2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國版)專題14二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（39題）含答案及解析

專題14二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（39題）一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東廣州·中考真題）函數(shù)與的圖象如圖所示，當（

）時，，均隨著的增大而減?。瓵． B． C． D．3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·四川達州·中考真題）拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2024·陜西·中考真題）已知一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值如下表，x…035…y…0…則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．圖象的開口向上 B．當時，y的值隨x的值增大而增大C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限 D．圖象的對稱軸是直線7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．8．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．9．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（

）①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．411．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當時，隨的增大而減小；③若的一個根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④12．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的圖象與軸交于點，對稱軸是直線，有以下結(jié)論：①；②若點和點都在拋物線上，則；③（為任意實數(shù)）；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個13．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．414．（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（

）A．可以找到一個實數(shù)，使得 B．無論實數(shù)取什么值，都有C．可以找到一個實數(shù)，使得 D．無論實數(shù)取什么值，都有15．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2C．當時，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是316．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)取得最大值；當時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論中：①

②（m為任意實數(shù)）

③④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個18．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個19．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，，與y軸交點C的縱坐標在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個交點，則．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結(jié)論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內(nèi)有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；③當時，隨的增大而減??；④關(guān)于的一元二次方程的另一個根是；⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題23．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，點，在拋物線上，則（填“＞”或“＜”）；24．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點，則的取值范圍是．25．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點，則．26．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標系中，，，是二次函數(shù)圖象上三點．若，，則（填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是．27．（2024·上海·中考真題）對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．28．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．29．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點，則；④若關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是（請?zhí)顚懶蛱枺?0．（2024·山東煙臺·中考真題）已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為．三、解答題31．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點．(1)求的值；(2)若點在該二次函數(shù)的圖像上，且的面積為，求點的坐標．32．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1．(1)求b的值；(2)點在拋物線上，點在拋物線上．（?。┤?，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．33．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線.(1)當時，求拋物線的頂點坐標；(2)已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.34．（2024·浙江·中考真題）已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點向上平移2個單位長度，向左平移m（）個單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；(3)當時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．35．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值時，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計算結(jié)果．【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？（3）你認為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．36．（2024·云南·中考真題）已知拋物線的對稱軸是直線．設(shè)是拋物線與軸交點的橫坐標，記．(1)求的值；(2)比較與的大?。?7．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側(cè)），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．38．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標系中，點在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．(1)求的值；(2)若點在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；(3)設(shè)的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．39．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標系中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數(shù)的點為“完美點”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點A．(1)若，求拋物線的頂點坐標；(2)若線段（含端點）上的“完美點”個數(shù)大于3個且小于6個，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．

專題14二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（39題）一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點式即可．【詳解】解：拋物線向下平移2個單位后，則拋物線變?yōu)?，∴化成頂點式則為，故選：A．2．（2024·廣東廣州·中考真題）函數(shù)與的圖象如圖所示，當（

）時，，均隨著的增大而減?。瓵． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．由函數(shù)圖象可知，當時，隨著的增大而減小；位于在一、三象限內(nèi)，且均隨著的增大而減小，據(jù)此即可得到答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當時，隨著的增大而減小；位于一、三象限內(nèi)，且在每一象限內(nèi)均隨著的增大而減小，當時，，均隨著的增大而減小，故選：D．3．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進行求解．【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，該二次函數(shù)上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應(yīng)的函數(shù)值也就越小，∵，，，而，，，∴點離對稱軸最近，點離對稱軸最遠，∴；故選：D．4．（2024·四川達州·中考真題）拋物線與軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小于1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為，依題意，，根據(jù)題意拋物線開口向下，當時，，即可判斷A選項，根據(jù)對稱軸即可判斷B選項，根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項，無條件判斷D選項，據(jù)此，即可求解．【詳解】解：依題意，設(shè)拋物線與軸交于兩點，橫坐標分別為依題意，∵，拋物線開口向下，∴當時，，即∴，故A選項正確，符合題意；若對稱軸為，即，而，不能得出對稱軸為直線，故B選項不正確，不符合題意；∵拋物線與坐標軸有2個交點，∴方程有兩個不等實數(shù)解，即，又∴，故C選項錯誤，不符合題意；無法判斷的符號，故D選項錯誤，不符合題意；故選：A．5．（2024·四川瀘州·中考真題）已知二次函數(shù)（x是自變量）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)．利用二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線與軸有2個交點，開口向上，而且與軸的交點不在負半軸上，然后解不等式組即可．【詳解】解：二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，設(shè)拋物線與軸兩個交點的橫坐標分別為，由題意可得解得．故選：A．6．（2024·陜西·中考真題）已知一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值如下表，x…035…y…0…則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A．圖象的開口向上 B．當時，y的值隨x的值增大而增大C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限 D．圖象的對稱軸是直線【答案】D【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：由題意得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，∵，∴圖象的開口向下，故選項A不符合題意；圖象的對稱軸是直線，故選項D符合題意；當時，y的值隨x的值增大而增大，當時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符合題意；∵頂點坐標為且經(jīng)過原點，圖象的開口向下，∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；故選：D．7．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：∵開口向上，與軸的交點位于軸上方，∴，，∵拋物線與軸有兩個交點，∴，∵拋物線的頂點為，∴，觀察四個選項，選項C符合題意，故選：C．8．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．【詳解】解∶二次函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，∴當時，y隨x的增大而增大，∵點都在二次函數(shù)的圖象上，且，∴，故選∶A．9．（2024·四川自貢·中考真題）一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)在同一直角坐標系中圖象如圖所示，則n的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意列不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，∴的取值范圍是，故選：C．10．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結(jié)論正確的有多少個（

）①；②；③；④若方程兩根為，則．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯誤；根據(jù)對稱軸和一個交點求得另一個交點為，即可判斷②錯誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點，即可判斷④正確．【詳解】解：由圖可知，∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，∴，，則，∵拋物線與軸的交點在，之間，∴，則，故①錯誤；設(shè)拋物線與軸另一個交點，∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，∴，解得，則，故②錯誤；∵，，，∴，解得，故③正確；根據(jù)拋物線與軸交于點和，直線過點和，如圖，方程兩根為滿足，故④正確；故選：B．11．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當時，隨的增大而減小；③若的一個根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的頂點公式可得，結(jié)合，，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，即，，，的值可正也可負，不能確定的正負；故①錯誤；，拋物線開口向下，且關(guān)于直線對稱，當時，隨的增大而減??；故②正確；，拋物線為，，，故③正確；拋物線，將向左平移1個單位得：，拋物線是由拋物線向左平移1個單位得到的，故④錯誤；正確的有②③，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關(guān)鍵．12．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，二次函數(shù)（，，為常數(shù)，）的圖象與軸交于點，對稱軸是直線，有以下結(jié)論：①；②若點和點都在拋物線上，則；③（為任意實數(shù)）；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系以及與軸交點問題逐項分析判斷即可.【詳解】解：由圖可知，二次函數(shù)開口方向向下，與軸正半軸交于一點，，.，..故①錯誤；對稱軸是直線，點和點都在拋物線上，而，.故②錯誤；當時，，當時，函數(shù)取最大值，∴對于任意實數(shù)有：，∴，故③正確；，.當時，，.，即，故④正確.綜上所述，正確的有③④.故選：B.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于通過圖像判斷對稱軸，開口方向以及與坐標軸的交點.13．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4【答案】C【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，；對稱軸在軸右側(cè)，、異號，，∵拋物線與軸交點在軸負半軸，，，故①錯誤；②二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，，，時，，，，，故②正確；③對稱軸為直線，，最小值，，∴，故③正確；④，∴根據(jù)拋物線與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，，，，，故④正確；綜上所述，正確的有②③④，故選：C14．（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（

）A．可以找到一個實數(shù)，使得 B．無論實數(shù)取什么值，都有C．可以找到一個實數(shù)，使得 D．無論實數(shù)取什么值，都有【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，再分情況討論，當時，當時，，的大小情況，即可解題．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標為，當時，，當時，，，當時，，，故A、B錯誤，不符合題意；當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，當時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；故選：C．15．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，頂點坐標為，則下列說法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2C．當時，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱性，增減性判斷選項A、B、C，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點坐標即可判定選項D．【詳解】解∶∵二次函數(shù)的頂點坐標為，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，故選項A錯誤；∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點的橫坐標是，對稱軸是直線，∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1，故選項B錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸是直線，∴當時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；設(shè)二次函數(shù)解析式為，把代入，得，解得，∴，當時，，∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標是3，故選項D正確，故選D．16．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當時，函數(shù)取得最大值；當時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，，即關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為，由當時，函數(shù)取得最大值；當時，函數(shù)取得最小值，可得，計算求解，然后作答即可．【詳解】解：∵，∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標為，當時，，∴關(guān)于對稱軸對稱的點坐標為，∵當時，函數(shù)取得最大值；當時，函數(shù)取得最小值，∴，解得，，故選：C．17．（2024·黑龍江綏化·中考真題）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線，則下列結(jié)論中：①

②（m為任意實數(shù)）

③④若、是拋物線上不同的兩個點，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸可得，即可判斷①，時，函數(shù)值最大，即可判斷②，根據(jù)時，，即可判斷③，根據(jù)對稱性可得即可判段④，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下∴∵對稱軸為直線，∴∴∵拋物線與軸交于正半軸，則∴，故①錯誤，∵拋物線開口向下，對稱軸為直線,∴當時，取得最大值，最大值為∴（m為任意實數(shù)）即，故②正確；∵時，即∵∴即∴，故③正確；∵、是拋物線上不同的兩個點，∴關(guān)于對稱，∴即故④不正確正確的有②③故選：B18．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標分別為，，且，，則下列結(jié)論：①；②方程有兩個不相等的實數(shù)根；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當時，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時，，當時，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；【詳解】解：①拋物線開口向上，，，∴當時，，故①不符合題意；②∵拋物線過點，∴函數(shù)的最小值，∴有兩個不相等的實數(shù)根；∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；故②符合題意；③∵，，∴拋物線的對稱軸為直線，且，∴，而，∴，∴，故③不符合題意；④∵拋物線過點，∴，∵時，，即，當時，，∴，∴，∴，故④符合題意；⑤∵，，∴，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，∴∴，∴，故⑤符合題意；故選：C．19．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，，與y軸交點C的縱坐標在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個交點，則．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意得到拋物線的解析式為，即可得到，，代入即可判斷①；根據(jù)判斷②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把，代入解方程求出m的值判斷④．【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為：，∴，，∴，故①正確；∵點C的縱坐標在～之間，∴，即，∴，故②正確；∵，∴，即，∴，又∵，∴，故③錯誤；∵令相等，則∴，解得（舍），，∴，故④正確；故選A．20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，正方形的頂點，在拋物線上，點在軸上．若兩點的橫坐標分別為（），下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．依據(jù)題意，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，先證明．可得，．點、的橫坐標分別為、，可得，．，，，設(shè)，則，，，，，．再由，進而可以求解判斷即可．【詳解】解：如圖，連接、交于點，過點作軸于點，過點作于點，四邊形是正方形，、互相平分，，，，，．，，．，．點、的橫坐標分別為、，，．，，，設(shè)，則，，，，，．又，，，．．．．點、在軸的同側(cè)，且點在點的右側(cè)，．．故選：B．21．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結(jié)論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內(nèi)有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點，可得當時，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對稱軸計算公式求出，進而推出，則，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為直線，則，求出，，再分當時，當時，兩種情況求出對應(yīng)的c的值即可判斷③；當時，，則，取點，連接，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，則，故當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，利用勾股定理求出即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點，∴當時，，故①正確；∵拋物線的圖象交x軸于點、，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故②正確；∵對稱軸為直線，∴；∵、，∴，∴；在中，當時，，∴，∴，當時，則由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；同理當時，可得；綜上所述，當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，或，故③錯誤；當時，，則，如圖所示，取點，連接，則，

∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，在中，由勾股定理得，故④正確，∴正確的有3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；③當時，隨的增大而減??；④關(guān)于的一元二次方程的另一個根是；⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．【詳解】解：由圖可得：，對稱軸，，，①錯誤；由圖得，圖象經(jīng)過點，將代入可得，，②正確；該函數(shù)圖象與軸的另一個交點為，且，對稱軸，該圖象中，當時，隨著的增大而減小，當時，隨著的增大而增大，當時，隨著的增大而減小，③正確；，，關(guān)于的一元二次方程的根為，，，，④正確；，即，解得，即，，，⑤正確．綜上，②③④⑤正確，共個．故選：．【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與軸的交點問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．二、填空題23．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，點，在拋物線上，則（填“＞”或“＜”）；【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移以及二次函數(shù)的性質(zhì)，由平移的規(guī)律可得出拋物線的解析式為，再利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：，∵二次函數(shù)的圖象向左平移兩個單位得到拋物線，∴拋物線的解析式為，∴拋物線開口向上，對稱軸為，∴當時，y隨x的增大而增大，∵，∴，故答案為：．24．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，掌握拋物線與x軸沒有交點與沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可．【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點，∴沒有實數(shù)根，∴，．故答案為：．25．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點，則．【答案】2【分析】此題考查了二次函數(shù)的平移，根據(jù)平移規(guī)律得到函數(shù)解析式，把點的坐標代入得到，再整體代入變形后代數(shù)式即可．【詳解】解：拋物線向下平移5個單位長度后得到，把點代入得到，，得到，∴，故答案為：226．（2024·四川成都·中考真題）在平面直角坐標系中，，，是二次函數(shù)圖象上三點．若，，則（填“”或“”）；若對于，，，存在，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)以及解不等式組，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．先求得二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由得拋物線的對稱軸為直線，開口向下，∵，，∴，∴；∵，，，，∴，∵存在，∴，，且離對稱軸最遠，離對稱軸最近，∴，即，且，∵，，∴且，解得，故答案為：；．27．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．【答案】4【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，，中存在一點，有，解得，則，拋物線“開口大小”為，故答案為：．28．（2024·湖北武漢·中考真題）拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．下列四個結(jié)論：①；②若，則；③若，則關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)解；④點，在拋物線上，若，，總有，則．其中正確的是（填寫序號）．【答案】②③④【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意可得拋物線對稱軸，即可判斷①，根據(jù)，兩點之間的距離大于，即可判斷②，根據(jù)拋物線經(jīng)過得出，代入頂點縱坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據(jù)④可得拋物線的對稱軸，解不等式，即可求解．【詳解】解：∵（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，兩點，且．∴對稱軸為直線，，∵，∴，故①錯誤，∵∴，即，兩點之間的距離大于又∵∴時，∴若，則，故②正確；③由①可得，∴，即，當時，拋物線解析式為設(shè)頂點縱坐標為∵拋物線（a，b，c是常數(shù)，）經(jīng)過，∴∴∴∵，，對稱軸為直線，∴當時，取得最大值為，而，∴關(guān)于x的一元二次方程無解，故③正確；④∵，拋物線開口向下，點，在拋物線上，，，總有，又，∴點離較遠，∴對稱軸解得：，故④正確．故答案為：②③④．29．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線的頂點的坐標為，與軸的一個交點位于0和1之間，則以下結(jié)論：①；②；③若拋物線經(jīng)過點，則；④若關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，則．其中正確結(jié)論是（請?zhí)顚懶蛱枺敬鸢浮竣佗冖堋痉治觥勘绢}考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．①利用拋物線的頂點坐標和開口方向即可判斷；②利用拋物線的對稱軸求出，根據(jù)圖象可得當時，，即可判斷；③利用拋物線的對稱軸，設(shè)兩點橫坐標與對稱軸的距離為，求出距離，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，即可判斷；④根據(jù)圖象即可判斷．【詳解】解：①∵拋物線的頂點的坐標為，∴，∴，即，由圖可知，拋物線開口方向向下，即，∴，當時，，∴，故①正確，符合題意；②∵直線是拋物線的對稱軸，∴，∴，∴由圖象可得：當時，，∴，即，故②正確，符合題意；③∵直線是拋物線的對稱軸，設(shè)兩點橫坐標與對稱軸的距離為，則，，∴，根據(jù)圖象可得，距離對稱軸越近的點的函數(shù)值越大，∴，故③錯誤，不符合題意；④如圖，∵關(guān)于x的一元二次方程無實數(shù)根，∴，故④正確，符合題意．故答案為：①②④30．（2024·山東煙臺·中考真題）已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表：下列結(jié)論：；關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，的取值范圍為；若點，均在二次函數(shù)圖象上，則；滿足的的取值范圍是或．其中正確結(jié)論的序號為．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出的值即可判斷；利用根的判別式即可判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷；利用對稱性可判斷；畫出函數(shù)圖形可判斷；掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：把，，代入得，，解得，∴，故正確；∵，，，∴，當時，，∴，∵，∴關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，故正確；∵拋物線的對稱軸為直線，∴拋物線的頂點坐標為，又∵，∴當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，當時，函數(shù)取最大值，∵與時函數(shù)值相等，等于，∴當時，的取值范圍為，故錯誤；∵，∴點，關(guān)于對稱軸對稱，∴，故正確；由得，即，畫函數(shù)和圖象如下：由，解得，，∴，，由圖形可得，當或時，，即，故錯誤；綜上，正確的結(jié)論為，故答案為：．三、解答題31．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點．(1)求的值；(2)若點在該二次函數(shù)的圖像上，且的面積為，求點的坐標．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式，解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）運用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)題意設(shè)，結(jié)合幾何圖形面積計算方法可得點的縱坐標，代入后解一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，∴，解得，，∴；（2）解：由（1）可知二次函數(shù)解析式為：，，，∴，設(shè)，∴，∴，∴，∴當時，，無解，不符合題意，舍去；當時，，；∴．32．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1．(1)求b的值；(2)點在拋物線上，點在拋物線上．（ⅰ）若，且，，求h的值；（ⅱ）若，求h的最大值．【答案】(1)(2)（?。?；（ⅱ）【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及化為頂點式，解一元二次方程，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意求出的頂點為，確定拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標為2，即可求解；（2）根據(jù)題意得出，，然后整理化簡；（?。⒋肭蠼饧纯桑唬áⅲ⒋胝頌轫旤c式，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：，∴的頂點為，∵拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標比拋物線的頂點橫坐標大1，∴拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標為2，∴，∴；（2）由（1）得∵點在拋物線上，點在拋物線上．∴，，整理得：（ⅰ）∵，∴，整理得：，∵，，∴，∴；（ⅱ）將代入，整理得，∵，∴當，即時，h取得最大值為．33．（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線.(1)當時，求拋物線的頂點坐標；(2)已知和是拋物線上的兩點.若對于，，都有，求的取值范圍.【答案】(1)；(2)或【分析】（）把代入，轉(zhuǎn)化成頂點式即可求解；（）分和兩種情況，畫出圖形結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；本題考查了求二次函數(shù)的頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)，運用分類討論和數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：把代入得，，∴拋物線的頂點坐標為；（2）解：分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線；當時，如圖，此時，∴，又∵，∴；當時，如圖，此時，解得，又∵，∴；綜上，當或，都有．34．（2024·浙江·中考真題）已知二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點向上平移2個單位長度，向左平移m（）個單位長度后，恰好落在的圖象上，求m的值；(3)當時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為，求n的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（1）采用待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)關(guān)系式；（2）先求出平移后點B的坐標，然后把坐標代入解析式即可；（3）分為，時，時，建立方程解題即可．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把代入得，解得，∴；（2）解：點B平移后的點的坐標為，則，解得或（舍），∴m的值為；（3）解：當時，∴最大值與最小值的差為，解得：不符合題意，舍去；當時，∴最大值與最小值的差為，符合題意；當時，最大值與最小值的差為，解得或，不符合題意；綜上所述，n的取值范圍為．35．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值時，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：a…024…x…*20…y的最小值…*…注：*為②的計算結(jié)果．【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”（2）請結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？（3）你認為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．【答案】（1）①；②當時，有最小值為（2）見解析（3）正確，【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）①把代入解析式，寫出函數(shù)解析式即可；②將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，進行求解即可；（2）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解釋即可；（3）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，表示出的最大值，再利用二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：（1）①把代入，得：；∴；②∵，∴當時，有最小值為；（2）∵，∵拋物線的開口向上，∴當時，有最小值；∴甲的說法合理；（3）正確；∵，∴當時，有最小值為，即：，∴當時，有最大值，為．36．（2024·云南·中考真題）已知拋物線的對稱軸是直線．設(shè)是拋物線與軸交點的橫坐標，記．(1)求的值；(2)比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)當時，；當時，．【分析】（1）由對稱軸為直線直接求解；（2）當時，；當時，．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸是直線，∴，∴；（2）解：∵是拋物線與軸交點的橫坐標，∴，∴，∴，∴，而代入得：，∴，∴，∵，解得：，當時，∴；當時，，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式，與x軸交點問題，解一元二次方程，無理數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是對進行降次處理．37．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側(cè)），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．(1)求線段的長；(2)當時，若的面積