新高考數(shù)學二輪復習考點講義第十一講三角函數(shù)概念和誘導公式（原卷版）

第十一講：三角函數(shù)概念和誘導公式【考點梳理】1．任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念(1)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）弧長與扇形面積公式扇形的弧長公式：SKIPIF1<0，扇形的面積公式：SKIPIF1<0．（3）任意角的三角函數(shù)借助單位圓定義：任意角SKIPIF1<0的終邊與單位圓交于點SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．借助終邊上點的坐標：，若取點SKIPIF1<0是角SKIPIF1<0終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點SKIPIF1<0到原點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三角函數(shù)在各個象限符號記憶口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導公式(1)平方關(guān)系：SKIPIF1<0．(2)商數(shù)關(guān)系：SKIPIF1<0；（3）三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0余弦SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0正切SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【方法技巧與總結(jié)】1．利用SKIPIF1<0可以實現(xiàn)角SKIPIF1<0的正弦、余弦的互化，利用SKIPIF1<0可以實現(xiàn)角SKIPIF1<0的弦切互化．2．“SKIPIF1<0”方程思想知一求二．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典型題型講解】考點一：弧長公式，扇形面積公式【典例例題】例1．（2022·廣東廣東·一模）數(shù)學中處處存在著美，機械學家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為SKIPIF1<0，則其面積是______．【方法技巧與總結(jié)】熟記弧長公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2（弧度制SKIPIF1<0）【變式訓練】1.炎炎夏日，在古代人們乘涼時習慣用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當該紙疊扇的周長C最小時，BD的長度為___________SKIPIF1<0.2.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊.按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為SKIPIF1<0的圓面中剪下扇形SKIPIF1<0，使剪下扇形SKIPIF1<0后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為SKIPIF1<0，再從扇形SKIPIF1<0中剪下扇環(huán)形SKIPIF1<0制作扇面，使扇環(huán)形SKIPIF1<0的面積與扇形SKIPIF1<0的面積比值為SKIPIF1<0.則一個按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品（如圖）的面積與圓面積的比值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點二：三角函數(shù)及相關(guān)概念：【典例例題】例1.已知角SKIPIF1<0的終邊上有一點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．不確定【方法技巧與總結(jié)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義【變式訓練】1.已知角SKIPIF1<0的始邊與SKIPIF1<0軸非負半軸重合，終邊過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.在平面直角坐標系中，SKIPIF1<0是圓SKIPIF1<0上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角SKIPIF1<0以O(shè)??為始邊，OP為終邊，若SKIPIF1<0，則P所在的圓弧是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]考點三：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：【典例例題】例1.已知SKIPIF1<0是三角形的一個內(nèi)角，且SKIPIF1<0則這個三角形的形狀是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.不等腰的直角三角形D.等腰直角三角形例2.（2022·廣東惠州·一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】熟練掌握商，平方的關(guān)系式.熟練掌握正弦、余弦和差與之積的關(guān)系式【變式訓練】1．（2022·廣東茂名·一模）已知角SKIPIF1<0的頂點在原點，始邊與SKIPIF1<0軸非負半軸重合，終邊與直線SKIPIF1<0平行，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點四：誘導公式【典例例題】例1．（2022·廣東佛山·高三期末）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例2．（2022·廣東深圳·高三期末）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】（1）誘導公式用于角的變換，凡遇到與SKIPIF1<0整數(shù)倍角的和差問題可用誘導公式，用誘導公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過SKIPIF1<0等誘導變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）SKIPIF1<0等可利用誘導公式把SKIPIF1<0的三角函數(shù)化【變式訓練】1．（2021·廣東佛山·一模）SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．-3 D．35.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0_____．6.已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【鞏固練習】一、單選題1．中國古代數(shù)學的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，SKIPIF1<0垂直于底面，SKIPIF1<0，底面扇環(huán)所對的圓心角為SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0長度是弧SKIPIF1<0長度的3倍，SKIPIF1<0，則該曲池的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．二十四節(jié)氣是中華民族上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，是中國農(nóng)歷中表示李節(jié)變遷的24個特定節(jié)令．如圖，每個節(jié)氣對應地球在黃道上運動SKIPIF1<0所到達的一個位置．根據(jù)描述，從立冬到立春對應地球在黃道上運動所對圓心角的弧度數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖是圓心角等于SKIPIF1<0的扇形，則該圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知角SKIPIF1<0的大小如圖所示，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．-2 C．3 D．SKIPIF1<08．數(shù)學家華羅庚倡導的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應用廣泛，0.618就是黃金分割比SKIPIF1<0的近似值，黃金分割比還可以表示成SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．4 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習）中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形（如圖）的面積為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0，圓面中剩余部分的面積為SKIPIF1<0，圓心角為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的比值為SKIPIF1<0（黃金分割比）時，折扇看上去較為美觀，那么（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022·全國·高三專題練習）（多選）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．SKIPIF1<0成立的條件是角SKIPIF1<0是銳角B．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0D．若SKIPIF