2024-2025學年高中數(shù)學第三章函數(shù)的應(yīng)用3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實例課時作業(yè)含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE6課時作業(yè)26函數(shù)模型的應(yīng)用實例時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．據(jù)調(diào)查，某地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4000輛/次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，一般車存車費是每輛一次0.2元，若一般車存車量為x輛/次，存車處總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(D)A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：依據(jù)題意可知總收入分為兩部分：一般車存車費用0.2x元和變速車存車費用(4000－x)×0.3元，所以y＝0.2x＋1200－0.3x＝－0.1x＋1200.只有D符合．2．據(jù)報道，青海湖的湖水在最近50年內(nèi)削減了10%，假如按此規(guī)律，設(shè)2000年的湖水量為m，從2000年起，過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系式為(C)3．以每秒am的速度從地面垂直向上放射子彈，ts后的高度xm可由x＝at－4.9t2確定，已知5s后子彈高245m，子彈保持在245m以上(含245m)高度的時間為(B)A．4s B．5sC．6s D．7s解析：已知x＝at－4.9t2，由條件t＝5時，x＝245，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2，子彈保持在245m以上(含245m)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10.因此，子彈保持在245m以上高度的時間為5s.4．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的狀況.加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2024年5月1日12350002024年5月15日4835600注：“累計里程”指汽車從出廠起先累計行駛的路程．在這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為(B)A．6升 B．8升C．10升 D．12升解析：因為第一次(即5月1日)把油加滿，而其次次把油加滿加了48升，即汽車行駛35600－35000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量為8升，選B.5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，其次年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為(D)A.eq\f(p＋q,2) B.eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D.eq\r(p＋1q＋1)－1解析：設(shè)年平均增長率為x，原生產(chǎn)總值為a，則(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1，故選D.6．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿意函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次試驗的數(shù)據(jù)．依據(jù)上述函數(shù)模型和試驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為(B)A．3.50分鐘 B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘解析：由試驗數(shù)據(jù)和函數(shù)模型知，二次函數(shù)p＝at2＋bt＋c的圖象過點(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分別代入解析式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2，))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，所以當t＝3.75分鐘時，可食用率p最大．故選B.二、填空題7．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為20m.解析：如圖，過點A作AH⊥BC于點H，交DE于點F，易知eq\f(DE,BC)＝eq\f(x,40)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AF,AH)，又AH＝BC＝40，則DE＝AF＝x，F(xiàn)H＝40－x，則S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋400，當x＝20時，S取得最大值．故填20.8．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與貯存溫度x(單位：℃)滿意函數(shù)關(guān)系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是24小時．解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e22k＋b＝48，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eb＝192，,e11k＝\f(1,2)，))所以該食品在33℃的保鮮時間是y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小時)．9．某品牌手機銷售商今年1,2,3月份的銷售量分別是1萬部，1.2萬部，1.3萬部，為估計以后每個月的銷售量，以這三個月的銷售為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該品牌手機的銷售量y(單位：萬部)與月份x之間的關(guān)系，現(xiàn)從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或函數(shù)y＝abx＋c(b>0，b≠1)中選用一個效果好的函數(shù)進行模擬，假如4月份的銷售量為1.37萬部，則5月份的銷售量為1.375萬部．解析：由題意可知，當選用函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))∴f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，∴f(4)＝1.3；當選用函數(shù)g(x)＝abx＋c時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4，))∴g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，∴g(4)＝1.35.∵g(4)比f(4)更接近于1.37，∴選用函數(shù)g(x)＝abx＋c模擬效果較好，∴g(5)＝－0.8×0.55＋1.4＝1.375，即5月份的銷售量為1.375萬部．三、解答題10．某市“網(wǎng)約車”的現(xiàn)行計價標準是：路程在2km以內(nèi)(含2km)按起步價8元收取，超過2km后的路程按1.9元/km收取，但超過10km后的路程需加收50%的返空費(即單價為1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(1)將某乘客搭乘一次“網(wǎng)約車”的費用f(x)(單位：元)表示為行程x(0<x≤60，單位：km)的分段函數(shù)；(2)某乘客的行程為16km，他打算先乘一輛“網(wǎng)約車”行駛8km后，再換乘另一輛“網(wǎng)約車”完成余下行程，請問他這樣做是否比只乘一輛“網(wǎng)約車”完成全部行程更省錢？請說明理由．解：(1)由題意得，車費f(x)關(guān)于路程x的函數(shù)為：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8，0<x≤2，,8＋1.9x－2，2<x≤10，,8＋1.9×8＋2.85x－10，10<x≤60))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8，0<x≤2，,4.2＋1.9x，2<x≤10，,2.85x－5.3，10<x≤60.))(2)只乘一輛車的車費為：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，換乘兩輛車的車費為：2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)，因為40.3>38.8，所以該乘客換乘比只乘一輛車更省錢．——實力提升類——11．某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則本年5月份(A)A．甲食堂的營業(yè)額較高B．乙食堂的營業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個食堂的營業(yè)額較高解析：設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0)，乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x，由題意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1＝m＋4a，乙食堂的營業(yè)額y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a)，因為yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高．12．某城市出租汽車的收費標準是：起步價為6元，行程不超過2千米者均按此價收費；行程超過2千米，超過部分按3元/千米收費(不足1千米按1千米計價)；另外，遇到堵車或等候時，汽車雖沒有行駛，但仍按6分鐘折算1千米計算(不足6分鐘按1千米計價)．陳先生坐了一趟這種出租車，車費24元，車上儀表顯示等候時間為11分30秒，那么陳先生此趟行程的取值范圍是(B)A．[5,6) B．(5,6]C．[6,7) D．(6,7]解析：若按x千米(x∈Z)計價，則6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6，故實際行程應(yīng)屬于區(qū)間(5,6]．故選B.13．放射性物質(zhì)衰變過程中其剩余質(zhì)量隨時間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系改變．我們常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉硪话胨?jīng)驗的時間稱為它的半衰期，記為Teq\s\do8(\f(1,2))，現(xiàn)測得某種放射性物質(zhì)的剩余質(zhì)量A隨時間t改變的6次數(shù)據(jù)如下表：t(單位時間)0246810A(t)3202261601158057從以上記錄可知，這種元素的半衰期約為4個單位時間，剩余質(zhì)量隨時間改變的衰變公式為A(t)＝320×2eq\s\up15(－eq\f(t,4))(t≥0)．解析：從表中易知，半衰期為4個單位時間，初始質(zhì)量A0＝320，則經(jīng)過時間t的剩余質(zhì)量為A(t)＝A0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(t,4))＝320×2eq\s\up15(－eq\f(t,4))(t≥0)．14．入秋以后，某市多有霧霾天氣，空氣污染較為嚴峻．市環(huán)保探討所對近期每天的空氣污染狀況進行調(diào)查探討后發(fā)覺，每一天中空氣污染指數(shù)f(x)與時刻x(時)的函數(shù)關(guān)系為f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a為空氣治理調(diào)整參數(shù)，且a∈(0,1)．(1)若a＝eq\f(1,2)，求一天中哪個時刻該市的空氣污染指數(shù)最低；(2)規(guī)定每天中f(x)的最大值作為當天的空氣污染指數(shù)，要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過3，則調(diào)整參數(shù)a應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)？解：(1)當a＝eq\f(1,2)，f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log25x＋1－\f(1,2)))＋2，x∈[0,24]，令eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(log25x＋1－\f(1,2)))＝0，解得x＝4，因此一天中第4個時刻該市的空氣污染指數(shù)最低．(2)令t＝log25(x＋1)，則當0≤x≤24時，0≤t≤1.設(shè)g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0,1]，則g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t＋3a＋1，0≤t≤a