2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.3頻率與概率學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-10.3頻率與概率[目標(biāo)]1.了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性；2.了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)分；3.學(xué)會(huì)用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率．[重點(diǎn)]隨機(jī)事務(wù)的不確定性和頻率的穩(wěn)定性．[難點(diǎn)]頻率與概率的區(qū)分．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一頻率與概率[填一填]1．頻率的穩(wěn)定性大量試驗(yàn)表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性．一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)漸漸穩(wěn)定于事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這特性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．2．頻率與概率的區(qū)分與聯(lián)系(1)頻率是概率的近似，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率，頻率本身是隨機(jī)的試驗(yàn)前是不能確定的．(2)概率揭示隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的可能性的大小，是一個(gè)確定的常數(shù)，與試驗(yàn)的次數(shù)無(wú)關(guān)，概率可以通過(guò)頻率來(lái)測(cè)量，某事務(wù)在n次試驗(yàn)中發(fā)生了nA次，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，就將eq\f(nA,n)作為事務(wù)A發(fā)生的概率的近似值，即P(A)＝eq\f(nA,n).(3)求一個(gè)隨機(jī)事務(wù)的概率的方法是依據(jù)定義通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)用事務(wù)發(fā)生的頻率近似地作為它的概率；任何事務(wù)A的概率P(A)總介于0和1之間，即0≤P(A)≤1，其中必定事務(wù)的概率是1，不行能事務(wù)的概率是0.[答一答]1．小明說(shuō)：“做10次拋硬幣試驗(yàn)，正面對(duì)上的次數(shù)確定是5次”，這種說(shuō)法對(duì)嗎？提示：不正確．因?yàn)槊看卧囼?yàn)結(jié)果都是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定正面對(duì)上的次數(shù)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二隨機(jī)模擬[填一填]1．隨機(jī)模擬產(chǎn)生的緣由用頻率估計(jì)概率，須要做大量的重復(fù)試驗(yàn)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)勁，甚至難以實(shí)現(xiàn)．2．隨機(jī)模擬的方法利用計(jì)算器或計(jì)算軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)(依據(jù)不同的隨機(jī)試驗(yàn)構(gòu)建相應(yīng)的隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn))．[答一答]2．用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)(蒙特卡洛法)的步驟是什么？提示：①用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并給予每個(gè)隨機(jī)數(shù)確定的意義；②統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；③計(jì)算頻率fn(A)＝eq\f(M,N)作為所求概率的近似值.典例講練破題型類型一頻率與概率的理解[例1](1)請(qǐng)班內(nèi)四位同學(xué)依次、分別拋擲一枚硬幣20次，其他同學(xué)觀看并且記錄硬幣正面朝上的次數(shù)，比較他們的結(jié)果一樣嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的狀況？(2)歷史上曾有人作過(guò)拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果如下表所示：拋擲次數(shù)正面對(duì)上的次數(shù)正面對(duì)上的比例204810610.5181404020480.50691200060190.5016(續(xù)表)拋擲次數(shù)正面對(duì)上的次數(shù)正面對(duì)上的比例24000120120.500530000149840.499572088361240.5011在上述拋擲硬幣的試驗(yàn)中，你會(huì)發(fā)覺(jué)怎樣的規(guī)律？(3)在拋擲硬幣試驗(yàn)中，把正面對(duì)上的比例稱作正面對(duì)上的頻率，你能給頻率下個(gè)定義嗎？(4)拋擲硬幣試驗(yàn)表明，正面朝上在每次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不能預(yù)知的，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)后，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，正面朝上發(fā)生的頻率呈現(xiàn)出確定的規(guī)律性，這個(gè)規(guī)律性是如何體現(xiàn)出來(lái)的？(5)在相同條件下，事務(wù)A在先后兩次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率fn(A)是否確定相等？事務(wù)A在先后兩次試驗(yàn)中發(fā)生的概率P(A)是否確定相等？[解](1)通過(guò)實(shí)際比較可知一樣的可能性小，因?yàn)閽仈S硬幣是隨機(jī)事務(wù)，在每一次拋擲前不知道拋擲后會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果，因此四位同學(xué)的結(jié)果一樣的可能性比較?。?2)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)許多時(shí)，出現(xiàn)正面的比例在0.5旁邊搖擺．(3)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(4)事務(wù)A發(fā)生的頻率趨于穩(wěn)定，在某個(gè)常數(shù)旁邊搖擺．(5)頻率具有隨機(jī)性，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)，事務(wù)A發(fā)生的頻率可能不相同；概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)．[變式訓(xùn)練1]李老師在某高校連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來(lái)的考試成果分布：成果人數(shù)90分以上4380分～89分18270分～79分260(續(xù)表)成果人數(shù)60分～69分9050分～59分6250分以下8經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級(jí)的學(xué)生王小慧下學(xué)期將選修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)她得以下分?jǐn)?shù)的概率(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)．(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．解：總?cè)藬?shù)為43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，依據(jù)公式可計(jì)算出選修李老師的高等數(shù)學(xué)課的人的考試成果在各個(gè)段上的頻率依次為：eq\f(43,645)≈0.067，eq\f(182,645)≈0.282，eq\f(260,645)≈0.403，eq\f(90,645)≈0.140，eq\f(62,645)≈0.096，eq\f(8,645)≈0.012.用已有的信息，可以估計(jì)出王小慧下學(xué)期選修李老師的高等數(shù)學(xué)課得分的概率如下：(1)A＝“90分以上”，則P(A)≈0.067；(2)B＝“60分～69分”，則P(B)≈0.140；(3)C＝“60分以上”，則P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.類型二利用頻率估計(jì)概率[例2]下表中列出了10次拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果．n為拋擲硬幣的次數(shù)，m為硬幣正面朝上的次數(shù)，計(jì)算每次試驗(yàn)中“正面朝上”這一事務(wù)的頻率，并估算它的概率.[分析]先利用頻率的計(jì)算公式依次計(jì)算頻率，然后用頻率估計(jì)概率．[解]由fn(A)＝eq\f(m,n)可得出這10次試驗(yàn)中“正面朝上”這一事務(wù)出現(xiàn)的頻率依次為0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，這些數(shù)字在0.5左右搖擺，由概率的統(tǒng)計(jì)定義可得，“正面朝上”的概率為0.5.頻率是事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值，利用此公式可求出它們的頻率.頻率本身是隨機(jī)變量，當(dāng)n很大時(shí)，頻率總是在一個(gè)穩(wěn)定值旁邊搖擺，這個(gè)穩(wěn)定值就是概率.[變式訓(xùn)練2]一個(gè)地區(qū)從某年起4年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下表所示：時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892(1)計(jì)算男嬰誕生的頻率(保留4位小數(shù))；(2)這一地區(qū)男嬰誕生的概率約是多少？解：(1)計(jì)算eq\f(m,n)即得男嬰誕生的頻率依次約是0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.(2)由于這些頻率特別接近0.5173，因此，這一地區(qū)男嬰誕生的概率約為0.5173.類型三利用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率[例3]已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率低于40%，現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為()A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15[解析]由題意知模擬三次投籃的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示三次投籃恰有兩次命中的有191,271,932,812,393，共5組隨機(jī)數(shù)，∴所求概率為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)＝0.25.[答案]B用整數(shù)隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)估計(jì)概率時(shí)，首先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪些數(shù)代表不同的試驗(yàn)結(jié)果.我們可以從以下三個(gè)方面考慮：1當(dāng)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)等可能時(shí)，樣本點(diǎn)總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)樣本點(diǎn)；2探討等可能事務(wù)的概率時(shí)，用按比例安排的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù)；3當(dāng)每次試驗(yàn)結(jié)果須要n個(gè)隨機(jī)數(shù)表示時(shí)，要把n個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組來(lái)處理，此時(shí)確定要留意每組中的隨機(jī)數(shù)字能否重復(fù).[變式訓(xùn)練3]已知某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率都為80%.現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員4次射擊至少3次擊中目標(biāo)的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1，表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)；再以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表4次射擊的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281據(jù)此估計(jì)，該射擊運(yùn)動(dòng)員4次射擊至少3次擊中目標(biāo)的概率為(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(4,5)解析：∵4次射擊中有2次及以上未擊中目標(biāo)的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概率為1－eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．有下列兩個(gè)命題：(1)拋擲100次硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率為0.4，則硬幣正面對(duì)上的次數(shù)為40次；(2)若一批產(chǎn)品的次品率為0.1，則此該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，確定會(huì)有10件次品．以下推斷正確的是(C)A．(1)錯(cuò)；(2)錯(cuò) B．(1)錯(cuò)；(2)正確C．(1)正確；(2)錯(cuò) D．(1)正確；(2)正確解析：在命題(1)中，依據(jù)題設(shè)條件可干脆求得硬幣正面對(duì)上的此時(shí)為40次，故(1)正確．在命題(2)中次品率為0.1，不等于100件產(chǎn)品中確定有10件次品，故(2)是錯(cuò)誤的，故應(yīng)選C.2．在一次摸彩票中獎(jiǎng)活動(dòng)中，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為10000元，某人摸中一等獎(jiǎng)的概率是0.001，這是指(C)A．這個(gè)人抽1000次，必有1次中一等獎(jiǎng)B．這個(gè)人每抽一次，就得獎(jiǎng)金10000×0.001＝10元C．這個(gè)人抽一次，抽中一等獎(jiǎng)的可能性是0.001D．以上說(shuō)法都不正確解析：摸一次彩票相當(dāng)于做一次試驗(yàn)，某人摸中一等獎(jiǎng)的概率是0.001，只能說(shuō)明這個(gè)人抽一次，抽中一等獎(jiǎng)的可能性是0.001，而不能說(shuō)這個(gè)人抽1000次，必有1次中一等獎(jiǎng)，也不能說(shuō)這個(gè)人每抽一次，就得獎(jiǎng)金10000×0.001＝10(元)，因此選C.3．某人將一枚硬幣連擲10次，正面朝上的狀況出現(xiàn)了8次，若用A表示“正面朝上”這一事務(wù)，則A的(B)A．概率為eq\f(4,5) B．頻率為eq\f(4,5)C．頻率為8 D．概率接近于8解析：做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事務(wù)A發(fā)生了m次，則事務(wù)A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n).假如多次進(jìn)行試驗(yàn)，事務(wù)A發(fā)生的頻率總在某個(gè)常數(shù)旁邊搖擺，那么這個(gè)常數(shù)才是事務(wù)A的概率．故eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)為事務(wù)A的頻率．4．天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為40%，某部門通過(guò)設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法探討三天中恰有兩天下雨的概率，先利用計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1,2,3,4表示下雨，其余6個(gè)數(shù)字表示不下雨．產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989則這三天中恰有兩天降雨的概率約為eq\f(1,4).解析：在20組隨機(jī)數(shù)中表示三天中恰有兩天下雨的有191,271,932,812,393，共有5組隨機(jī)數(shù)，∴概率約為eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).5．某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果如下表.(1)請(qǐng)完成上述表格(保留3位小數(shù))；(2)該油菜