廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

廣東省深圳市光明區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知A(?1，0)，B(2，3A．π6 B．π3 C．2π32．已知橢圓方程為2xA．4 B．42 C．8 D．3．已知空間中兩條不同的直線m，n，其方向向量分別為a，b，則“a，b共線”是“直線m，n平行”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知圓C1：x2+y2?2mx+m2?36=0與圓CA．±22 B．±3 C．±235．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．55 B．255 C．26．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若A．150 B．120 C．75 D．687．已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，與x軸平行的直線與l和C分別交于A，B兩點(diǎn)，若直線BF的斜率為3，則A．4 B．22或4 C．4或43 8．已知直線l過(guò)雙曲線C：x2?y24=1的左焦點(diǎn)F，且與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，若A．±102 B．±132 C．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．下列命題說(shuō)法正確的有（）A．已知直線l1：mx+2y?2=0與直線l2：5x+(m+3)y?5=0，若l1//B．點(diǎn)(5，0)關(guān)于直線y=x+1C．直線kx+(k+1)y?3k?1=0過(guò)定點(diǎn)(D．過(guò)點(diǎn)P(1，2)且在x軸，y10．如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1DA．|BD1|=2C．CO1//平面A11．對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列{an}，定義Gn=a1+3a2+9a3+???+3A．?dāng)?shù)列{aB．?dāng)?shù)列{aC．SD．記bn=(312．已知點(diǎn)M(?1，0)在拋物線C：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線上，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線l交C于A．拋物線C的方程是y2=4x C．當(dāng)AF=2FB時(shí)，|AB|=9 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．雙曲線y24?14．已知數(shù)列{an}滿足：a1=0，an+115．已知平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(2，0)，B(4，0)的距離分別為|PA|和|PB|，且|PA||PB|=12，則點(diǎn)16．設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．如圖，在正四棱柱ABCD?A（1）證明：平面ACD1⊥（2）求直線BB1與平面18．已知△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程2x?y?5=0，AC邊上的高為BH，垂足（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程．19．記Sn為數(shù)列{an（1）若{an}為等差數(shù)列，滿足3（2）已知an>0，a2=3a20．已知圓C的圓心在直線y=2x上且與x軸相切，圓C被直線x+y?1=0截得的弦長(zhǎng)為4．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）從圓C外一點(diǎn)P向圓C引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|PM|=|PO|，求|PM|的最小值．21．在如圖所示的多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，在梯形ABEF中，AF//BE，AF⊥AB，AB=BE=2AF=2，平面ABEF⊥平面ABCD.（1）證明：BD⊥CF；（2）若直線BC與平面ACF所成的角為60°，M為棱BE上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），試探究BE上是否存在一點(diǎn)M，使得平面ACF與平面CFM夾角的余弦值為14？若存在，求出BM22．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(?2，（1）求橢圓C的方程；（2）若矩形MNPQ各邊均與橢圓C相切，

①證明：矩形MNPQ的對(duì)角線長(zhǎng)為定值；

②求矩形MNPQ周長(zhǎng)的最大值

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)锳(?1，0)，B(2，3)，所以kAB故答案為：A.【分析】根據(jù)直線的斜率公式求斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求解即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程x28+y2故答案為：B.【分析】將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求短軸長(zhǎng)即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)橹本€m，n是空間中兩條不同的直線，所以向量a，b→共線時(shí)，直線m，n若直線m，n平行，則向量a，b共線，故必要性成立；綜上，“a，b共線”是“直線m，n平行”的充分必要條件.故答案為：C.【分析】根據(jù)充分必要條件的概念判斷即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：易知C1(m,0)，r1=6，C2(0故答案為：C.【分析】根據(jù)公切線的條數(shù)確定兩圓的位置關(guān)系，列式求解即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則B(1,AB設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為n即y+z=0?x+12z=0，令則點(diǎn)B到平面AB1E故答案為：C.【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量求法求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}等差數(shù)列，a7+a8故答案為：D.【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式計(jì)算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：拋物線C：y2=4x的2p=4,p2直線BF的方程為y=3(x?1)，聯(lián)立y=3(x?1)y解得xB=3或所以|AB|=xB+故答案為：C.【分析】先求得直線BF的方程，再聯(lián)立方程組求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，最后根據(jù)拋物線的性質(zhì)求|AB|的值即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)A(x1,y1),兩式相減并化簡(jiǎn)得y1+y當(dāng)kAB>0時(shí)，設(shè)直線AB的傾斜角為△OFP是以FP為底邊的等腰三角形，所以∠POx=2α，所以kOP則4k根據(jù)對(duì)稱性可知，當(dāng)kAB<0時(shí)，綜上所述，直線l的斜率為±6故答案為：D.【分析】設(shè)A(x1,9．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、當(dāng)m=2時(shí)，直線l1：2x+2y?2=0與直線l2：B、以點(diǎn)(5,0)與(?1又過(guò)點(diǎn)(5,0)與(?1因此點(diǎn)(5,0)與C、直線kx+(k+1)y?3k?1=0化為：(x+y?3由x+y?3=0y?1=0，解得x=2y=1，因此直線kx+(k+1)y?3k?1=0過(guò)定點(diǎn)D、過(guò)點(diǎn)P(1,2)且在x軸，y軸上的截距相等的直線可以過(guò)原點(diǎn)，其方程為故答案為：BC.【分析】取值驗(yàn)證即可判斷A；利用對(duì)稱驗(yàn)證即可判斷B；求出直線過(guò)的定點(diǎn)即可判斷C；求出符合條件的直線即可判斷D.10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：設(shè)AB=a,AD=b,A、根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得BD則|B所以|BD1B、由DO1=則D=1C、如圖所示，連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接A1可得O,O1分別為AC,A所以四邊形OCO1A因?yàn)镺1C?平面A1BD，且A1O?平面D、由AC可得AC所以AC1⊥故答案為：ACD.【分析】設(shè)AB=11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：依題意Gna1+3當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3①-②得3n?1當(dāng)n=1時(shí)上式也符合，所以anan+1?aSn=3+2n+1bnb1當(dāng)n≥3時(shí)，bn+1bn34<34(1+22n+1)≤27故答案為：ABD.【分析】根據(jù)已知條件，求得an12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因?yàn)辄c(diǎn)M(?1,0)在拋物線C：y2又拋物線C：y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線方程x=?p2，所以?p2=?1B、因?yàn)閽佄锞€C的方程是y2=4x，所以焦點(diǎn)設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入y2=4x，得y2C、因?yàn)锳F=2FB，AF=(1?x1,?y1又因?yàn)閥12=4x1y2D、因?yàn)橹本€l的方程為x=my+1，所以x1=my1+1，x2=m所以kAM+kBM=y1my1+2+y2my2故答案為：ABD.【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)即可判斷A；利用拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)即可判斷B；利用拋物線定義及共線向量的坐標(biāo)關(guān)系即可判斷C；利用拋物線的對(duì)稱性即可判斷D.13．【答案】y=±【解析】【解答】解：令y24?x2故答案為：y=±2【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程的求法求解即可.14．【答案】n(n?1)2【解析】【解答】解：因?yàn)閿?shù)列{an}滿足：a故an=aa1=0也適合該式，故故答案為：n(n?1)2【分析】由題意利用累加法求解即可.15．【答案】[【解析】【解答】解：設(shè)P(x,兩邊平方得(x?2)2則點(diǎn)P在以(43,故圓心(43,0)到直線則點(diǎn)P到直線3x?4y+6=0的距離d的取值范圍為[2故答案為：[2【分析】先求得點(diǎn)P的軌跡為圓，再利用圓的性質(zhì)即可求得點(diǎn)P到直線3x?4y+6=0的距離d的取值范圍即可.16．【答案】(【解析】【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)Q(c,a2b2a2因?yàn)閨PF1|+|PQ|=2a+|PQ|?|PF2由于橢圓上存在點(diǎn)P使得|PF1|+|PQ|<32綜上所述，離心率的取值范圍是(1故答案為：(1【分析】根據(jù)Q在橢圓內(nèi)部，結(jié)合橢圓的定義列不等式，化簡(jiǎn)求得橢圓離心率的取值范圍即可.17．【答案】（1）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，C(0，2，∵AC?BD1=4?4+0=0，∴AC⊥BD1，即AC⊥BD1.

同理可得：AC⊥BD，又因?yàn)锽D∩BD1=B，

所以???????（2）解：由（1）得AC=(?2，2設(shè)平面ACD1的一個(gè)法向量為n令x=2，得n=(2，2設(shè)直線CC1與平面ACD1所成角為所以直線CC1與平面ACD【解析】【分析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明AC⊥BD1，（2）由（1）得AC=(?2，218．【答案】（1）解：由△ABC的頂點(diǎn)A(5，1)，AC邊上的高為BH，垂足H(275，15)，kAC=kAH=1?155?275=?2，

因?yàn)椤鰽BC的頂點(diǎn)A(5，1（2）解：由AC邊上的高為BH，可得kAC?kBH=?1，

所以kBH=12，垂足H(275，15).

邊AC上的高BH所在直線方程為y?15=12(x?275)，即x?2y?5=0，

因?yàn)镃M所在直線方程為2x?y?5=0，設(shè)點(diǎn)M(m，2m?5)，

因?yàn)镸是AB中點(diǎn)，A(5，1)，

所以B(2m?5，4m?11)，

因?yàn)椤窘馕觥俊痉治觥浚?）由題意求得直線AC的方程，再與中線CM所在直線方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)BH為AC邊上的高寫出BH的直線方程，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)滿足BH的直線方程，由點(diǎn)B的坐標(biāo)表示出AB的中點(diǎn)M，又點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足直線CM方程，從而解出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再寫出直線BC的方程即可.19．【答案】（1）解：由3S5=5S3（2）證明：設(shè)數(shù)列{Sn}的公差為d(d為常數(shù))，

∵{Sn}是等差數(shù)列，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?Sn?1=d，

∴d=S2?S1=a1+a2?a1=a1+3a1?a1=a1，【解析】【分析】（1）由題意，利用等差數(shù)列的求和公式列式，即可求得公差d的值；（2）設(shè)數(shù)列{Sn}的公差為d(d為常數(shù))，利用已知條件求得數(shù)列{20．【答案】（1）解：圓心在y=2x上，設(shè)圓心C(a,2a)，則圓方程為(x?a)2+(y?2a)2=4a2，

又因?yàn)閳A心到直線x+y?1=0距離d=|3a?1|2，被截得弦長(zhǎng)為（2）解：因?yàn)閨PM|2=|PC|2?|MC|2，又因?yàn)閨PM|=|PO|，

所以|PO|2=|PC|2?36，

設(shè)P(x，y)，則x2+y2=(x?3)2+(y?6)2?36，即2x+4y?3=0，

所以P【解析】【分析】（1）設(shè)圓心C(a,2a),a≠0，半徑為|2a|，則圓方程為（2）由|PM|=|PO|，得點(diǎn)P的軌跡方程2x+4y?3=0，將|PM|的最小值轉(zhuǎn)化為|PO|的最小值，即O點(diǎn)到直線2x+4y?3=0的距離為所求.21．【答案】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，AF?平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，故AF⊥BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BD⊥AC，又AF∩AC=A，AF，AC?平面ACF，所以BD⊥平面ACF，

從而有BD⊥CF；（2）解：設(shè)AC∩BD=O，由（1）可知，DO⊥平面ACF，則直線DA在面ACF內(nèi)的射影為OA，故直線DA與平面ACF所成的角為∠DAO，∴∠DAO=60°，△ACD和△ACB均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由BD⊥平面ACF，可得平面ACF的法向量為n1而C(1，0，0)，F(xiàn)(?1設(shè)BM=t（0<t<2），則M(0，3，t)，設(shè)平面CEF的法向量n2=(x，取x=3，可得z=23，y=1?2t，故所以平面ACF與平面CEF夾角的余弦值為|cos?n解得：t=1或0（舍去），

所以存在一點(diǎn)M使得平面ACF與平面CFM夾角的余弦值為14，

此時(shí)BM【解析】【分析