新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)專題08 立體幾何 多選題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題08立體幾何多選題1．（浙江省浙南名校、七彩陽光聯(lián)盟2023屆高三下學(xué)期2月返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）正方體中，與平面，平面的分別交于點E，F(xiàn)，則有（

）A． B．C．與所成角為 D．與平面所成角為【答案】ABD【分析】利用線線垂直證明線面垂直，再利用線面垂直證明線線垂直判斷A項；根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換，即可求點B到面的距離，進(jìn)而判斷B項；把異面直線平移到同一個平面即可判斷C項；可證平面，則直線與平面所成的角為，即可判斷D項．【詳解】對A選項，∵平面，∴，又，且，平面，平面，∴平面，又平面，∴，故A正確；對B選項，由選項A知，，又平面，平面，∴，且，平面，平面，∴平面，即平面，同理平面，故點到面的距離為.設(shè)正方體棱長為2，因為為正三角形，所以，又.根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：，即，即，所以，同理，又，∴，故B正確；對C選項，∵，∴（或其補角）即為異面直線與所成角，∵四邊形為正方形，∴，∴與所成角為，故C錯誤；對D選項，∵平面，∴，又，且，平面，平面，∴平面，設(shè)，則平面，連接，如圖由線面角的定義知，為與平面所成角，設(shè)正方體棱長為2，則，，∴，∵，∴，∴與平面所成角為，故D正確；故選：ABD.2．（湖南省四大名校名師團(tuán)隊2023屆高三普通高校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬沖刺卷（一））已知正四棱錐的所有棱長均為，，分別是，的中點，為棱上異于，的一動點，則以下結(jié)論正確的是（

）A．異面直線、所成角的大小為B．直線與平面所成角的正弦值為C．周長的最小值為D．存在點使得平面【答案】BC【分析】根據(jù)空間中異面直線所成角，直線與平面所成角的定義，空間中折疊問題以及垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐個選項運算求解即可．【詳解】如圖，取的中點，連接，，因為，分別是，的中點，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，則，又正四棱錐的所有棱長均為，則，所以異面直線，所成角為，故A錯誤；設(shè)正方形的中心為，連接，，則平面，，設(shè)的中點為，連接，，則，且平面，所以為直線與平面所成角，所以，中，，，，所以由余弦定理可得，所以，所以，故B正確；將正和沿翻折到一個平面內(nèi)，如圖，當(dāng)，，三點共線時，取得最小值，此時，點為的中點，，所以周長的最小值為，故C正確；若平面，則，此時點為上靠近點的四等分點，而此時，與顯然不垂直，故D錯誤；故選：BC．3．（浙江省嘉興市平湖市2023屆高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題）已知正方體的棱長為2，，分別為，的中點，且與正方體的內(nèi)切球（為球心）交于，兩點，則下列說法正確的是（

）A．線段的長為B．過，，三點的平面截正方體所得的截面面積為C．三棱錐的體積為D．設(shè)為球上任意一點，則與所成角的范圍是【答案】BC【分析】過，，三點的截面為正六邊形，球心為其中心，作出圖形在正六邊形中求出判斷A，求出正六邊形面積判斷B，由等體積法求出三棱錐體積判斷C，分析與所成角的最大最小值判斷D.【詳解】過，，三點的截面為正六邊形，球心為其中心，如圖，在正六邊形中，，點到的距離為，，所以，故A錯誤；正六邊形的面積，故B正確；，故C正確；、、為球的切線，故當(dāng)為中點時，與所成角最小為0，，所以，當(dāng)與球相切且P在平面OAC內(nèi)時，為或的中點時，與所成角最大為，故D錯誤.故選：BC.4．（浙江省寧波市十校2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）正方體的棱長為1，點滿足，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則三棱錐的體積為定值C．若點總滿足，則動點的軌跡是一條直線D．若點到點的距離為，則動點的軌跡是一個面積為的圓【答案】ABC【分析】作出圖形，利用線面垂直、平行的判定定理和性質(zhì)定理逐項分析檢驗即可求解.【詳解】對于，因為且，由向量基本定理可知：點共線，如圖，連接，在正方體中，，平面，因為平面，所以，又，所以平面，在上任取一點，連接，則平面，所以，在正方體中，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則，故選項正確；對于，如圖，連接，因為且，由向量基本定理可知：點共線，即點在直線上，在正方體中，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，則直線上任意一點到平面的距離相等，又因為的面積為一定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項正確；對于，如圖，連接，在正方體中，，平面，因為平面，所以，又，所以平面，平面，所以，同理，有，所以平面，因為點滿足，所以點在側(cè)面所在的平面上運動，且，所以動點的軌跡就是直線，故選項正確；對于，因為點到點的距離為，所以點的軌跡是以為球心，半徑為的球面與平面的交線，即點的軌跡為小圓，設(shè)小圓半徑為，因為球心到平面的距離為1，則，所以小圓的面積為，故選項錯誤；故選：.5．（江蘇省南京市、鹽城市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，圓柱的底面半徑為1，高為2，矩形是其軸截面，過點A的平面與圓柱底面所成的銳二面角為，平面截圓柱側(cè)面所得的曲線為橢圓，截母線得點，則（

）A．橢圓的短軸長為2B．的最大值為2C．橢圓的離心率的最大值為D．【答案】ACD【分析】短軸長為底面圓直徑，可以判斷A選項；的最大值為，可以判斷B選項；長軸長最長為時，可以判斷C選項；利用幾何關(guān)系判斷D選項；【詳解】橢圓在底面上的投影為底面圓，所以短軸長為底面圓直徑，即為2，故A正確；當(dāng)平面過AC時，的最大值為，故B錯誤；橢圓短軸長為定值2，所以長軸長最長為時，離心率最大為，故C正確；過作橢圓所在平面和底面的交線垂線，垂足為，連接AE，設(shè)則，由題意可得，由余弦定理可得，由，則，由題意可得，所以，故D正確.故選:ACD.6．（江蘇省南通市基地大聯(lián)考2023屆高三下學(xué)期3月重點熱點診斷測試數(shù)學(xué)試題）在正方體中，點P滿足，則（

）A．若，則AP與BD所成角為 B．若，則C．平面 D．【答案】BCD【分析】與BD所成角為與所成角，為，A錯誤，建系得到，B正確，故面面，C正確，，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：時P與重合，與BD所成角為與所成角，為等邊三角形，則AP與BD所成角為，錯誤；對選項B：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令，，，，，，，正確；對選項C：，平面，平面，故平面，同理可得平面，，故面面，平面，平面，正確；對選項D：，，，正確．故選：BCD7．（遼寧省錦州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）已知正方體的棱長為1，是線段上的動點，則下列說法正確的是,（

）A．存在點使 B．點到平面的距離為C．的最小值是 D．三棱錐的體積為定值【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，當(dāng)時，，此時與重合，所以A選項正確.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點到平面的距離為，B選項錯誤.，，，所以當(dāng)時，取得最小值為，C選項錯誤.，為定值，D選項正確.故選：AD8．（江蘇省南京市、鹽城市2023屆高三上學(xué)期期末調(diào)研反饋數(shù)學(xué)練習(xí)題）在長方體中，，則（

）A．與是異面直線 B．與是異面直線C．異面直線與的距離為1 D．異面直線與的距離為【答案】ABD【分析】利用異面直線的定義判斷選項AB，求出異面直線與的距離為2，即可判斷選項C,把異面直線與的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，再轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，再利用等體積法求解判斷.【詳解】如圖所示，與是異面直線，與是異面直線，所以選項AB正確；由正方體得平面，所以.又,所以是異面直線與的公垂線段，又，所以異面直線與的距離為2，所以選項C錯誤；因為平面,平面，所以平面，所以到平面的距離就是異面直線與的距離，即點到平面的距離就是異面直線與的距離.設(shè)距離為由題得.因為.所以異面直線與的距離為，所以選項D正確.故選：ABD9．（遼寧省名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為，的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】BCD【分析】以點為坐標(biāo)原點，以，，方向為，，軸為正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線與面的平行與垂直的向量求法對選項一一驗證即可.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，以，，方向為，，軸為正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，則，，，，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，則，則平面，故A正確；，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，則與平面不平行，故B錯誤；，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，則與平面不垂直，故C錯誤；，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，則與平面不垂直，故D錯誤；故選：BCD.10．（河北省石家莊市2023屆高三質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題）已知正方體的棱長為2，M，N分別是，的中點，則（

）A．B．C．平面截此正方體所得截面的周長為D．三棱錐的體積為3【答案】BC【分析】建立坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)的關(guān)系判定A,B選項的正誤，把截面作出來，根據(jù)截面形狀可求周長，利用等體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求三棱錐的體積.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則;,;因為，所以與不平行，A不正確；因為，所以，B正確；如圖，取的中點,取的中點，連接，由正方體的性質(zhì)可知，；因為分別為的中點，所以，所以；平面截正方體所得截面為梯形，因為正方體的棱長為2，所以,，所以平面截此正方體所得截面的周長為，C正確；由上面分析可知，，平面，平面，所以平面，即點到平面的距離等于點到平面的距離；，而，所以三棱錐的體積為1，D不正確.故選：BC.11．（福建省漳州市2023屆高三畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）在正方體中，為線段上的動點，則（

）A．平面B．平面C．三棱錐的體積為定值D．直線與所成角的取值范圍是【答案】ABC【分析】根據(jù)面面平行的判定定理證明出平面平面，判斷選項A；根據(jù)線面垂直的判定定理證出平面，判斷選項B；根據(jù)三棱錐的等體積轉(zhuǎn)換結(jié)合面面平行，判斷選項C；根據(jù)異面直線所成角的平移，判斷選項D．【詳解】選項A，，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面；，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面；又，且平面，平面，所以平面平面，而為線段上的動點，平面，平面，正確；平面，平面，，，，平面，平面，而平面，，同理可證，，又，平面，平面，正確；選項C，三棱錐的體積即為三棱錐的體積，由選項A可得，平面，平面平面，則到平面的距離為定值，又底面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，正確；選項D，，直線與所成角即直線與所成角，在中，當(dāng)點與或重合時，取到最小值，當(dāng)點在線段中點時，取到最大值，故錯誤.故選：ABC.12．（山東省日照市2023屆高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題）已知正方體過對角線作平面交棱于點，交棱于點F，則（

）A．平面分正方體所得兩部分的體積相等B．四邊形一定是菱形C．四邊形的面積有最大值也有最小值D．平面與平面始終垂直【答案】AC【分析】利用正方體的對稱性即可判斷A正確；由平行平面的性質(zhì)和的大小可判斷B錯誤；結(jié)合異面直線距離說明四邊形的面積最小值和最大值取法，判斷C正確；只有當(dāng)平面時，才有平面平面，判斷D錯誤.【詳解】對于A：由正方體的對稱性可知，平面分正方體所得兩部分的體積相等，故A正確；對于B：因為平面，平面平面，平面平面，∴.同理可證：，故四邊形是平行四邊形，當(dāng)E不是的中點時，,此時四邊形不是菱形，故B錯誤；對于C：由B得四邊形一定是平行四邊形，所以四邊形的面積等于三角形面積的兩倍，而為定值，所以當(dāng)?shù)街本€距離最大時，三角形面積取最大值，因為為棱中點時,到直線距離恰為異面直線距離，即為最小值，此時三角形面積取最小值，即四邊形的面積取最小值.因此當(dāng)E與A重合或重合時，三角形面積取最大值，即四邊形的面積即取最大值，故C正確；對于D：因為平面平面，又平面平面，所以只有當(dāng)平面時，才有平面平面，故D錯誤.故選：AC13．（山東省淄博市2023屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個動點，則（

）A．存在唯一點，使得B．存在唯一點，使得直線與平面所成的角取到最小值C．若，則三棱錐外接球的表面積為D．若異面直線與所成的角為，則動點的軌跡是拋物線的一部分【答案】BCD【分析】由線面垂直得線線垂直來確定點位置，判斷選項A；幾何法找線面角，當(dāng)角最小時確定點位置，判斷選項B；為中點時，求三棱錐外接球的半徑，計算外接球的表面積，判斷選項C；利用向量法解決異面直線所成角的問題，求出動點的軌跡，判斷選項D.【詳解】對于A選項：正方形中，有，正方體中有平面，平面，，又，平面，平面，只要平面，就有，在線段上，有無數(shù)個點，A選項錯誤；對于B選項：平面，直線與平面所成的角為，，取到最小值時，最大，此時點與點重合，B選項正確；對于C選項：若，則為中點，為等腰直角三角形，外接圓半徑為，三棱錐外接球的球心到平面的距離為，則外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，C選項正確；對于D選項：以D為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則有，，有，化簡得，是正方形內(nèi)部(含邊界)的一個動點，所以的軌跡是拋物線的一部分，D選項正確.故選：BCD14．（湖北省七市（州）2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)合統(tǒng)一調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，，的中點，點P為線段上的動點，則（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．存在點P，使得平面C．對任意點P，平面平面D．點到直線的距離為4【答案】BCD【分析】根據(jù)異面直線所成角的概念結(jié)合正方體的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，然后根據(jù)線線垂直的判定定理可判斷C，利用余弦定理結(jié)合條件可判斷D.【詳解】對于A，由正方體的性質(zhì)可知，兩條異面直線和所成的角即為，所以A錯誤；對于B，當(dāng)點P與點重合時，由題可知，所以，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，則平面，所以B正確；對于C，連結(jié)，由于平面，平面，故，又，故，故，即，故，又相交，平面，故平面，又平面，故對任意點，平面平面，所以C正確；對于D，由正方體的性質(zhì)可得，，所以，所以，所以點到直線的距離，所以D正確．故選：BCD．15．（湖南省長沙市雅禮中學(xué)2023屆高三下學(xué)期月考（七）數(shù)學(xué)試題）在如圖所示試驗裝置中，兩個長方形框架與全等，，，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子分別在長方形對角線與上移動，且，則下列說法正確的是（

）A．B．的長最小等于C．當(dāng)?shù)拈L最小時，平面與平面所成夾角的余弦值為D．【答案】ABC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積的運算即可判斷選項；利用空間兩點間距離公式即可判斷選項；根據(jù)二面角的余弦值推導(dǎo)即可判斷選項；根據(jù)棱錐的體積計算公式即可判斷選項.【詳解】由題意可知：兩兩互相垂直，以點為坐標(biāo)原點，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，建系可得，，故選項正確；又，當(dāng)時，，故選項正確；當(dāng)最小時，分別是的中點，取中點，連接和，，，是二面角的平面角.中，，可得，同理可得，由余弦定理可得，故選項正確；，故選項錯誤.故選：.16．（云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期第二學(xué)段模塊考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長為2的正方體中為上的動點，則（

）A．三棱錐的體積為B．對任意點平面C．線段長度的最小值為2D．設(shè)與平面所成角的大小為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行可得平面,進(jìn)而根據(jù)等體積法即可判斷A,根據(jù)面面平行可得線面平行即可判斷B，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可判斷C，根據(jù)線面角的幾何法可得與平面所成角為，進(jìn)而根據(jù)的范圍即可判斷D.【詳解】由于平面,平面,故平面，為上的動點，故平面,三棱錐的體積為，故A正確：如圖，連接，在正方體中，，平面,,平面,故平面,同理平面,又，平面,所以平面平面，因為平面，所以平面故B正確；易知為正三角形，當(dāng)為中點時，故C錯誤；如圖，在上取點，使得，連接，，故四邊形為平行四邊形，因為平面，所以平面，所以與平面所成角為，由于為等腰直角三角形，故，所以，故D正確，故選:ABD17．（廣東省梅州市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點；為棱上的動點（含端點），過點A??作三棱柱的截面，且交于，則（

）A．線段的最小值為 B．棱上的不存在點，使得平面C．棱上的存在點，使得 D．當(dāng)為棱的中點時，【答案】ABD【分析】如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法研究空間位置關(guān)系，求線段長，從而判斷各選項．【詳解】如圖，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由于與底面垂直，因此當(dāng)與重合時，在平面內(nèi)，，此時最小為，A正確；，，若，與不垂直，因此不可能與平面垂直，B正確；設(shè)，則，，若，則，即，此方程無實數(shù)解，因此棱上的不存在點，使得，C錯；是中點時，，，D正確．故選：ABD．18．（廣東省佛山市2023屆高三教學(xué)質(zhì)量檢測（一）數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，點M是棱上的動點（不含端點），則（

）A．過點M有且僅有一條直線與AB，都垂直B．有且僅有一個點M到AB，的距離相等C．過點M有且僅有一條直線與，都相交D．有且僅有一個點M滿足平面平面【答案】ABC【分析】逐個分析每個選項即可.【詳解】對于選項A，設(shè)過點M與AB、都垂直的直線為l，∵，∴，又∵，，、面，∴面，而過點M作平面的垂線有且只有一條直線，即為：．∴過點M有且僅有一條直線與AB、都垂直.故選項A正確；對于選項B，連接MA，，由題意知，AB面，面，∴ABMA，，即：MA為點M到AB的距離，為點M到的距離，在中，，在中，，又∵∴當(dāng)時，，即：當(dāng)M為的中點時，點M到AB、的距離相等，即：有且僅有一個點M到AB、的距離相等.故選項B正確；對于選項C，如圖所示，連接AC、BD交于點O，連接、交于點，連接交于點N，則面，又因為面，且，，所以連接MN必與交于點G，即：過點M有且僅有一條直線與、都相交.故選項C正確；對于選項D，設(shè)正方體的邊長為2，以點D為原點，分別以DA、DC、為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，設(shè)，，則，，，，設(shè)面的一個法向量為，當(dāng)時，取，則，，當(dāng)時，取，則，，則，設(shè)面（即：面）的一個法向量為取，則，，則，當(dāng)時，，此時面與面不垂直，當(dāng)時，，所以面與面不垂直，所以不存在過點M滿足面面.故選項D錯誤；故選：ABC.19．（貴州省六盤水市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題）已知正四面體的棱長為2，、分別是和的中點，下列說法正確的是（

）A．直線與直線互相垂直B．線段的長為C．直線與平面所成角的正弦值為D．正四面體內(nèi)存在點到四個面的距離都為【答案】ACD【分析】取的中點，連接，證明平面，即可判斷A；根據(jù)空間向量基本定理及數(shù)量積的運算律計算即可判斷B；連接交于點，則點為點在平面上的投影，則即為直線與平面所成角的平面角，求出即可判斷C；利用等體積法求出正四面體的內(nèi)切球的半徑即可判斷D.【詳解】對于A，取的中點，連接，因為，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B，，，則，故B錯誤；對于C，連接交于點，連接，則為的中心，則點為點在平面上的投影，即平面，則即為直線與平面所成角的平面角，在中，，，則，即直線與平面所成角的正弦值為，故C正確；對于D，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，則，所以，所以正四面體內(nèi)存在點到四個面的距離都為，故D正確.故選：ACD.20．（廣東省湛江市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）在棱長為2的正方體中，點E，F(xiàn)分別為棱BC與的中點，則下列選項正確的有（

）A．平面B．與所成的角為30°C．平面D．平面截正方體的截面面積為【答案】ABD【分析】設(shè)點M為棱的中點，得到四邊形為平行四邊形，利用線面平行的判定定理，證得平面，可判定A正確；再得到四邊形為菱形，求得截面的面積，可判定D正確；設(shè)的中點為N，證得，得到為與所成的角，利用余弦定理求得，可判定B正確；假設(shè)平面正確，得到，結(jié)合，證得平面，得到，進(jìn)而判定C錯誤．【詳解】如圖1所示，設(shè)點M為棱的中點，則平行且相等，所以四邊形為平行四邊形，又，平面，平面，所以平面，故A正確；由上可知，四邊形為平面截正方體的截面，易得，故四邊形為菱形，又其對角線，，故其面積為，故D正確；設(shè)的中點為，連接，因為分別為與的中點，所以，故為與所成的角，又，，由余弦定理可得，所以與所成的角為，故B正確；如圖2所示，假設(shè)平面正確，則，又，，所以平面，得．在正方形中，，顯然不成立，所以假設(shè)錯誤，即平面錯誤，故C錯誤．故選：ABD．21．（福建省泉州市2023屆高三數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試題（三））在長方體中，，，點、在底面內(nèi)，直線與該長方體的每一條棱所成的角都相等，且，則（

）A．B．點的軌跡長度為C．三棱錐的體積為定值D．與該長方體的每個面所成的角都相等【答案】BCD【分析】將長方體補成正方體，連接、、、，設(shè)，，確定點的位置，求出的長，可判斷A選項；確定點的軌跡，求出點的軌跡的長度，可判斷B選項；利用錐體的體積公式可判斷C選項；利用線面角的定義可判斷D選項.【詳解】如下圖所所示，將長方體補成正方體，連接、、、，設(shè)，，易知與正方體的每一條棱所成的角都相等，所以，與底面的交點即為點.對于A選項，，A錯；對于B選項，因為平面，平面，則，又因為四邊形為正方形，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，同理，，因為，、平面，則平面，故平面，因為，所以，平面，即平面，又因為平面，平面平面，所以，，所以，點的軌跡為線段，且，B對；對于C選項，記點到平面的距離為，由，因為，則，則，故點為的中點，同理可知，為的中點，所以，，因為，，故四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，因為平面，平面，則平面，所以，點到平面的距離為定值，又因為的面積為定值，所以，三棱錐為定值，C對；對于D選項，因為到平面、平面、平面的距離都相等，易知，直線與正方體的每個面所成的角都想等，所以，與長方體的每一個面所成的角都相等，D對.故選：BCD.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.22．（山東省臨沂市2023屆高考模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試題）已知正方體的棱長為4，點分別是的中點，則（

）A．直線是異面直線 B．平面截正方體所得截面的面積為C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【分析】對于A，取的中點，連接，取的中點，連接，證明，即可判斷；對于B，延長交于點，連接交點，連接，說明平面截正方體所得截面為四邊形，從而可以判斷；對于C，連接，證明平面，再根據(jù)即可判斷；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為的中點，為三棱錐的外接球的球心，利用空間中兩點的距離公式求出球心及半徑即可判斷.【詳解】對于A，如圖，取的中點，連接，取的中點，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因，所以直線是異面直線，故A正確；對于B，如圖，延長交于點，連接交點，連接，因為為的中點，則，所以為的中點，因為，所以為的中點，則，因為，所以為平行四邊形，所以，所以，則平面截正方體所得截面為等腰梯形，在等腰梯形中，，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故B錯誤；對于C，連接，則，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又因為為的中點，所以三棱錐的高為，，所以，故C正確；對于D，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)為的中點，則為的外心，則三棱錐的外接球的球心在過點且垂直平面的直線上，設(shè)為，則平面，因為平面，所以，設(shè)，則，，因為，所以，所以，故，由，得，解得，所以三棱錐的外接球的半徑，表面積為，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題D選項的突破口是，建立空間直角坐標(biāo)系，先由球心與截面圓心連線垂直于截面得到平面，從而求出，由此得解.23．（湖北省八市2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）在棱長為2的正方體中，為中點，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．線段最小值為 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)得出平面平面，則根據(jù)已知得出點在線段上（含端點），對于選項A：當(dāng)為時，根據(jù)異面直線的平面角結(jié)合正方體的性質(zhì)得出與的夾角為，根據(jù)已知得出的三邊，即可得出為，即可判斷；對于選項B：三棱錐若以為頂點，為底面時，根據(jù)正方體性質(zhì)得出此時三棱錐的高為2，底面積為2，即可得出體積判斷；對于選項C：點在線段上（含端點），則時，線段最小，根據(jù)等面積法求出答案即可判斷；對于選項D：根據(jù)正方體性質(zhì)結(jié)合已知可得，則，即可根據(jù)的范圍得出的范圍判斷.【詳解】取、中點分別為、，連接、、、，，如下圖：為正方體，，，，，平面，平面，且，，平面平面，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），且平面，點在線段上（含端點），對于選項A：當(dāng)為時，，則與的夾角為，此時，則，則與不垂直，故A錯誤；對于選項B：為四邊形內(nèi)一點（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對于選項C：點在線段上（含端點），當(dāng)時，線段最小，，，在邊上的高為，則，則當(dāng)時，即，故C正確；對于選項D：為正方體，平面，平面，，為直角三角形，且直角為，，點在線段上（含端點），則當(dāng)最大時，即點為點時，此時，此時最小，為，當(dāng)最小時，即，此時，此時最大，為，則的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.24．（江蘇省揚州市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題）在四面體的四個面中，有公共棱的兩個面全等，，，，二面角大小為，下列說法中正確的有（

）A．四面體外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．若，，則D．若，，則【答案】ACD【分析】選項A：找出四面體得外接球得外接圓圓心和半徑即可；選項B：先確定底面，底面積確定，利用夾角的變化確定體積最大的時候的高即可；選項C：直接畫出二面角，然后計算其夾角即可；選項D：先過點畫的垂線，垂足為;過點畫的垂線，垂足為，然后二面角為與的夾角，利用基底法計算長度即可.【詳解】由題的示意圖，畫中點為，連接選項A：由題可知在中，，所以,又因為有公共棱的兩個面全等,，故,由直角三角形的性質(zhì)可知，,故該三棱錐的外接球球心為點，直徑為，所以外接球表面積為，故A正確；選項B：要使四面體的體積最大，則只需以為底面，在邊上的高為高即可；因為公共棱的兩個面全等，所以，所以有，已知，所以，所以體積最大時，該四面體的體積為，故B錯誤；選項C：分別過點畫邊的垂線，顯然垂足均為，則,得示意圖由選項B可知，又，，所以,由余弦定理的，因為在三角形中，所以，故C正確；選項D:如圖所示，過點畫的垂線，垂足為;過點畫的垂線，垂足為，因為，所以,因為，所以與的夾角為，由選項B可知，,所以,同理,由選項A可知所以，,所以得，所以，故D正確；故選：ACD25．（湖南省長沙市第一中學(xué)2023屆高三下學(xué)期月考（七）數(shù)學(xué)試題）在棱長為的正方體中，與平面相交于點，為內(nèi)一點，且，設(shè)直線PD與所成的角為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點P的軌跡是圓C．點的軌跡是橢圓 D．的取值范圍是【答案】ABD【分析】根據(jù)題意可得結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可證得平面，分析可得點即為的中心，結(jié)合可得，從而可得點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，轉(zhuǎn)化為是以底面半徑為，高為的圓錐的母線，分析求得的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，與平面相交于點，連接交于點，連接；由題意可知平面，平面，則；又因為，平面，所以平面，又平面，所以；同理可證，又，平面，所以平面；又因為，由正三棱錐性質(zhì)可得點即為的中心，連接；因為為的中點，交于點，連接，由平面，平面，則，所以選項A正確；即為的高，設(shè)，由正方體棱長為可知，，且的內(nèi)切圓半徑；所以；又，即可得，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以B正確，C錯誤；由平面，平面，則，所以，因此是以底面半徑為，高為的圓錐的母線，如圖所示:設(shè)圓錐母線與底面所成的角為，則，所以；即直線與平面所成的角為，又因為異面直線所成角的取值范圍是，直線在平面內(nèi)，所以直線PD與所成的角的取值范圍為,又因為，所以直線PD與所成的角的取值范圍為，即；即D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）通過比較與的內(nèi)切圓半徑的大小，得出動點的軌跡；（2）將直線PD與所成的角的最小值轉(zhuǎn)化為圓錐母線與底面所成的角.26．（廣東省六校（廣州二中、中山紀(jì)中、東莞中學(xué)、珠海一中、深圳實驗、惠州一中）2023屆高三第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，矩形中，，，為邊的中點，沿將折起，點折至處（平面），若為線段的中點，平面與平面所成銳二面角，直線與平面所成角為，則在折起過程中，下列說法正確的是（

）A．存在某個位置，使得B．面積的最大值為C．D．三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球的表面積【答案】BCD【分析】對于A，取的中點，連接，，先證明，再證明與不垂直，進(jìn)而可得結(jié)論；對于B，依題意先得到，從而可得到面積的最大值；對于C，取的中點，的中點，作平面，且點在平面內(nèi)，連接，，，先說明點在直線上，再證明，，得到，，進(jìn)而可得結(jié)論；對于D，先根據(jù)三棱錐的體積公式得到點與點重合，即平面時，最大，進(jìn)而可得到三棱錐的外接球的半徑和長、寬、高分別為，，的長方體的外接球的半徑相等，從而可求得其外接球的半徑，即可求解．【詳解】對于A，取的中點，連接，，顯然，且，又，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，，且為的中點，則與不垂直，所以與也不垂直，故A錯誤；對于B，由，，則，所以當(dāng)時，最大，且最大值為，故B正確；對于C，取的中點，的中點，作平面，且點在平面內(nèi)，連接，，，由，則，又，且，則，則在平面上的射影在直線上，即點在直線上，則平面與平面所成的二面角，則，所以，又在平面上的射影為，則，所以，所以，故C正確；對于D，結(jié)合C可知，，則當(dāng)點與點重合，即平面時，最大，且最大值為，則，又，且，則平面，所以，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的半徑和長、寬、高分別為，，的長方體的外接球的半徑相等，所以其外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，故D正確．故選：BCD．【點睛】三棱錐外接球點睛：求三棱錐外接球時，常見方法有兩種：一種是直接法，一種是補形．解題時要認(rèn)真分析圖形，看能否把三棱錐補成一個正方體(長方體)，若能，則正方體(長方體)的頂點均在球面上，正方體(長方體)的體對角線長等于球的直徑；另一種是直接法，三棱錐任意兩個面過外心的垂線的交點即為三棱錐外接球的球心．27．（廣東省深圳市2023屆高三第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題）如圖，已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為2和3，側(cè)棱長為1，點P在側(cè)面內(nèi)運動（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，則（

）A．CP長度的最小值為B．存在點P，使得C．存在點P，存在點，使得D．所有滿足條件的動線段AP形成的曲面面積為【答案】ACD【分析】先將正三棱臺側(cè)棱延長補成正三棱錐，求出點到平面的距離即可確定點的運動軌跡，再逐項分析即可.【詳解】依題意，延長正三棱臺側(cè)棱相交于點，取中點，中點，連接，則有，所以的延長線必過點且，過點作，則四邊形是邊長為1的菱形.如圖所示：在中，，即，解得，所以，所以為邊長為3等邊三角形，所以，所以，因為是邊長為3的等邊三角形且為中點，所以，，在中，由余弦定理變形得，，在中，由余弦定理變形得，，解得，所以，所以；由，可得平面，又平面，所以，由，，，可得平面，因為AP與平面所成角的正切值為，所以，解得，，所以點在平面的軌跡為，對于A：當(dāng)點運動到與的交點時有最小值，因為四邊形是邊長為1且的菱形，所以，所以，故A選項正確；對于B：要使得，則點必須落在平面與平面的交線上且，由圖易知，在平面中不存在這樣的點，故B選項錯誤；對于C：當(dāng)點運動到點時，連接，交于點，連接，由于平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，所以存在點P，存在點，使得，故C選項正確；對于D：設(shè)的長度為，則，動線段AP形成的曲面展開為兩個面積相等扇形，設(shè)其中一個的面積為,則有，因此所有滿足條件的動線段AP形成的曲面面積為，故D選項正確；故選：ACD.【點睛】本題考查了線面角的相關(guān)性質(zhì)與證明，先證明線垂直于平面是幾何法中求線面角的關(guān)鍵，線面垂直的證明，可先轉(zhuǎn)化為線線垂直的問題，利用等腰三角形性質(zhì)，勾股定理是證明線線垂直常用的方法，要求考生平時多加練習(xí)總結(jié)，熟練掌握線面平行垂直、面面平行垂直的判定定理及其相關(guān)性質(zhì)定理是高考的基本要求.28．（江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三下學(xué)期開學(xué)測試數(shù)學(xué)試題）如圖，在五面體ABCDE中，平面ABCD⊥平面ABEF，四邊形ABCD與四邊形ABEF全等，且，，則下列說法正確的是（

）A．B．若G為棱CE中點，則DF⊥平面ABGC．若AD=CD，則平面ADE⊥平面BDED．若，則平面ADE⊥平面BCE【答案】ABC【分析】對于A，利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，從而得以判斷；對于B，利用線面垂直的判定定理推得平面，由此判斷即可；對于C，利用面面垂直的的判定定理，結(jié)合勾股定理即可判斷；對于D，先證得與不重合，再推得平面平面，從而得到矛盾，由此判斷即可.【詳解】對于A，因為平面平面ABEF，，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，故A正確；對于B，取棱的中點，連接，如圖①，.因為四邊形ABCD與四邊形ABEF全等，所以，因為G為棱CE中點，所以，因為，平面，所以平面，由題意知，所以四邊形為平行四邊形，所以，則平面，故B正確；對于C，連接，如圖①，由題意知，所以，又在直角梯形中易知，所以，即，由選項A知，又平面，所以平面，又平面，所以平面ADE⊥平面BDE，故C正確；對于D，連接，過點作交的延長線于點，連接，如圖②，.由，得，所以，此時，所以，故與不重合，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，假設(shè)平面平面，因為與不重合，所以平面與平面不重合，又平面平面，則平面，因為平面，所以，又，所以，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，故平面與平面不垂直，故D錯誤.故選：ABC.29．（湖南省名校2023屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試考前演練一數(shù)學(xué)試題）如圖1，在中，，，，DE是的中位線，沿DE將進(jìn)行翻折，連接AB，AC得到四棱錐（如圖2），點F為AB的中點，在翻折過程中下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)點A與點C重合時，三角形ADE翻折旋轉(zhuǎn)所得的幾何體的表面積為B．四棱錐的體積的最大值為C．若三角形ACE為正三角形，則點F到平面ACD的距離為D．若異面直線AC與BD所成角的余弦值為，則A、C