《空間向量基本定理》知識探究

高中數(shù)學精編資源2/2《空間向量基本定理》知識探究探究點1空間向量基本定理1.空間向量基本定理:如果三個向量不共面,那么對任意一個空間向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使得.2.基向量:其中叫做空間的一個基底,都叫做基向量.3.基底:空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.【要點辨析】1.空間任意不共面的三個向量都可以作為向量的基底，基底不唯一.2.三個向量不共面，隱含它們都是非零向量.3.一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關聯(lián)的不同概念.4.基向量的選擇和使用方法（1）盡可能選擇具有垂直關系的，從同一起點出發(fā)的三個向量作為基底.（2）用基向量表示一個向量時，如果此向量的起點是從基底的公共點出發(fā)的，一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個易求的向量共線，可用數(shù)乘.5.用基底表示向量時的注意事項(1)若基底確定,要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,以及向量的數(shù)乘運算律進行.(2)若沒給定基底,首先要選擇基底,選擇時要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.6.基向量法解決長度、垂直及夾角問題的步驟(1)設出基向量.(2)用基向量表示出直線的方向向量.(3)用求長度;用判斷垂直;用求夾角;用.(4)轉(zhuǎn)化為線段長度,兩直線垂直及夾角問題.學科素養(yǎng):利用空間向量基本定理判斷可作為基底的三個向量，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).典例1-1[概括理解能力、推測解釋能力]已知是空間的一個基底,且,試判斷能否作為空間的一個基底.解析:本題考查利用空間向量基本定理中基底的概念判斷三個向量能否作為基底,解決本題需理解空間向量基本定理,分析題意,我們使用反證法,假設三個向量共面,由共面向量基本定理,寫出恒等式,利用系數(shù)相等,列出方程組,計算出未知數(shù),若無解,說明假設不成立,即三個向量不共面,可作為基底;若有解,說明假設成立,三個向量共面,不能作為基底.

解:假設共面,由向量共面的充要條件知,存在實數(shù),使成立,

,

即.是空間的一個基底,不共面.

此方程組無解.

即不存在實數(shù)使得,

所以不共面,能作為空間的一個基底.典例1-2[分析計算能力]長方體中,為的中點,則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.點撥：本題考查利用空間向量基本定理,基向量法解決夾角問題,分析題意,我們可以將求異面直線與所成角的余弦值問題轉(zhuǎn)化為與夾角的余弦值問題,由空間向量基本定理,我們可用基向量、、表示與,通過向量的數(shù)量積公式計算出與夾角的余弦值,即得出異面直線與所成角的余弦值.解析：∵,∴.所以異面直線與所成角的余弦值為.答案B探究點2空間向量正交分解1.單位正交基底:如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都是1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用表示.2.正交分解:把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進行正交分解.【要點辨析】1.正交基底,則,即.2.單位正交基底,那么,且,即.學科素養(yǎng):利用空間向量基本定理先用基底表示空間中的向量，體現(xiàn)了數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).典例2[簡單問題解決能力]正方體中,分別是的中點,以