數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1。3。3函數(shù)y=Asin（ωx+φ)的圖象5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類(lèi)訓(xùn)練，可用于課前)1。函數(shù)y=sin（-3x+）的圖象作適當(dāng)變動(dòng)就可以得到y(tǒng)=sin（-3x）的圖象，這種變動(dòng)可以是(）A.沿x軸方向向右平移個(gè)單位B.沿x軸方向向左平移個(gè)單位C。沿x軸方向向右平移個(gè)單位D.沿x軸方向向左平移個(gè)單位思路解析：方法一（直接法)：由函數(shù)y=sin（—3x+)=sin［-3（x—)]的圖象變換到函數(shù)y=sin（-3x）=sin[-3(x）］的圖象，按照“左加右減"的原則，只需沿x軸方向向左平移個(gè)單位即可.方法二（逆變換）：由函數(shù)y=sin（-3x）=sin［-3（x）］的圖象得到函數(shù)y=sin（—3x+）=sin［-3（x-）］的圖象，需將原圖沿x軸方向向右平移個(gè)單位.所以反過(guò)來(lái)說(shuō)，此問(wèn)題的答案應(yīng)該是D.答案:D2.如圖1—3—圖1A。sin（1+x）B。sin(-1—x）C.sin（x-1）D.sin(1-x）思路解析：“排除法"。根據(jù)所給圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0），排除選項(xiàng)A、B,又當(dāng)x=0時(shí)，y＞0，所以排除C項(xiàng)，選D項(xiàng)?！爸苯臃ā?。下圖可以看作是由y=sin(—x）=—sinx的圖象向右平移1個(gè)單位得到，所以所求解析式為y=sin［—(x-1）］=sin（1—x）.選D項(xiàng).答案：D3.為了得到函數(shù)y=sin（2x—）的圖象,可以將函數(shù)y=cos2x的圖象（）A。向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B。向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D。向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度思路解析：y=cos2x=sin(2x+）=sin［2（x+）—].答案：B10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類(lèi)訓(xùn)練，可用于課中）1.（2004遼寧）已知函數(shù)f(x）=sin（πx-)—1,則下列命題正確的是()A。f(x)是周期為1的奇函數(shù)B。f(x)是周期為2的偶函數(shù)C.f(x）是周期為1的非奇非偶函數(shù)D.f(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù)思路解析:f(x）=sin(πx—）—1=—cosπx—1,所以T=2,且f（x)=f（-x）.答案：D2。(2004全國(guó)卷Ⅱ）為了得到函數(shù)y=sin（2x—)的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象()A。向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B。向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C。向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度思路解析：∵y=sin（2x-）=cos［—(2x-)］=cos（-2x)=cos（2x-）=cos[2（x-)]，∴將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度。答案：B3。函數(shù)y=3sin(x+)的周期、振幅依次是（)A．4π,3B。4π，—3C。π,3D.π,—思路解析：考查y=Asin（ωx+φ)（A>0，ω>0)的振幅和最小正周期的概念,以及最小正周期的計(jì)算公式。由y=3sin(x+）得振幅A=3，周期T=4π.答案：A4.已知函數(shù)y=3sin(x-)。（1）用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象；（2）說(shuō)出此圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到的；（3）求此函數(shù)的周期、振幅、初相。思路解析：對(duì)于y=Asin（ωx+φ)+h，應(yīng)明確A、ω決定“形變”，φ、h決定“位變”,A影響值域，ω影響周期,A、ω、φ影響單調(diào)性。當(dāng)選用“先伸縮，后平移"的變化順序時(shí)，一定要注意針對(duì)x的變化,向左或向右平移個(gè)單位.解:(1）（2)“先平移，后伸縮”.先把y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（x—）的圖象;再把y=sin(x—)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=sin（x-）的圖象；最后將y=sin（x—）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變),就得到y(tǒng)=3sin(x-)的圖象。(3)略.5.已知受噪聲干擾的正弦波信號(hào)的相關(guān)信號(hào)圖形如圖1—圖1-3此圖可以視為函數(shù)y=Asin（ωx+φ)（A〉0，ω〉0，|φ｜<)圖象的一部分，試求出其解析式。思路解析：本題屬于由函數(shù)圖象求解析式的題型。一般解題方法是：先根據(jù)圖象找到振幅，即求A的值；根據(jù)所給關(guān)鍵點(diǎn)確定函數(shù)周期，再利用周期公式T=，從而求出ω的值；在求初相φ時(shí),確定圖象的關(guān)鍵點(diǎn)是第幾個(gè)是非常重要的,代入x0，使ωx0+φ等于對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵點(diǎn)橫坐標(biāo)的值，如第一關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)應(yīng)0,第二關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)應(yīng)……解：已知信號(hào)最大、最小的波動(dòng)幅度為6和—6，所以A=6。又根據(jù)圖象上相鄰兩點(diǎn)的坐標(biāo)為和,間距相當(dāng)于y=Asin（ωx+φ）的圖象的半個(gè)周期，∴T=2(—)=π.∵T=,∴T==π.解得ω=2。觀察圖象，點(diǎn)(,0）是五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)中的第三個(gè)點(diǎn),∴×2+φ=π。解得φ=。綜上所述，y=6sin（2x+)。6。已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A〉0，ω〉0，｜φ｜〈）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖（如圖1-3-6）。求其相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并說(shuō)明它是由y=sinx經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的.圖1-3-6思路解析：應(yīng)求出A、ω、φ，觀察圖象易知振幅A=2；周期T=—（-）=π=，從而求得ω;對(duì)于φ,只需將點(diǎn)(-，0）代入解析式即可通過(guò)解方程獲得.給出正弦函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，求它的解析式,常采用待定系數(shù)法.求解的一般步驟是：（1）設(shè)函數(shù)的解析式為y=Asin（ωx+φ）+k；（2）觀察圖象的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，設(shè)其縱坐標(biāo)分別為M、m，則A=，k=；（3）由始點(diǎn)與終點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0、x1，求周期即T=x1-x0；（4）依公式ω=，求出ω；（5)通過(guò)圖象的平移或“五點(diǎn)法”作圖的過(guò)程求φ.解:因?yàn)門(mén)=—（-)=π=，所以ω=2.又易知A=2,所以y=2sin（2x+φ）.將點(diǎn)（—，0）代入上式得0=2sin［2×（—）+φ］，即sin（φ—）=0.由|φ｜〈得φ=，所以y=2sin(2x+）.它的圖象可由y=sinx的圖象作如下變換得到：y=sinxy=sin(x+)y=sin（2x+）y=2sin（2x+）。志鴻教育樂(lè)園耳誤一小伙子騎自行車(chē)為了裝酷，把雙后脫離了車(chē)把，路過(guò)岔路口時(shí)被交警看見(jiàn)。交警想讓這個(gè)小伙子雙手掌握好方向，就沖他喊了一聲：“手掌好！”小伙子開(kāi)始一愣，隨后就揚(yáng)了揚(yáng)他的左手，對(duì)交警說(shuō)：“同志們辛苦了！”30分鐘訓(xùn)練（鞏固類(lèi)訓(xùn)練，可用于課后）1。函數(shù)y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ等于（）A.0B.C。D.π思路解析:把函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位即可.答案：C2。(2005天津)要得到y(tǒng)=cosx的圖象，只需將函數(shù)y=2sin(x+)的圖象上所有點(diǎn)的()A。橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)π個(gè)單位長(zhǎng)度B.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)π個(gè)單位長(zhǎng)度C。橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D。橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度思路解析：y=cosx的周期是y=sin(2x+）的周期的2倍，從周期的變化上知道橫坐標(biāo)應(yīng)該伸長(zhǎng).排除A、B。y=sin(2x+)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)2倍后變成了y1=sin(x+)，將y=cosx化成正弦形式為y2=sin(x+)，根據(jù)口訣“左加右減”得y2由y1向左移動(dòng)個(gè)單位得到的。答案:C3.(2005福建)函數(shù)y=sin（ωx+φ)(x∈R,ω>0，0≤φ〈2π)的部分圖象如圖1—圖1-3A.ω=，φ=B.ω=,φ=C。ω=，φ=D。ω=,φ=思路解析:由圖易知＝2，∴T=8.而T＝=8，∴ω=。排除A、B.∴函數(shù)y=sin（ωx+φ）顯然φ＝滿足sin（×1+)=1.而φ＝，則sin（×1+）＝—1。排除D.答案：C4.(2005上海)函數(shù)f（x）=sinx+2｜sinx|，x∈[0,2π］的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是_______________.思路解析:對(duì)于帶有絕對(duì)值的函數(shù),首先應(yīng)該分區(qū)間分別寫(xiě)出解析式.畫(huà)出圖象,可以看出有不同個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的范圍.f(x）=從圖象可以看出直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)1<k<3。答案：1〈k〈35。正弦函數(shù)f（x)=Asin（ωx+φ）+k的定義域?yàn)镽，周期為，初相為，值域?yàn)閇—1，3］，則f（x）=_______________.思路解析：根據(jù)正弦函數(shù)f(x）=Asin（ωx+φ）+k的最大值和最小值與A和k的關(guān)系，可求出A和k,從而可得出f（x）的表達(dá)式。答案：2sin（3x+)+16。函數(shù)y=sin（2x-）,當(dāng)x=_______________時(shí)，取最小值。思路解析：根據(jù)函數(shù)y=sin（2x—）的最小值是—，解方程sin（2x-）=-．答案：kπ—（k∈Z）7。將函數(shù)y=sinx的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的一半，然后把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的5倍，最后把整個(gè)圖象向下平移4個(gè)單位,則所得圖象的解析式為_(kāi)____.答案:y=5sin（2x-）-48.若函數(shù)y=f（x）的圖象上每點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再將整個(gè)圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，沿y軸向下平移1個(gè)單位，得到的曲線與y=sinx的圖象相同.求y=f(x）。解法一:y=sinxsinx+1sin（x—)+1sin（2x—）+1，這就是函數(shù)y=f（x)的解析式。解法二：設(shè)y=Asin（ωx+φ)+1,