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文檔簡介
2025屆江蘇省鎮(zhèn)江市重點中學(xué)高考仿真卷數(shù)學(xué)試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,矩形ABCD中,,,E是AD的中點,將沿BE折起至,記二面角的平面角為,直線與平面BCDE所成的角為,與BC所成的角為,有如下兩個命題:①對滿足題意的任意的的位置,;②對滿足題意的任意的的位置,,則()A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立C.命題①成立,命題②不成立 D.命題①不成立,命題②成立2.對于函數(shù),定義滿足的實數(shù)為的不動點,設(shè),其中且,若有且僅有一個不動點,則的取值范圍是()A.或 B.C.或 D.3.直線l過拋物線的焦點且與拋物線交于A,B兩點,則的最小值是A.10 B.9 C.8 D.74.在中,點為中點,過點的直線與,所在直線分別交于點,,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.5.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.6.將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.127.如圖,已知三棱錐中,平面平面,記二面角的平面角為,直線與平面所成角為,直線與平面所成角為,則()A. B. C. D.8.以下關(guān)于的命題,正確的是A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.直線需是函數(shù)圖象的一條對稱軸C.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心D.將函數(shù)圖象向左平移需個單位,可得到的圖象9.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.2410.設(shè)不等式組,表示的平面區(qū)域為,在區(qū)域內(nèi)任取一點,則點的坐標(biāo)滿足不等式的概率為A. B.C. D.11.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個根,,且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知數(shù)列中,,且當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,.則此數(shù)列的前項的和為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)()的圖象與直線相切,則______.14.雙曲線的焦距為__________,漸近線方程為________.15.為了了解一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進行檢測,如圖是檢測結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.16.已知,,是平面向量,是單位向量.若,,且,則的取值范圍是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)根據(jù)國家統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù),1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元,實際增長了242倍多,綜合國力大幅提升.將年份1978,1988,1998,2008,2018分別用1,2,3,4,5代替,并表示為;表示全國GDP總量,表中,.326.4741.90310209.7614.05(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及統(tǒng)計圖表,判斷與(其中為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由),并求出關(guān)于的回歸方程.(2)使用參考數(shù)據(jù),估計2020年的全國GDP總量.線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,.參考數(shù)據(jù):45678的近似值551484031097298118.(12分)已知函數(shù).(1)求證:當(dāng)時,;(2)若對任意存在和使成立,求實數(shù)的最小值.19.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,,是線段的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺.校團委、學(xué)生會從在校學(xué)生中隨機抽取了160名學(xué)生,對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82821.(12分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)記為的前項和.若,求.22.(10分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
作出二面角的補角、線面角、線線角的補角,由此判斷出兩個命題的正確性.【詳解】①如圖所示,過作平面,垂足為,連接,作,連接.由圖可知,,所以,所以①正確.②由于,所以與所成角,所以,所以②正確.綜上所述,①②都正確.故選:A【點睛】本題考查了折疊問題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.2、C【解析】
根據(jù)不動點的定義,利用換底公式分離參數(shù)可得;構(gòu)造函數(shù),并討論的單調(diào)性與最值,畫出函數(shù)圖象,即可確定的取值范圍.【詳解】由得,.令,則,令,解得,所以當(dāng)時,,則在內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,則在內(nèi)單調(diào)遞減;所以在處取得極大值,即最大值為,則的圖象如下圖所示:由有且僅有一個不動點,可得得或,解得或.故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值,分離參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)方法的應(yīng)用,屬于中檔題.3、B【解析】
根據(jù)拋物線中過焦點的兩段線段關(guān)系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知p=2因為直線l過拋物線的焦點,由過拋物線焦點的弦的性質(zhì)可知所以因為為線段長度,都大于0,由基本不等式可知,此時所以選B【點睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡單應(yīng)用,基本不等式的用法,屬于中檔題.4、B【解析】
由,,三點共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因為點為中點,所以,又因為,,所以.因為,,三點共線,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立,所以的最小值為1.故選:B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.【點睛】本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.6、D【解析】
推導(dǎo)出,且,,,設(shè)中點為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設(shè)中點為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應(yīng)用,屬于中檔題.7、A【解析】
作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時取等號.故.故選:A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.8、D【解析】
利用輔助角公式化簡函數(shù)得到,再逐項判斷正誤得到答案.【詳解】A選項,函數(shù)先增后減,錯誤B選項,不是函數(shù)對稱軸,錯誤C選項,,不是對稱中心,錯誤D選項,圖象向左平移需個單位得到,正確故答案選D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性,對稱軸,對稱中心,平移,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,其中化簡三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.10、A【解析】
畫出不等式組表示的區(qū)域,求出其面積,再得到在區(qū)域內(nèi)的面積,根據(jù)幾何概型的公式,得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域,易知,所以的面積為,滿足不等式的點,在區(qū)域內(nèi)是一個以原點為圓心,為半徑的圓面,其面積為,由幾何概型的公式可得其概率為,故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域,求幾何概型,屬于簡單題.11、C【解析】
先利用三角恒等變換將題中的方程化簡,構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)分組求和法,利用等差數(shù)列的前項和公式求出前項的奇數(shù)項的和,利用等比數(shù)列的前項和公式求出前項的偶數(shù)項的和,進而可求解.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時,,則數(shù)列奇數(shù)項是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,當(dāng)為偶數(shù)時,,則數(shù)列中每個偶數(shù)項加是以為首項,以為公比的等比數(shù)列.所以.故選:A【點睛】本題考查了數(shù)列分組求和、等差數(shù)列的前項和公式、等比數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
設(shè)切點由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè),因為,所以,即,又,.所以,即,.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度較易.14、6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.15、100.【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點睛:頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為,因此每一個小矩形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時常犯的錯誤.16、【解析】
先由題意設(shè)向量的坐標(biāo),再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算及不等式可得解.【詳解】由是單位向量.若,,設(shè),則,,又,則,則,則,又,所以,(當(dāng)或時取等)即的取值范圍是,,故答案為:,.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)148萬億元.【解析】
(1)由散點圖知更適宜,對兩邊取自然對數(shù)得,令,,,則,再利用線性回歸方程的計算公式計算即可;(2)將代入所求的回歸方程中計算即可.【詳解】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)及圖表可以判斷,更適宜作為全國GDP總量關(guān)于的回歸方程.對兩邊取自然對數(shù)得,令,,,得.因為,所以,所以關(guān)于的線性回歸方程為,所以關(guān)于的回歸方程為.(2)將代入,其中,于是2020年的全國GDP總量約為:萬億元.【點睛】本題考查非線性回歸方程的應(yīng)用,在處理非線性回歸方程時,先作變換,轉(zhuǎn)化成線性回歸直線方程來處理,是一道中檔題.18、(1)見解析;(2)【解析】
(1)不等式等價于,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)可證恒成立,從而原不等式成立.(2)由題設(shè)條件可得在上有兩個不同零點,且,利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性后可得其最小值,結(jié)合前述的集合的包含關(guān)系可得的取值范圍.【詳解】(1)設(shè),則,當(dāng)時,由,所以在上是減函數(shù),所以,故.因為,所以,所以當(dāng)時,.(2)由(1)當(dāng)時,;任意,存在和使成立,所以在上有兩個不同零點,且,(1)當(dāng)時,在上為減函數(shù),不合題意;(2)當(dāng)時,,由題意知在上不單調(diào),所以,即,當(dāng)時,,時,,所以在上遞減,在上遞增,所以,解得,因為,所以成立,下面證明存在,使得,取,先證明,即證,令,則在時恒成立,所以成立,因為,所以時命題成立.因為,所以.故實數(shù)的最小值為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在不等式恒成立、等式能成立中的應(yīng)用,前者注意將欲證不等式合理變形,轉(zhuǎn)化為容易證明的新不等式,后者需根據(jù)等式能成立的特點確定出函數(shù)應(yīng)該具有的性質(zhì),再利用導(dǎo)數(shù)研究該性質(zhì),本題屬于難題.19、(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點為,根據(jù)幾何關(guān)系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,.如下圖所示:因為,分別是線段和的中點,所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因為,,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為,且平面,故可以為原點,的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:不妨設(shè),則,所以,,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則所以可取.設(shè)直線與平面所成的角為,則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及用向量法求解線面角,屬綜合中檔題.20、(1)有99%把握認(rèn)為愿意參加新生
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