàn)閙，n為正整數(shù)，所以m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.所以a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13.綜上可知，a的值為7或13.23.（12分）先閱讀，后解答：；像上述解題過(guò)程中，與相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過(guò)程也稱為分母有理化，（1）的有理化因式是；的有理化因式是．（2）將下列式子進(jìn)行分母有理化：①=