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文檔簡介
2025屆廣東省惠州市惠陽高級中學(xué)高三最后一模數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.2.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點,沿把折起,使點翻折到點的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時,四棱錐的體積為()A. B. C. D.3.下列圖形中,不是三棱柱展開圖的是()A. B. C. D.4.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則6.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q7.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B8.已知等差數(shù)列中,,,則數(shù)列的前10項和()A.100 B.210 C.380 D.4009.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊,平均分到甲、乙兩個村進行義務(wù)巡診,其中每個分隊都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種10.劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家,他在《九章算術(shù)》中對勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補,各從其類,因就其余不移動也.合成弦方之冪,開方除之,即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,其中“正方形為朱方,正方形為青方”,則在五邊形內(nèi)隨機取一個點,此點取自朱方的概率為()A. B. C. D.11.在中,D為的中點,E為上靠近點B的三等分點,且,相交于點P,則()A. B.C. D.12.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的焦距為,若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為,則雙曲線的離心率為____________.14.已知三棱錐,,是邊長為4的正三角形,,分別是、的中點,為棱上一動點(點除外),,若異面直線與所成的角為,且,則______.15.展開式中的系數(shù)為_______________.16.已知,則滿足的的取值范圍為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐中,是等邊三角形,點在棱上,平面平面.(1)求證:平面平面;(2)若,求直線與平面所成角的正弦值的最大值;(3)設(shè)直線與平面相交于點,若,求的值.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點,直線l與曲線C交于不同的兩點A、B,求的值.19.(12分)已知數(shù)列的前項和為,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,為數(shù)列的前項和.求證:.20.(12分)如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點,為⊙上一點,,交于點.求證:~.21.(12分)已知.(1)解關(guān)于x的不等式:;(2)若的最小值為M,且,求證:.22.(10分)第十四屆全國冬季運動會召開期間,某校舉行了“冰上運動知識競賽”,為了解本次競賽成績情況,從中隨機抽取部分學(xué)生的成績(得分均為整數(shù),滿分100分)進行統(tǒng)計,請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問題:(1)求、、的值及隨機抽取一考生其成績不低于70分的概率;(2)若從成績較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識”志愿活動,并指定2名負(fù)責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計1.00
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
投影即為,利用數(shù)量積運算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為,由題意,得,,所以,向量在向量方向上的投影為.故選:A.【點睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運算,難度不大,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點,交于點,連接,點必在上,、分別為、的中點,則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因為是等邊三角形,、、分別為、、的中點,必有,所以點為等腰梯形的外接圓圓心,即點與點重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點,考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.3、C【解析】
根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知,ABD選項可以圍成三棱柱,C選項不是三棱柱展開圖.故選:C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
先根據(jù)已知條件求解出的通項公式,然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因為,數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,則,化簡得,所以.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性,可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問題.5、D【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理,對選項做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當(dāng),且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,當(dāng)時,不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關(guān)系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點睛】本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.6、B【解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M點睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運用、幾何概型的特征與計算公式的運用等知識與方法的綜合運用,以及分析問題解決問題的能力。7、C【解析】試題分析:集合考點:集合間的關(guān)系8、B【解析】
設(shè)公差為,由已知可得,進而求出的通項公式,即可求解.【詳解】設(shè)公差為,,,,.故選:B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計算以及前項和,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,3名外科醫(yī)生和3名護士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士,根據(jù)排列組合進行計算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護士都有,則分1名外科,2名護士和2名外科醫(yī)生和1名護士,若甲村有1外科,2名護士,則有C3若甲村有2外科,1名護士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點睛】本題主要考查了分組分配問題,解決這類問題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于常考題型.10、C【解析】
首先明確這是一個幾何概型面積類型,然后求得總事件的面積和所研究事件的面積,代入概率公式求解.【詳解】因為正方形為朱方,其面積為9,五邊形的面積為,所以此點取自朱方的概率為.故選:C【點睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
設(shè),則,,由B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,可知,,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,,因為B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,所以,,所以,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯.B:由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯.B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯.C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯.故選:C【點睛】考查判斷命題的真假,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用即可建立關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為,過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點,則,,由已知,,即,所以,離心率.故答案為:【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,做此類題的關(guān)鍵是建立的方程或不等式,是一道容易題.14、【解析】
取的中點,連接,,取的中點,連接,,,直線與所成的角為,計算,,根據(jù)余弦定理計算得到答案?!驹斀狻咳〉闹悬c,連接,,依題意可得,,所以平面,所以,因為,分別、的中點,所以,因為,所以,所以平面,故,故,故兩兩垂直。取的中點,連接,,,因為,所以直線與所成的角為,設(shè),則,,所以,化簡得,解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.15、【解析】
把按照二項式定理展開,可得的展開式中的系數(shù).【詳解】解:,故它的展開式中的系數(shù)為,故答案為:.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
將f(x)寫成分段函數(shù)形式,分析得f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),利用奇偶性和單調(diào)性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,f(x)=x|x|=,則f(x)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù),則f(2x﹣1)+f(x)≥0?f(2x﹣1)≥﹣f(x)?f(2x﹣1)≥f(﹣x)?2x﹣1≥﹣x,解可得x≥,即x的取值范圍為[,+∞);故答案為:[,+∞).【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定以及應(yīng)用,注意分析f(x)的奇偶性與單調(diào)性.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
(1)取中點為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進而求證;(2)以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進而利用數(shù)量積求解;(3)設(shè),,則,求得,,即可求得點的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進而求解.【詳解】(1)證明:取中點為,連接,因為是等邊三角形,所以,因為且相交于,所以平面,所以,因為,所以,因為,在平面內(nèi),所以,所以.(2)以為原點,過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,因為在棱上,可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因為,所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時,取最大值.(3)設(shè),則有,得,設(shè),那么,所以,所以.因為,,所以.又因為,所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,,可得,即因為在平面內(nèi),所以,所以,所以,即,所以或者(舍),即.【點睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運算能力與空間想象能力.18、(1),(2)【解析】
(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于在直線上,寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】(1)直線的普通方程為,即,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化,,,而,則,即,故直線l的普通方程為,曲線C的直角坐標(biāo)方程(2)點在直線l上,且直線的傾斜角為,可設(shè)直線的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),代入到曲線C的方程得,,,由參數(shù)的幾何意義知.【點睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵,難度一般.19、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用求得數(shù)列的通項公式.(2)先將縮小即,由此結(jié)合裂項求和法、放縮法,證得不等式成立.【詳解】(1)∵,令,得.又,兩式相減,得.∴.(2)∵.又∵,,∴.∴.∴.【點睛】本小題主要考查已知求,考查利用放縮法證明不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、證明見解析【解析】
根據(jù)相似三角形的判定定理,已知兩個三角形有公共角,題中未給出線段比例關(guān)系,故可根據(jù)判定定理一需找到另外一組相等角,結(jié)合平面幾何的知識證得即可.【詳解】證明:∵,所以,又因為,所以.在與中,,,故~.【點睛】本題考查平面幾何中同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系、相似三角形的判定定理;考查邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想;分析圖形,找出角與角之間
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