浙江省杭州市第二中學(xué)2025屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

浙江省杭州市第二中學(xué)2025屆高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米2．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若,,則 B．若，,則C．若,,則 D．若,,則3．關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，下列敘述正確的是（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．先遞減后遞增 D．先遞增后遞減4．函數(shù)的圖像大致為（）.A． B．C． D．5．已知向量，若，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．6．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．7．上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年8．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x9．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．2010．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結(jié)論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④11．已知α，β表示兩個不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件12．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米，用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價格分別為30元和20元，那么圓桶造價最低為________元.14．某大學(xué)、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)占本校總?cè)藬?shù)的比例依次為、、、，現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個專業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況，則專業(yè)應(yīng)抽取_________人．15．的展開式中的系數(shù)為________________．16．已知多項式滿足，則_________，__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著現(xiàn)代社會的發(fā)展，我國對于環(huán)境保護(hù)越來越重視，企業(yè)的環(huán)保意識也越來越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，并制定如下方案：每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費(fèi)用預(yù)算定為1200萬元，日常全天候開啟3套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)，若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則立即檢查污染源處理系統(tǒng)；若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，則立即同時啟動另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時的監(jiān)測，且后啟動的這2套監(jiān)測系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)，也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個時間段（以1小時為計量單位）被每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)的概率均為，且各個時間段每套系統(tǒng)監(jiān)測出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.（1）當(dāng)時，求某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）若每套環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時（不啟動則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用），除運(yùn)行費(fèi)用外，所有的環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬元.現(xiàn)以此方案實施，問該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測費(fèi)用是否會超過預(yù)算(全年按9000小時計算)？并說明理由.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上任意一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足（分別為直線的斜率），求的面積為時直線的方程.20．（12分）已知動圓E與圓外切，并與直線相切，記動圓圓心E的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點(diǎn)的直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，若曲線C上存在點(diǎn)P使得，求直線l的斜率k的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)是，，在橢圓上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點(diǎn).連接、與軸交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關(guān)系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或．【詳解】設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，，則或，故B錯誤；在C中，若，，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，，則與平行或，故D錯誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔題．3、C【解析】

先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項D；根據(jù)特殊值排除選項C;由,且無限接近于0時,排除選項B；【詳解】對于選項D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項D排除;對于選項C：因為,故選項C排除;對于選項B:當(dāng),且無限接近于0時,接近于,，此時.故選項B排除;故選項:A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.5、D【解析】

由兩向量垂直可得，整理后可知，將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解：，，即，將和代入，得出，所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對于向量問題，若已知垂直，通?？傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0，繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡、整理.6、B【解析】

計算求半徑為，再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.7、D【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項．【詳解】解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運(yùn)用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．8、A【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點(diǎn)睛：已知雙曲線方程x2a29、B【解析】

化簡得到，再計算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計算能力.10、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當(dāng)變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.11、A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．12、A【解析】

先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因為，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，注意計算的準(zhǔn)確度，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)桶的底面半徑為，用表示出桶的總造價，利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為，高為，則，故，圓通的造價為解法一：當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.解法二：，則，令，即，解得，此函數(shù)在單調(diào)遞增；令，即，解得，此函數(shù)在上單調(diào)遞減；令，即，解得，即當(dāng)時，圓桶的造價最低.所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

求出專業(yè)人數(shù)在、、、四個專業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得．【詳解】由題意、、、四個不同的專業(yè)人數(shù)的比例為，故專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，根據(jù)分層抽樣的定義，在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的．15、【解析】

在二項展開式的通項中令的指數(shù)為，求出參數(shù)值，然后代入通項可得出結(jié)果.【詳解】的展開式的通項為，令，因此，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，涉及二項展開式通項的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】∵多項式滿足∴令，得，則∴∴該多項式的一次項系數(shù)為∴∴∴令，得故答案為5，72三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不會超過預(yù)算，理由見解析【解析】

（1）求出某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為，可得某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率；（2）設(shè)某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元，則的可能取值為900，1500.求得，，求得其分布列和期望，對其求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，可得期望的最大值，從而得出結(jié)論.【詳解】（1）某個時間段在開啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個時間段在需要開啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為某個時間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為.（2）設(shè)某個時間段環(huán)境監(jiān)測系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元，則的可能取值為900，1500.，令,則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減,的最大值為,實施此方案，最高費(fèi)用為（萬元），，故不會超過預(yù)算.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望，及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值，由根據(jù)期望值確定方案，此類題目解決的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量，屬于中檔題.18、（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】

（1）對a分三種情況討論求出函數(shù)的單調(diào)性；（2）對a分三種情況，先求出每一種情況下函數(shù)f(x)的最小值，再解不等式得解.【詳解】（1），當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知：當(dāng)時，，∴成立.當(dāng)時，，，∴.當(dāng)時，，，∴，即.綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）（2）或【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義求得，得橢圓方程；（2）設(shè)，由得，應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入已知條件可得，再由橢圓中弦長公式求得弦長，原點(diǎn)到直線的距離，得三角形面積，從而可求得，得直線方程．【詳解】解：（1）據(jù)題意設(shè)橢圓的方程為則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）據(jù)得設(shè)，則又原點(diǎn)到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓相交問題．解題時采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，把這個結(jié)論代入題中條件求得參數(shù)，用它求弦長等等，從而解決問題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)直線與拋物線相交則，結(jié)合由得到的斜率關(guān)系，即可求得斜率的范圍.【詳解】（1）因為動圓與圓外切，并與直線相切，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離大.因為圓的半徑為，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以圓心的軌跡為拋物線，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為.所以曲線的方程.