新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)思想01 函數(shù)與方程思想（講）（原卷版）

第三篇思想方法篇思想01函數(shù)與方程思想（講）考向速覽方法技巧典例分析1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系,是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí),建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題,從而使問題獲得解決的思想方法.(2)方程思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題,使問題獲得解決的思想方法.(3)函數(shù)與方程思想在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，是相輔相成的．函數(shù)思想重在對(duì)問題進(jìn)行動(dòng)態(tài)的研究，方程思想則是在動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系.方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān):方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo);函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過方程進(jìn)行研究;方程f(x)=a有解,當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要.2.高考把函數(shù)與方程思想作為思想方法的重點(diǎn)來考查,特別是在有關(guān)函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解析幾何、平面向量、立體幾何等題目中.高考使用客觀題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算,而在主觀題中,則從更深的層次,在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處,從思想方法與相關(guān)能力相結(jié)合的角度深入考查.3.常見方法：（1）運(yùn)用函數(shù)相關(guān)概念的本質(zhì)解題在理解函數(shù)的定義域、值域、性質(zhì)等本質(zhì)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)、準(zhǔn)確地運(yùn)用它們解答問題．常見問題有：求函數(shù)的定義域、解析式、最值，研究函數(shù)的性質(zhì)．（2）利用函數(shù)性質(zhì)求解方程問題函數(shù)與方程相互聯(lián)系，借助函數(shù)的性質(zhì)可以解決方程解的個(gè)數(shù)及參數(shù)取值范圍的問題．（3）構(gòu)造函數(shù)解決一些數(shù)學(xué)問題在一些數(shù)學(xué)問題的研究中，可以通過建立函數(shù)關(guān)系式，把要研究的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的效果.01函數(shù)與方程思想在方程、不等式中的應(yīng)用【核心提示】1.函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式．2.含參不等式恒成立與存在性問題函數(shù)(方程)法是指通過構(gòu)造函數(shù)，把恒成立問題與轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題，從而得到關(guān)于參數(shù)的方程的方法．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①靈活轉(zhuǎn)化：（1）“關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立”轉(zhuǎn)化為“SKIPIF1<0”；“關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立”轉(zhuǎn)化為“SKIPIF1<0”；（2）“關(guān)于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”轉(zhuǎn)化為“SKIPIF1<0”；“關(guān)于存在SKIPIF1<0使得不等式SKIPIF1<0成立”轉(zhuǎn)化為“SKIPIF1<0”；②求函數(shù)值域，利用函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)、圖象等求函數(shù)的值域；③得出結(jié)論，列出參數(shù)SKIPIF1<0所滿足的方程，通過解方程，求出SKIPIF1<0的值．【典例分析】典例1.（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，若對(duì)任意SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.【多選題】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃┫铝胁坏仁匠闪⒌氖牵?/p>

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<002函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用【核心提示】數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)；等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本量的計(jì)算一般化歸為方程(組)來解決.【典例分析】典例4.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對(duì)任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0的值是（）A．10 B．20 C．30 D．40典例5.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是__________.典例6.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和．證明：SKIPIF1<0．03函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用【核心提示】1.解析幾何中求斜率、截距、半徑、點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率等幾何量經(jīng)常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，可以通過轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式進(jìn)行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值，用函數(shù)的思想分析解答.2.直線與圓錐曲線的綜合問題，通常借助根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，這是方程思想在解析幾何中的重要應(yīng)用．解析幾何問題的方程(函數(shù))法可以拓展解決解析幾何問題的思維，通過代數(shù)運(yùn)算、方程判定等解決解析幾何中的位置關(guān)系、參數(shù)取值等問題．【典例分析】典例7.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)B是橢圓SKIPIF1<0的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2典例8.（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）卵圓是常見的一類曲線，已知一個(gè)卵圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為卵圓上任意一點(diǎn)，則下列說法中正確的是________.①卵圓SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱②卵圓上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線SKIPIF1<0對(duì)稱③線段SKIPIF1<0長(zhǎng)度的取值范圍是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<0典例9.（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點(diǎn)的距離的最小值為SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩條切線，SKIPIF1<0是切點(diǎn)，求SKIPIF1<0面積的最大值．04函數(shù)與方程思想在立體幾何中的應(yīng)用【核心提示】立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決．【典例分析】典例10.（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例11.（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例12.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若四面體ABCD的體積為SKIPIF1<0，則四面體ABCD外接球的表面積的最小值為______．05函數(shù)與方程思想在平面向量中的應(yīng)用【核心提示】1.平面向量問題的函數(shù)(方程)法是把平面向量問題，通過模、數(shù)量積等轉(zhuǎn)化為關(guān)于相應(yīng)參數(shù)的函數(shù)(方程)問題，從而利用相關(guān)知識(shí)結(jié)合函數(shù)或方程思想來處理有關(guān)參數(shù)值問題．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①向量代數(shù)化，利用平面向量中的模、數(shù)量積等結(jié)合向量的位置關(guān)系、數(shù)量積公式等進(jìn)行代數(shù)化，得到含有參數(shù)的函數(shù)(方程)；②代數(shù)函數(shù)(方程)化，利用函數(shù)(方程)思想，結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)(方程)的性質(zhì)求解問題；③得出結(jié)論，根據(jù)條件建立相應(yīng)的關(guān)系式，并得到對(duì)應(yīng)的結(jié)論．2.平面向量中含函數(shù)(方程)的相關(guān)知識(shí)，對(duì)平面向量的模進(jìn)行平方處理，把模問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題，再利用函數(shù)與方程思想來分析與處理，這是解決此類問題一種比較常見的思維方式．【典例分析】典例13.（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．P為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例14.【多選題】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無板壁封擋，便于從各個(gè)位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0典例15.（2023秋·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形SKIPIF1<0中，P是對(duì)角線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________，若點(diǎn)M為線段SKIPIF1<0（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為__________．06函數(shù)與方程思想在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用【核心提示】利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，尤其是生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)問題，其實(shí)與一般的應(yīng)用題在本質(zhì)上沒有什么不同，只是因?yàn)閭€(gè)別因素由確定變量變成不確定變量，從而導(dǎo)致結(jié)果的不確定性，所以才需要作決策優(yōu)化，拋開概率的煙霧彈，其實(shí)題目反映的都是最簡(jiǎn)單的公式（比如利潤(rùn)=收入—成本），所以面對(duì)復(fù)雜題目要學(xué)會(huì)審題，還是要回歸常識(shí).【典例分析】典例16.（2023春·山西晉城·高三?？茧A段練習(xí)）已知小李每天在上班路上都要經(jīng)過甲、乙兩個(gè)路口，且他在甲、乙兩個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為SKIPIF1<0.記小李在星期一到星期五這5天每天上班路上在甲路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為SKIPIF1<0，在甲、乙這兩個(gè)路口遇到紅燈個(gè)數(shù)之和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次紅燈的概率的最大值為SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0典例17.（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考期末）在概率論中常用散度描述兩個(gè)概率分布的差異.若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的取值集合均為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的散度SKIPIF