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文檔簡介
內蒙古北重公司第三中學2025屆高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.2.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或3.已知直線和平面,若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.不充分不必要4.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧時粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.5.如圖是一個算法流程圖,則輸出的結果是()A. B. C. D.6.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象恒在軸的上方,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.7.已知是空間中兩個不同的平面,是空間中兩條不同的直線,則下列說法正確的是()A.若,且,則B.若,且,則C.若,且,則D.若,且,則8.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高二丈,問:積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體,下底面寬3丈,長4丈,上棱長2丈,高2丈,問:它的體積是多少?”已知l丈為10尺,該楔體的三視圖如圖所示,其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,則該楔體的體積為()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺9.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為A. B. C.2 D.10.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.11.已知點為雙曲線的右焦點,直線與雙曲線交于A,B兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.12.把函數(shù)的圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個命題①的值域為②的一個對稱軸是③的一個對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設是公差不為0的等差數(shù)列的前項和,且,則______.14.已知一個正四棱錐的側棱與底面所成的角為,側面積為,則該棱錐的體積為__________.15.若x,y滿足,則的最小值為________.16.古代“五行”學認為:“物質分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質不相鄰,則這樣的排列方法有_________種.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓與拋物線有共同的焦點,且離心率為,設分別是為橢圓的上下頂點(1)求橢圓的方程;(2)過點與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點,當弦的中點落在四邊形內(含邊界)時,求直線的斜率的取值范圍.18.(12分)已知橢圓的焦點為,,離心率為,點P為橢圓C上一動點,且的面積最大值為,O為坐標原點.(1)求橢圓C的方程;(2)設點,為橢圓C上的兩個動點,當為多少時,點O到直線MN的距離為定值.19.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)當時,如果方程有兩個不等實根,求實數(shù)t的取值范圍,并證明.20.(12分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.21.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為.(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求的普通方程及的直角坐標方程;(2)求曲線上的點到距離的取值范圍.22.(10分)如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E為AB的中點,底面四邊形ABCD滿足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性和單調性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為,所以為上的偶函數(shù),因為函數(shù)都是在上單調遞減.所以函數(shù)在上單調遞減.因為,所以,且,解得.故選:D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調性的應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.2、D【解析】
由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎題.3、B【解析】
由線面關系可知,不能確定與平面的關系,若一定可得,即可求出答案.【詳解】,不能確定還是,,當時,存在,,由又可得,所以“”是“”的必要不充分條件,故選:B【點睛】本題主要考查了必要不充分條件,線面垂直,線線垂直的判定,屬于中檔題.4、D【解析】
設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結合等比數(shù)列的性質可求出答案.【詳解】設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質,考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.5、A【解析】
執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,執(zhí)行上述的程序框圖:第1次循環(huán):滿足判斷條件,;第2次循環(huán):滿足判斷條件,;第3次循環(huán):滿足判斷條件,;不滿足判斷條件,輸出計算結果,故選A.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的結果的計算與輸出,其中解答中執(zhí)行程序框圖,逐次計算,根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.6、B【解析】
函數(shù)的圖象恒在軸的上方,在上恒成立.即,即函數(shù)的圖象在直線上方,先求出兩者相切時的值,然后根據(jù)變化時,函數(shù)的變化趨勢,從而得的范圍.【詳解】由題在上恒成立.即,的圖象永遠在的上方,設與的切點,則,解得,易知越小,圖象越靠上,所以.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關系,考查轉化與化歸思想,首先函數(shù)圖象轉化為不等式恒成立,然后不等式恒成立再轉化為函數(shù)圖象,最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值,然后得出參數(shù)范圍.7、D【解析】
利用線面平行和垂直的判定定理和性質定理,對選項做出判斷,舉出反例排除.【詳解】解:對于,當,且,則與的位置關系不定,故錯;對于,當時,不能判定,故錯;對于,若,且,則與的位置關系不定,故錯;對于,由可得,又,則故正確.故選:.【點睛】本題考查空間線面位置關系.判斷線面位置位置關系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質定理.一般可借助正方體模型,以正方體為主線直觀感知并準確判斷.8、A【解析】由題意,將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體,作出幾何體的直觀圖如圖所示:
沿上棱兩端向底面作垂面,且使垂面與上棱垂直,
則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱,
則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計算,其中正確還原幾何體,利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關鍵.9、A【解析】由給定的三視圖可知,該幾何體表示一個底面為一個直角三角形,且兩直角邊分別為和,所以底面面積為高為的三棱錐,所以三棱錐的體積為,故選A.10、B【解析】
先分別判斷命題真假,再由復合命題的真假性,即可得出結論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當,或時,則不成立.則,,均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性,判斷簡單命題的真假是解題的關鍵,屬于基礎題.11、D【解析】
設雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,設,得,求出的值,即得解.【詳解】設雙曲線C的左焦點為,連接,由對稱性可知四邊形是平行四邊形,所以,.設,則,又.故,所以.故選:D【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質,考查余弦定理解三角形和三角形面積的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、C【解析】
由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗法判斷②③;對求導,并得到導函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個單位可得,,的值域為,①錯誤;當時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,②正確;當時,,所以的一個對稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個.故選:C【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心,考查導函數(shù)的幾何意義的應用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、18【解析】
先由,可得,再結合等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】解:因為,所以,.故答案為:18.【點睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運算,重點考查了等差數(shù)列的前項和公式,屬基礎題.14、【解析】
如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,根據(jù)正四棱錐的側面積求出的值,再利用勾股定理求得正四棱錐的高,代入體積公式,即可得到答案.【詳解】如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點為的中點,則,設,,,,,,.故答案為:.【點睛】本題考查棱錐的側面積和體積,考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想,考查運算求解能力.15、5【解析】
先作出可行域,再做直線,平移,找到使直線在y軸上截距最小的點,代入即得。【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖,令,則,作出直線,平移直線,由圖可得,當直線經(jīng)過C點時,直線在y軸上的截距最小,由,可得,因此的最小值為.故答案為:4【點睛】本題考查不含參數(shù)的線性規(guī)劃問題,是基礎題。16、1.【解析】試題分析:由題意,可看作五個位置排列五種事物,第一位置有五種排列方法,不妨假設排上的是金,則第二步只能從土與水兩者中選一種排放,故有兩種選擇不妨假設排上的是水,第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土,故總的排列方法種數(shù)有5×2×1×1×1=1.考點:排列、組合及簡單計數(shù)問題.點評:本題考查排列排列組合及簡單計數(shù)問題,解答本題關鍵是理解題設中的限制條件及“五行”學說的背景,利用分步原理正確計數(shù),本題較抽象,計數(shù)時要考慮周詳.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或【解析】
(1)由已知條件得到方程組,解得即可;(2)由題意得直線的斜率存在,設直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消元、列出韋達定理,由得到的范圍,設弦中點坐標為則,所以在軸上方,只需位于內(含邊界)就可以,即滿足,得到不等式組,解得即可;【詳解】解:(1)由已知橢圓右焦點坐標為,離心率為,,,所以橢圓的標準方程為;(2)由題意得直線的斜率存在,設直線方程為聯(lián)立,消元整理得,,由,解得設弦中點坐標為,所以在軸上方,只需位于內(含邊界)就可以,即滿足,即,解得或【點睛】本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質,直線與橢圓的綜合應用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.18、(1);(2)當=0時,點O到直線MN的距離為定值.【解析】
(1)的面積最大時,是短軸端點,由此可得,再由離心率及可得,從而得橢圓方程;(2)在直線斜率存在時,設其方程為,現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立消元()后應用韋達定理得,注意,一是計算,二是計算原點到直線的距離,兩者比較可得結論.【詳解】(1)因為在橢圓上,當是短軸端點時,到軸距離最大,此時面積最大,所以,由,解得,所以橢圓方程為.(2)在時,設直線方程為,原點到此直線的距離為,即,由,得,,,所以,,,所以當時,,,為常數(shù).若,則,,,,,綜上所述,當=0時,點O到直線MN的距離為定值.【點睛】本題考查求橢圓方程與橢圓的幾何性質,考查直線與橢圓的位置關系,考查運算求解能力.解題方法是“設而不求”法.在直線與圓錐曲線相交時常用此法通過韋達定理聯(lián)系已知式與待求式.19、(1)當時,的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是;當時,的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是;(2),證明見解析.【解析】
(1)求出,對分類討論,分別求出的解,即可得出結論;(2)由(1)得出有兩解時的范圍,以及關系,將,等價轉化為證明,不妨設,令,則,即證,構造函數(shù),只要證明對于任意恒成立即可.【詳解】(1)的定義域為R,且.由,得;由,得.故當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是;當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.(2)由(1)知當時,,且.當時,;當時,.當時,直線與的圖像有兩個交點,實數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個不等實根,,,,,,即.要證,只需證,即證,不妨設.令,則,則要證,即證.令,則.令,則,在上單調遞增,.,在上單調遞增,,即成立,即成立..【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用,涉及到函數(shù)單調性、極值、零點、不等式證明,構造函數(shù)函數(shù)是解題的關鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力,屬于較難題.20、(1);(2)或.【解析】
(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消去,得到關于的一元二次方程,根據(jù)根的判別式,即可求出結論;(2)設,由(1)可得關系,再由直線l過點,可得,進而建立關于的方程,求解即可.【詳解】(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組有兩個不同的實數(shù)根,整理得,,解得且.雙曲線C與直線l有兩個不同交點時,k的取值范圍是.(2)設交點,直線l與y軸交于點,,.,即,整理得,解得或或.又,或時,的面積為.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系、三角形面積計算,要熟練掌握根與系數(shù)關系解決相交弦問題,考查計
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