重難點專題1-1函數(shù)的對稱性與周期性問題【18類題型】-3

重難點專題1-1

函數(shù)對稱性周期性問題【題型16】涉及導(dǎo)函數(shù)對稱性問題已知定義在D上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)1、若關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱【簡證】因關(guān)于對稱，所以，同時求導(dǎo)得，故關(guān)于對稱2、若關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱（證明同上）3、若關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱【簡證】因為，導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則．即：設(shè)：，則所以，（c為常數(shù)），所以即?所以的圖象關(guān)于點對稱．4、若關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱【簡證】因為，導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則．設(shè)：，則所以，（c為常數(shù)），又所以，的圖象關(guān)于對稱．注意：若而為奇函數(shù)，那么為偶函數(shù)，而為偶函數(shù)，那么不一定為奇函數(shù)2024·山東淄博·一模1．已知定義在上的函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，定義域也是，滿足，則.2024·長沙一中高三月考試卷（七）2．已知函數(shù)的定義域為，且滿足，的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．3 B． C．1 D．2022新高考1卷第12題3．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2024·福建福州2月質(zhì)檢4．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．2024·福建漳州·一模5．已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．2024·湖南邵陽·1月聯(lián)考6．已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且和都是奇函數(shù)，且，則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于對稱 B．關(guān)于對稱C．是周期函數(shù) D．2024·湖南邵陽·一模7．已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且與均為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的有（

）A．關(guān)于對稱 B．關(guān)于點對稱C． D．2024·湖南邵陽·二模8．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，且的導(dǎo)函數(shù)為.若為奇函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A． B．C． D．2024·山東濰坊·一模9．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，且，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點對稱C． D．（）【鞏固練習(xí)1】（2024·全國·模擬預(yù)測）10．已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域為，記，且都為奇函數(shù)．若，則（

）A．0 B． C．2 D．【鞏固練習(xí)2】（2024·江西贛州·二模）11．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，和都是奇函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C．是周期函數(shù) D．【鞏固練習(xí)3】（2024·湖南邵陽·三模）12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱．若對任意，有，則下列說法正確的是（

）A．不為周期函數(shù) B．的圖象不關(guān)于點對稱C． D．【鞏固練習(xí)4】（2024·河北·三模）13．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱． B．的圖象關(guān)于點對稱．C． D．【鞏固練習(xí)5】（2024·山東聊城·一模）14．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)為，若是奇函數(shù)，且對于任意的，，則對于任意的，下列說法正確的是（

）A．都是的周期 B．曲線關(guān)于點對稱C．曲線關(guān)于直線對稱 D．都是偶函數(shù)【題型17】兩個函數(shù)混合型兩個函數(shù)混合型的對稱性和周期性問題一般先通過等式的加減運算消掉其中一個函數(shù)，得到只含有另外一個函數(shù)的等式，再分析對稱性和周期雙函數(shù)性質(zhì)：1.雙函數(shù)各自對應(yīng)的對稱中心和對稱軸等性質(zhì)2.雙函數(shù)之間存在著互相轉(zhuǎn)化或者互相表示的函數(shù)等量關(guān)系2024·湖南衡陽·二模15．已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù) D．2024·福建漳州第三次質(zhì)檢16．已知函數(shù)的定義域均為是奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于對稱，，則（

）A．4 B．8 C． D．【鞏固練習(xí)1】2022全國乙卷第12題17．已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（2024·四川南充·三模）18．已知函數(shù)的定義域均為R，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，，則（

）A． B． C．3 D．4【鞏固練習(xí)3】（2024·湖南衡陽·三模）19．已知函數(shù)，的定義域為，若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱B．函數(shù)為偶函數(shù)C．4是函數(shù)的一個周期D．【題型18】兩個函數(shù)混合且涉及導(dǎo)數(shù)找出一個函數(shù)的對稱性或周期之后，可以從圖像平移變換的角度來得出另一個函數(shù)的對稱性或周期2024·廣東韶關(guān)·二模20．已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為，且，，則（

）A．關(guān)于直線對稱 B．C．的周期為4 D．2024·廣州市鐵一中·月考21．已知函數(shù)是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．的圖象關(guān)于點中心對稱C． D．是偶函數(shù)2024·廣東燕博園·3月聯(lián)考22．已知定義域均為的函數(shù)與，其導(dǎo)函數(shù)分別為與，且，，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．8是函數(shù)的一個周期C． D．2024·河南TOP二十名校·一模23．已知定義在上的函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，，，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點中心對稱 B．C． D．【鞏固練習(xí)1】24．定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且，則下列說法中一定正確的是（

）A．為偶函數(shù) B．為奇函數(shù)C．函數(shù)是周期函數(shù) D．【鞏固練習(xí)2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）25．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和.若，，且為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．C． D．【鞏固練習(xí)3】（2024·全國·模擬預(yù)測）26．已知函數(shù)，的定義域均為，其導(dǎo)函數(shù)分別為，．若，，且，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù) B．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱C． D．【鞏固練習(xí)4】（2024·廣東惠州·三模）27．設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．點（其中）是函數(shù)的對稱中心D．【鞏固練習(xí)5】（2024·湖北黃岡·三模）28．已知定義在上的函數(shù)，，其導(dǎo)函數(shù)分別為，，，，且，則（

）A．的圖象關(guān)于點中心對稱 B．C． D．【鞏固練習(xí)6】（2024·安徽蕪湖·三模）29．已知函數(shù)與是定義在上的函數(shù)，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為和，且滿足，且，則（

）A．1012 B．2024 C． D．參考答案：1．【分析】求導(dǎo)得到，賦值累加即可.【詳解】對，兩邊同時求導(dǎo)得，即，則，，，則.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，并采用賦值法結(jié)合已知條件求解.2．A【分析】利用函數(shù)的圖象關(guān)于對稱、關(guān)于點中心對稱可得的周期，根據(jù)周期可得答案．【詳解】因為，則函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，且．由，，得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，．根據(jù)圖象變換的規(guī)律，由的圖象關(guān)于點中心對稱，得的圖象關(guān)于點中心對稱，，則的周期為，，故．故選：A．3．BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．4．C【分析】利用的圖象關(guān)于點對稱，可知函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合可得是周期函數(shù)，再由選項去逐一分析.【詳解】因為的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于原點對稱，即函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，所以，所以，所以，所以，所以，即，所以3是的一個周期.因為，故C正確；取符合題意的函數(shù)，則所以，又，故2不是的一個周期，所以，故B不正確；因為不是函數(shù)的最值，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，所以，故A不正確；因為，故D不正確；故選：C.5．D【分析】由為奇函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算可得，由為奇函數(shù)，可得，整理可得，進而分析可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為為奇函數(shù)，則，即，兩邊求導(dǎo)得，則，可知關(guān)于直線對稱，又因為為奇函數(shù)，則，即，可知關(guān)于點對稱，令，可得，即，由可得，由，可得，即，可得，即，令，可得；令，可得；且，可知8為的周期，可知，所以.故選：D.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．6．ACD【分析】對于A,根據(jù)為奇函數(shù)，得到關(guān)系式，兩邊求導(dǎo)即可判斷；對于B，利用的圖象可以由向左平移1個單位即可判斷；對于C,根據(jù)是奇函數(shù)及關(guān)于對稱得到關(guān)系式，綜合分析即可求得周期；對于D,結(jié)合已知條件可求得的值，進一步計算即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以，即，所以的圖象關(guān)于直線對稱.故A正確；因為為奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于對稱，向左平移一個單位后得到的圖象，則的圖象關(guān)于對稱，故B錯誤；因為為奇函數(shù)，則，則有，所以①,又，則②,由①②，則，則，，則，所以8是函數(shù)的一個周期.，是周期函數(shù)，故C正確；因為，，所以，，所以，故D正確，故選：ACD.7．BC【分析】根據(jù)已知得出關(guān)于對稱.假設(shè)關(guān)于對稱，求導(dǎo)即可得出矛盾；根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，得出，兩邊同時除以，即可判斷B；根據(jù)已知，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)得出關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，即可得出，，進而推得，即可得出C項；根據(jù)已知，無法確定.【詳解】對于A項，因為為偶函數(shù)，所以關(guān)于對稱.若關(guān)于對稱，則導(dǎo)函數(shù)關(guān)于點對稱，這與關(guān)于對稱矛盾，所以A錯誤；對于B項，因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，所以B正確；對于C項，因為為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以.又關(guān)于對稱，所以.所以，，所以，故C正確；對于D項，由A知，關(guān)于點對稱，.但無法確定.故D錯誤.故選：BC.8．ACD【分析】根據(jù)已知條件可得的周期，由為奇函數(shù)可得的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)公式及函數(shù)的周期性、對稱性可判斷各選項.【詳解】對于D，由，所以，即，所以的周期為4，且，所以，故D正確；對于A，由為奇函數(shù)知關(guān)于對稱，所以，由得0，即，故的周期為4且，可得，故A正確；對于BC，由上知的周期為4且關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，則有，即，所以，令，得，故，所以關(guān)于對稱，又，所以，故B錯誤；又，所以，故C正確.故選：ACD.【點睛】本題關(guān)鍵是利用函數(shù)的周期性和對稱性，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷各選項.9．ABD【分析】對于A，對條件，求導(dǎo)可得；對于B，對條件，兩邊同時除以可得；對于C，反證法，假設(shè)C正確，求導(dǎo)，結(jié)合條件，可得與矛盾，可判斷C；對于D，求出，，所以有，，，得出數(shù)列是以0為首項，為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可判斷．【詳解】因為，所以，即，令，得，故A正確；因為，當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，假設(shè)成立，求導(dǎo)得，即，又，所以，所以與矛盾，故C錯誤；對于D，因為，，所以，，，，所以有，所以數(shù)列的奇數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項是以為首項，為公差的等差數(shù)列，又，，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故D正確．故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是，的應(yīng)用，D選項關(guān)鍵是推出是以為首項，為公差的等差數(shù)列.10．C【分析】根據(jù)的性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算分析可知的圖象關(guān)于對稱，結(jié)合奇函數(shù)分析可知的周期為4，根據(jù)周期性運算求解.【詳解】因為為奇函數(shù)，則，即，可知的圖象關(guān)于點對稱，可得，即，可知的圖象關(guān)于對稱，則，又因為為奇函數(shù)，則，可得，可知的周期為4，所以.故選：C．11．BC【分析】由是奇函數(shù)可判斷A；利用向右平移1個單位后可得可判斷B；利用是奇函數(shù)，得到關(guān)系式，兩邊同時求導(dǎo)可得，再由可求出的周期可判斷C；由可得，即可判斷D.【詳解】對于A，因為是奇函數(shù)，所以，則有，的圖象關(guān)于點對稱，故A錯誤；對于B，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，向右平移1個單位后可得，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，因為是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，所以①，因為，所以②，由①②可得：，所以，所以，，所以是函數(shù)的一個周期函數(shù)，所以是周期函數(shù)，故C正確；對于D，因為，所以，，，，所以，而，故D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對稱，（2）關(guān)于中心對稱，（3）的一個周期為，（4）的一個周期為.可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.12．C【分析】利用函數(shù)成中心對稱的恒等式來證明新函數(shù)的對稱性，再利用雙對稱來證明函數(shù)的周期性，從而就可以來判斷各選項.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，即，則的圖象關(guān)于點對稱，B選項錯誤．由，得．令，則，由，得的圖象關(guān)于直線對稱．又的圖象關(guān)于點對稱，則，所以，即，則可得的圖象關(guān)于點對稱，故為周期函數(shù)，且周期為8，，所以，，D選項錯誤．又，則，所以，由得：，故為周期函數(shù)，A選項錯誤．由，兩邊求導(dǎo)得：，由得：，令得：，利用的周期為8，則，C選項正確．故選：C．13．BD【分析】對于A，直接得到即可判斷；對于B，由為偶函數(shù)，所以，求導(dǎo)可得即可判斷；對于D，求出的周期為，再根據(jù)即可判斷；對于C，由題意舉出反例即可淘汰.【詳解】對于A，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故A錯誤；對于B，由為偶函數(shù)，所以，所以，即，即，則，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故B正確；對于D，由，，知，又，，所以，所以，即，所以為周期是的函數(shù)，即，故D正確.對于C，由題意及上述分析知是以為周期的函數(shù)，且，不妨設(shè)，所以，周期均為且，所以，所以C錯誤；故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于選項C，通過舉反例的形式淘汰答案，不妨設(shè)，所以，所以周期為，且，所以.14．BC【分析】結(jié)合題意，借助導(dǎo)數(shù)的運算可判斷函數(shù)的對稱性，借助賦值法，可得函數(shù)的周期性，利用所得函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合選項逐項分析判斷即可得.【詳解】由是奇函數(shù)，故有，即有，故，則，即，故關(guān)于對稱，由，則，即，故關(guān)于中心對稱，由，則，又，故，即有，則，故，即，故，故周期為.對A：當(dāng)時，，故A錯誤；對B：由周期為，故，又，故，故，故曲線關(guān)于點對稱，故B正確；對C：由周期為，故，又，故，故曲線關(guān)于直線對稱，故C正確；對D：由B得，故，又周期為，故有，故，又，即都是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：BC.【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.15．ACD【分析】利用是奇函數(shù)，，，逐項判斷選項.【詳解】由是奇函數(shù)，則，即，令，則，故A正確；由，，令，則，故不是奇函數(shù)，故B錯誤；由，令，則，故，所以，而，則，故，所以是偶函數(shù)，故C正確；因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以的周期為8，因為，所以4)，所以，即，因為，所以由，得，得，由2，得，因為的周期為8，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】本題主要考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，利用替換求解，考查運算求解能力，屬于較難題.16．D【分析】根據(jù)題中條件可得的圖像關(guān)于對稱，結(jié)合是奇函數(shù)，可得的圖象關(guān)于點中心對稱，繼而可得是以4為周期的周期函數(shù)，通過賦值，進一步計算即可.【詳解】因為的圖象關(guān)于對稱，所以．因為①，則，即②，①-②得，，所以的圖像關(guān)于對稱．令，則是奇函數(shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，所以，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)．因為，所以．因為是以4為周期的周期函數(shù)，所以也是以4為周期的周期函數(shù)，取，，所以．因為，所以，所以．取，所以，所以，所以，故選:D．17．D【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.18．B【分析】利用題設(shè)得到①和②，又由，結(jié)合①式，推得的周期為12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，，即，即①，由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得②，由可得，又得，兩式相加，，將①式代入，得，則得，將②式代入得，，則，于是，即的周期為12.又，由①可得，得，又由可得，即得.因，可得，，于是，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查抽象函數(shù)的對稱性應(yīng)用，屬于難題.解題關(guān)鍵在于根據(jù)中心對稱和軸對稱得出函數(shù)關(guān)系式：①和②，再由利用消元思想，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式是最關(guān)鍵之處，其次是利用的關(guān)系式求得的周期是第二關(guān)鍵，之后賦值求得即可得解.19．BCD【分析】通過函數(shù)的奇偶性可判斷B；通過聯(lián)立函數(shù)與的方程組以及對函數(shù)進行賦值可推出函數(shù)的周期從而判斷C；計算出從而排除A；先通過賦值求出，再通過周期性計算出D?！驹斀狻恳驗槭桥己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，因為是奇函數(shù)，所以，即，代入，得，所以.由，得，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù).故選項B正確；因為，所以，由，得，所以，得，所以，所以4是函數(shù)的周期.故選項C正確；由，得，所以，所以，由，得，，所以，，因為，所以，故選項A錯誤；由，得即，所以，故選項D正確.故選:BCD【點睛】本題是一道綜合性較強的關(guān)于抽象函數(shù)奇偶性，對稱性，周期性的綜合題，且包含兩個函數(shù)。解決抽象函數(shù)奇偶性，對稱性，周期的問題的關(guān)鍵是通過賦值，找到這幾個性質(zhì)之間的聯(lián)系，函數(shù)的賦值包括兩大類：即賦具體值和抽象的表達(dá)式，對于賦具體值一般根據(jù)題目的要求即可找到題目所需要求的值；而賦抽象的表達(dá)式，則需要遵循賦值后的表達(dá)式與其它子式子之間能夠聯(lián)立的原則。另外對于一個題目里有兩個抽象函數(shù)的綜合問題，則需通過建立方程組，然后賦值（表達(dá)式）消去其中一個函數(shù)，從而得到另一個函數(shù)的性質(zhì)。20．ACD【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的對稱性，合理賦值即可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)可得、，通過合理賦值即可判斷BCD.【詳解】由，得①，②，得③，由①②③，得，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；由，得，令，得；由，得，令，得，∴④，又⑤，令，得，故B錯誤；④⑤兩式相加，得，得，所以，即函數(shù)的周期為4，故C正確；由，令，得，所以，所以，故D正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)的對稱性和周期性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算，尋找關(guān)系式、和是解題的關(guān)鍵，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的聯(lián)系，對稱性與周期性的聯(lián)系，都是解題的思路.21．AD【分析】先根據(jù)函數(shù)，的奇偶性及，結(jié)合賦值法得到函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，即可得到是周期函數(shù)，進而判斷選項A；由即可得到的圖象的對稱中心，進而判斷選項B；利用倒序相加法及即可判斷選項C；對兩邊同時求導(dǎo)即可判斷選項D．【詳解】選項A：在中取為，得，所以，取為，得，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，取為，得，所以，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，所以也是周期函數(shù)，所以A正確；選項B：由得的圖象關(guān)于點中心對稱，所以B錯誤；選項C：設(shè)，則，兩式相加，得2022，所以，即，所以C錯誤；選項D：對于，兩邊同時對求導(dǎo)得，所以是偶函數(shù)，所以D正確故選：AD22．ABD【分析】根據(jù)題意，先由條件以及函數(shù)的對稱中心可得函數(shù)的周期，即可判斷AB，再賦值計算，結(jié)合函數(shù)的周期性以及對稱性，即可判斷CD【詳解】因為，令，則，即，所以，用替換可得，即，又，則，，所以，令，可得，所以，再由，令，則，所以，即，用替換，可得，且，即，將代入，可得，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，故A正確；又函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即，所以是函數(shù)的一個周期，故B正確；由，令，則，因為函數(shù)關(guān)于直線對稱，則，且函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，所以，則，故C錯誤；由，令可得，令可得，則，又8是函數(shù)的一個周期，且函數(shù)關(guān)于直線對稱，則，，又函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即，令，則，所以，則，故D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了函數(shù)的對稱性以及周期性的綜合應(yīng)用，難度較大，解得本題的關(guān)鍵在于求得函數(shù)的對稱軸，從而確定其周期，即可得到結(jié)果.23．BCD【分析】先根據(jù)條件分析出的周期性和對稱性，再得到的周期性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得，兩式相減可得①，所以的圖象關(guān)于點成中心對稱，故A錯誤；由②，②式兩邊對求導(dǎo)可得，可知是偶函數(shù)，以替換①中的可得，可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；因為，可知也是周期為4的周期函數(shù)，即，兩邊求導(dǎo)可得，所以，故C正確；因為，令，則，即，又因為是偶函數(shù)，所以，又因為是周期為4的周期函數(shù)，則，由可得，所以，D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決這類題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱與周期的關(guān)系，若關(guān)于兩點（縱坐標(biāo)相同）或者兩條直線（平行于軸）對稱，則周期為這兩點或者這兩條直線的距離的兩倍，若關(guān)于一點和一直線（平行于軸）對稱，則周期為這點和這條直線的距離的四倍.24．BCD【分析】結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性的定義，借助賦值法與函數(shù)性質(zhì)逐項判斷即可得.【詳解】對A：由，故為奇函數(shù)，若為偶函數(shù)，則，與條件不符，故A錯誤；對B：由，則，又，即，即，又定義在上，故為奇函數(shù)，故B正確；對C：由，，，所以，則，所以，，所以，所以，則函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，故C正確；對D：由是周期函數(shù)的周期函數(shù)，由，令，則，即，令，則，即，由，，則，則關(guān)于對稱，則關(guān)于對稱，又為奇函數(shù)，即關(guān)于中心對稱，故關(guān)于對稱，則，則，故D正確.故選：BCD.【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.25．AC【分析】對于A：由可設(shè)，根據(jù)題意分析可得，，即可得結(jié)果；對于C：結(jié)合奇偶性可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期性分析求解；對于B：分析可知，根據(jù)周期性分析求解；對于D：結(jié)合選項BC中的結(jié)論運算求解.【詳解】對于選項A：因為，則，可得，又因為，可得.令，可得，解得，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，A正確；對于選項C：因為為奇函數(shù)，可知的圖象關(guān)于點對稱，且，令，可得，即；令，可得；令，可得；由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得；所以，又因為，則，可知函數(shù)的周期，所以，故C正確；對于選項B：由AC可知，可得，，所以，故B錯誤；對于選項D：可得，故D錯誤.故選：AC.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．26．ACD【分析】由，可設(shè)，，由，得，賦值，則有，即，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，又得，也是周期為4的函數(shù)，通過賦值可判斷選項【詳解】因為，所以．又因為，所以．于是可得，令，則，所以．所以，即函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，即．因為，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即，所以，即，于是，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．因為函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以的圖像關(guān)于軸對稱，所以為偶函數(shù)，所以A選項正確．將的圖像作關(guān)于軸對稱的圖像可得到的圖像，再向右平移3個單位長度，可得到的圖像，再將所得圖像向下平移2個單位長度，即可得到的圖像，因此函數(shù)也是周期為4的函數(shù)．又的圖像關(guān)于點對稱，所以的圖像關(guān)于點對稱，所以B選項不正確．因為，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C選項正確．因為，所以，，，，，則有，可得，所以D選項正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：一般地，若函數(shù)的圖像具有雙重對稱性，則一定可以得到函數(shù)具有周期性，且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為半個周期；相鄰的兩個對稱中