遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)答案

第1頁(yè)/共1頁(yè)濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高三期中I考試數(shù)學(xué)試卷命題人：大連市第二十高級(jí)中學(xué)盧永娜校對(duì)人：大連市第二十高級(jí)中學(xué)苑清治第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，而，所以.故選：C2.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，則，單調(diào)遞減成立，即充分性成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，推不出成立，如，故必要性不成立；綜上，“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞減”的充分不必要條件.故選：A3.在中，點(diǎn)在邊上，，記，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量加法的三角形法則得，根據(jù)可得到與的關(guān)系.【詳解】由題意得，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，如圖所示：.故選：B.4.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，分段求出值域即可得解.【詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：B5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算可得.【詳解】函數(shù)，令，即，解得或，所以的定義域?yàn)椋衷诙x域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.

故選：C6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出、，再由兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，解得，所?故選：A7.設(shè)是定義域?yàn)樯系呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞增，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】由指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)可知，所以，又是定義域?yàn)樯系呐己瘮?shù)，所以，由對(duì)數(shù)函數(shù)可知，，所以，即.故選：B8.已知向量，，函數(shù).若對(duì)于任意的，且，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，則f′x>0在上恒成立，不妨設(shè)，則原不等式可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】因?yàn)椋?，則，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋缘葍r(jià)于，即，令，，所以可知在上為增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以在上為減函數(shù)，所以，所以，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列式子的運(yùn)算結(jié)果為的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用兩角和的正切公式判斷A、B、D；根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式、二倍角公式判斷C.【詳解】對(duì)于A：，故A正確；對(duì)于B：，所以，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.已知向量，，則（）A. B.與向量共線的單位向量是C. D.向量在向量上的投影向量是【答案】CD【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求模，即可判斷A；與向量共線的單位向量為，即可判斷B；求出即可判斷C；根據(jù)向量在向量上的投影向量是判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，所以，則，故A錯(cuò)誤；又，則與向量共線的單位向量為，即或，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C正確；因?yàn)椋?，所以向量在向量上的投影向量是，故D正確.故選：CD11.已知函數(shù)，且對(duì)，都有，把圖象上所有的點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再把所得函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.為偶函數(shù) D.在上有1個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)由可得關(guān)于直線對(duì)稱，從而求得，即可得到，從而判斷A；再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出解析式，最后根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，，關(guān)于直線對(duì)稱，，，又當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；對(duì)于B：把圖象上所有的點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到，再把的圖象向右平移個(gè)單位得到，即，當(dāng)時(shí)，，∴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，滿足，故B正確；對(duì)于C：∵，為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，則在上只有一個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD．第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題每小題5分，共15分12.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)椋遥?，解?故答案為：13.已知函數(shù)，若，，且，則最小值是______.【答案】##【解析】【分析】確定給定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，再求出的關(guān)系等式，并利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，因此函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，由，得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以最小值是.故答案為：14.已知函數(shù)，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)可得，構(gòu)造，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得其最值.【詳解】，由題可得，故，令，，，由，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將原函數(shù)變形后，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，難點(diǎn)在于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知.（1）求的值；（2）若，是方程的兩個(gè)根，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，即可得解；（2）利用韋達(dá)定理得到，從而得到，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，是方程的兩個(gè)根，所以，∴，又，∴．16.已知函數(shù)在時(shí)取得極大值1.（1）求曲線，在點(diǎn)處的切線方程；（2）求過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.（2）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，解得，即，，由，得或，由，得，則處取得極大值1，即符合題意，于是，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，由切線過(guò)點(diǎn)，得，整理得，解得或，所以切線方程為或，即或.17.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先可得函數(shù)的定義域，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，求出參數(shù)的值，再檢驗(yàn)即可；（2）首先求出在上的值域，再利用換元法求出在上的值域，依題意，即可得到不等式組，解答即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，經(jīng)檢驗(yàn)，對(duì)于，成立，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，因?yàn)?，所以，，，，，所以?dāng)時(shí)的值域，又，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取最小值為，當(dāng)時(shí)，取最大值為，即在上的值域，又對(duì)任意，總存在，使得成立，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是．18.已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的最小值；（3）如果存在實(shí)數(shù)m、n，其中，使得，求的取值范圍.【答案】（1）極小值為，無(wú)極大值（2）（3）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出函數(shù)的極值；（2）依題意可得在上恒成立，顯然，參變分離可得，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)得到，即可求出參數(shù)的取值范圍，即可得解；（3）方法1：依題意可得函數(shù)在、0,+∞上為增函數(shù)，則，，從而得到，則，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的取值范圍；方法2：依題意可得，，令，可得，，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的范圍，從而得解.【小問(wèn)1詳解】∵定義域?yàn)?,+∞，，∴當(dāng)時(shí)，f′x<0；當(dāng)時(shí)，f∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值為，無(wú)極大值．【小問(wèn)2詳解】依題可知，，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，，，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．【小問(wèn)3詳解】方法1：由已知，則函數(shù)在、0,+∞上為增函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m、n，其中，使得，則，，由可得，則，故，令，，，可得.當(dāng)時(shí)，φ′x<0，此時(shí)函數(shù)當(dāng)時(shí)，φ′x>0，此時(shí)函數(shù)故，，又因?yàn)椋?，且，所以，因此，的取值范圍是．方?：由已知，則函數(shù)在、0,+∞上為增函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m、n，其中，使得，則，，令，則，可得，由可得，令，其中，令可得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，，且，所以，因此的取值范圍是?9.已知函數(shù)fx=A（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)，在上的最大值和最小值.（3）若函數(shù)在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)、的值.【答案】（1），（2）最大值為，最小值為（3），【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求出解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）首先利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)?x的解析式，根據(jù)的取值范圍，求出的范圍，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（3）首先得到，令gx=0，可得，令，得，則方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，且、異號(hào)，再對(duì)、分類討論，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】由圖象可得，最小正周期，又，則，由，所以，所以，，又，則易求得，所以，由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，．【小問(wèn)2詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，從而可知，即，因此，所以?dāng)，即時(shí)?x取得最大值，當(dāng)，即時(shí)?x取得最小值，故?x在上的最大值為，最小值為．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋頶x=0可得，令，得，易知，方程必有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、，由，則、異號(hào)，①當(dāng)且或者且時(shí)，則方程和在區(qū)間均有偶數(shù)個(gè)根，不合