第六章 單形和聚形

第6章

單形與聚形第6章

單形和聚形SimpleformandcombinationsSchoolof

MaterialsScienceand

Engineering共八十頁第6章 單形與聚形

單形的概念(gàiniàn)及特點(diǎn)*

單形符號(hào)*

單形的推導(dǎo)

47種幾何單形的形態(tài)特點(diǎn)**

單形的類型*

聚形*School

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Engineering主要(zhǔyào)教學(xué)內(nèi)容共八十頁第6章 單形與聚形6.1 單形的概念(gàiniàn)及特點(diǎn)Schoolof

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Engineering共八十頁第6章

單形與聚形6.1單形的概念(gàiniàn)及特點(diǎn)

概念(gàiniàn)：晶體上彼此間能夠?qū)ΨQ重復(fù)的一組晶面的組合。也就是說，單形是一個(gè)晶體上能夠借助于所有對(duì)稱要素而使它們相互重復(fù)的一組晶面。＝點(diǎn)群全部對(duì)稱要素的作用而相互聯(lián)系起來的一組晶面的組合。

特點(diǎn)

同一單形的晶面必能對(duì)稱重復(fù)。

理想條件下，同一單形的晶面同形等大。

同一單形的晶面與對(duì)稱要素的關(guān)系一致。School

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Engineering共八十頁第6章

單形與聚形6.2 單形符號(hào)(fúhào)Schoolof

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andEngineering共八十頁第6章

單形與聚形單形符號(hào)及構(gòu)成? 單形符號(hào)（簡(jiǎn)稱形號(hào)）：以簡(jiǎn)單的數(shù)字符號(hào)形式來表征一個(gè)單形的所有組成(zǔchénɡ)晶面及其在晶體上取向的一種晶體學(xué)符號(hào)。?單形符號(hào)的構(gòu)成：在同一單形的各個(gè)晶面中，按一定的原則選擇一個(gè)代表晶面，將它的晶面指數(shù)順序連寫而置于大括號(hào)內(nèi)，例如寫成{hk

l}，用以代表整個(gè)單形。? 代表晶面的選擇原則：–

代表晶面應(yīng)選擇單形中正指數(shù)最多的晶面，也即選擇第一象限

內(nèi)的晶面，在此前提下，對(duì)于中級(jí)晶族晶體來說，還要求盡可

能使│h│≥│k│；在高級(jí)晶族中，則要求盡可能為│h│≥│k│≥│l│，至少應(yīng)使

│

l│為最小。School

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andEngineering6.2 單形符號(hào)(fúhào)共八十頁第6章

單形與聚形單形代表晶面的選擇? 根據(jù)以上原則，結(jié)合各晶族的對(duì)稱特點(diǎn)和定向法則，從而(cóngér)得出選擇代表晶面的具體法則是：–

在中、低級(jí)晶族的單形中，按“先上、次前、后右”的法則選擇代表晶面;–

在高級(jí)晶族中，則為“先前、次右、后上”。–

前、右、上的標(biāo)準(zhǔn)是，在三軸定向中，均以x軸、y軸和z軸正端所指的方向分別為前、右、上；在四軸定向中，則以x軸正端和u軸負(fù)端間的分角線方向?yàn)榍?，右和上的?biāo)準(zhǔn)不變。School

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MaterialsScienceandEngineering6.2 單形符號(hào)(fúhào)共八十頁第6章 單形與聚形單形符號(hào)舉例(jǔlì)：?

四方晶系?上－－

Z軸正端(111)，(1-11)，(-111)，(-1-11)?

前－－X軸正端(111)，(1-11)，(1-1-1)，(11-1)?

右－－

Y軸正端(111)，(11-1)，(-111)，(-11-1)四方柱{110}{111}Schoolof

MaterialsScienceandEngineering6.2 單形符號(hào)(fúhào)共八十頁第6章 單形與聚形001111_111111_111110101011011_110__101100010110101011__110_101100001010111111_111_111?

等軸晶系?

前－－X軸正端?

右－－

Y軸正端?

上－－Z軸正端單形符號(hào)(fúhào)舉例：6.2 單形符號(hào)(fúhào)Schoolof

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Engineering共八十頁第6章

單形與聚形單形符號(hào)(fúhào)舉例：注意(zhùyì):

六八面體{321}School

ofMaterialsScienceandEngineering6.2 單形符號(hào)共八十頁第6章

單形與聚形6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)School

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Engineering共八十頁第6章

單形與聚形? 根據(jù)單形的定義，我們可以得知：–第一，若已知某個(gè)單形中的任一晶面，通過對(duì)稱型中全部對(duì)稱要素的作用后，必可導(dǎo)出該單形的所有晶面，也就是整個(gè)單形本身。即以單形中的任意(rènyì)一個(gè)晶面作為原始晶面，可以推導(dǎo)出整個(gè)單形。–

第二，若單形中原始晶面與對(duì)稱要素間的相對(duì)方位關(guān)系不同時(shí)，則可以導(dǎo)出不同形狀的單形（見下頁圖），所以，在某一具體的對(duì)稱型中，可以根據(jù)原始晶面與對(duì)稱要素的空間方位關(guān)系來進(jìn)行單形的推導(dǎo)。School

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Engineering6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形這四個(gè)單形形狀完全不同，但對(duì)稱型是一樣的。即對(duì)稱型一樣的晶體(jīngtǐ)，形態(tài)可以完全不同。這是因?yàn)榫媾c對(duì)稱要素的關(guān)系不同。例如(lìrú)：（示范模型）6.3 單形的推導(dǎo)Schoolof

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Engineering共八十頁第6章

單形與聚形L2

對(duì)稱(duìchèn)型：

L22PP2P1P2P1School

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改變?cè)?yuánshǐ)晶面與對(duì)稱要素的相對(duì)位置：垂直、平行、斜交。

對(duì)32種對(duì)稱型可以逐一進(jìn)行推導(dǎo)。6.3 單形的推導(dǎo)共八十頁第6章 單形與聚形P1P26.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)

位置1：

原始晶面與L2和2P 都垂直。

單面School

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and

Engineering共八十頁第6章 單形與聚形P1P26.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)

位置2：

原始晶面與P2垂直。與L2和P1平行，

平行雙面

位置3：

原始晶面與與P1垂直,

L2和P2平行。

平行雙面Schoolof

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andEngineeringP1P2共八十頁第6章 單形與聚形P1P2

位置(wèizhi)4：

原始晶面與L2平行，與2P斜交

斜方柱6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)School

ofMaterialsScienceandEngineering共八十頁第6章 單形與聚形6.3 單形的推導(dǎo)

位置5

原始(yuánshǐ)晶面與P1垂直,與L2和P2斜交。

雙面

位置6：

原始晶面與P2垂直,與L2和P1斜交，。

雙面SchoolofMaterialsScience

andEngineeringP1P2P2P1共八十頁第6章 單形與聚形

位置7：

原始(yuánshǐ)晶面與L2和2P都斜交。

斜方單錐P1P26.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)School

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Engineering共八十頁第6章

單形與聚形School

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原始晶面有7種不同位置(wèizhi)

位置1：?jiǎn)蚊妫?/p>

位置2、3：平行雙面；

位置4、5：雙面；

位置6：斜方柱；

位置7：斜方單椎。? 共導(dǎo)出5種單形P1P26.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形?對(duì)不同晶系的對(duì)稱型（點(diǎn)群），原始晶面與對(duì)稱要素的交截關(guān)系不同，因此，在投影網(wǎng)上其初始位置(wèizhi)的選擇也有差異。1)對(duì)低級(jí)晶族的點(diǎn)群,考慮如下位置:{hkl},{0kl},

{h0l},{hk0},{100},{010},{001}2)對(duì)四方晶系的點(diǎn)群,考慮如下位置:{hkl),

{hhl},{h0l}+{0kl},

{hk0},{110},

{100},{001}3)對(duì)三六方晶系點(diǎn)群,考慮如下位置:{hk-il},{hh-2hl},{h0-hl},{hk-i0}

{11-20},{10-10},{0001}4)對(duì)高級(jí)晶族的點(diǎn)群,

考慮如下位置:{hkl},{hhl},

{hkk},{hk0},{111},{110},{100}6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形低級(jí)晶族單形mmm1.

{hkl}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影(tóuyǐng)? 紅色圓圈為原始晶面? 綠色圖形是經(jīng)過對(duì)稱操作后投影的晶面? 此單形共8個(gè)晶面,

每個(gè)晶面均與晶軸相交? 判斷此單形為斜方雙錐c(hkl)mmm6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形低級(jí)晶族單形mmm2.{0kl}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影? 紅色圓圈(yuánquān)為原始晶面? 綠色圖形是經(jīng)過對(duì)稱操作后投影的晶面? 此單形共4個(gè)晶面,

每個(gè)晶面均與晶軸相交? 判斷此單形為斜方柱c(0kl)mmm6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形低級(jí)(dījí)晶族單形mmm: 3.

{h0l},4.{hk0}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影(tóuyǐng)? 紅色圓圈為原始晶面? 綠色圖形是經(jīng)過對(duì)稱操作后投影的晶面? 此兩者單形各4個(gè)晶面,

判斷此單形為斜方柱c(h0l)(hk0)mmmcmmm6.3 單形的推導(dǎo)共八十頁第6章

單形與聚形低級(jí)(dījí)晶族單形mmm:5.

{100},

6.

{010},7.

{001}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影? 紅色者為(001)晶面? 綠色者為(010)晶面? 黃色者為(100)晶面? 此三種(sānzhǒnɡ)單形各2個(gè)晶面,

判斷此單形為平行雙面c(001)mmm(100)(010)6.3 單形的推導(dǎo)共八十頁第6章

單形與聚形四方晶系單形4/mmm:1.

{hkl}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影? 紅色圓圈為(hkl)原始晶面? 綠色(lǜsè)者為對(duì)稱操作后的晶面? 此單形有16個(gè)晶面,

判斷此單形為復(fù)四方雙錐c4/mmm(hkl)6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形四方晶系單形4/mmm:2.

{hhl}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影(tóuyǐng)? 紅色圓圈為(hhl)原始晶面? 綠色者為對(duì)稱操作后的晶面? 此單形有8個(gè)晶面,判斷此單形為四方雙錐? {h0l}和{0kl}也為四方雙錐c4/mmm(hhl)6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形等軸晶系單形m3m:? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影? 可考慮(kǎolǜ)圖中的弧三角形,

共7種位置cm3m{hkl}{hhl}{hkk}4.{111}5.{hk0}6.

{110}7.

{100}12745636.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形等軸晶系單形m3m:1.{hkl}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影? 紅色(hóngsè)圓圈為原始晶面?

綠色圖形為對(duì)稱操作后的晶面投影，此單形為共48個(gè)晶面，為六八面體? 自己推導(dǎo)其他位置的可能單形cm3m6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形2.{hhl}6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形等軸晶系單形m3m:2.{hhl}? 藍(lán)色圖形(túxíng)為對(duì)稱要素投影? 紅色圓圈為原始晶面? 黑色圖形為對(duì)稱操作后的晶面投影此單形為共24個(gè)晶面,

為三角三八面體6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形3.

{hkk}6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形等軸晶系單形m3m:3.{hkk}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影? 紅色圓圈為原始(yuánshǐ)晶面? 黑色圖形為對(duì)稱操作后的晶面投影此單形為共24個(gè)晶面,為四角三八面體6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章

單形與聚形4.{hk0}6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形等軸晶系單形m3m:4.

{hk0}? 藍(lán)色圖形為對(duì)稱要素投影? 紅色(hóngsè)圓圈為原始晶面? 黑色圖形為對(duì)稱操作后的晶面投影此單形為共24個(gè)晶面,為四六面體6.3 單形的推導(dǎo)(tuīdǎo)共八十頁第6章 單形與聚形6.3 單形的推導(dǎo)? 對(duì)于每一種對(duì)稱型，晶面與對(duì)稱要素的位置關(guān)

系最多只有7種。? 每種對(duì)稱型最多只能導(dǎo)出7種單形。? 如果對(duì)32種對(duì)稱型逐一進(jìn)行推導(dǎo)，最終將導(dǎo)出146種結(jié)晶單形（70—73頁表）。? 如果不涉及對(duì)稱因素、僅考慮單形單獨(dú)存在的

幾何形態(tài)，146種結(jié)晶單形可歸并為47種幾何(jǐhé)形態(tài)不同的單形，即47種幾何單形。共八十頁第6章 單形與聚形6.4 47種幾何(jǐhé)單形共八十頁第6章 單形與聚形6.4 47種幾何單形幾何單形的形態(tài)描述(miáoshù)：

整個(gè)單形的形態(tài)：柱、錐、立方體等；

單形橫截面的形態(tài)：如斜方柱、六方柱等；

晶面數(shù)：?jiǎn)蚊?、八面體等；

晶面形態(tài)+晶面數(shù)：菱形十二面體、五角十二面體等共八十頁第6章 單形與聚形⑴低級(jí)(dījí)晶族的單形（7種）3.雙面1.單面2.平行(píngxíng)雙面共八十頁第6章 單形與聚形5.斜方單椎7.斜方四面體4.斜方柱6.斜方雙椎橫截面形狀(xíngzhuàn)⑴低級(jí)(dījí)晶族的單形（7種）共八十頁第6章

單形與聚形⑵

中級(jí)(zhōngjí)晶族的單形(25種）①柱類8.三方柱10.六方柱9.四方(sìfāng)柱12.復(fù)四方柱13.復(fù)六方柱11.復(fù)三方柱共八十頁第6章

單形與聚形②單椎類15.四方(sìfāng)單椎14.三方(sānfānɡ)單椎16.六方單椎18.復(fù)四方單椎17.復(fù)三方單椎19.復(fù)六方單椎⑵中級(jí)晶族的單形(25種）共八十頁第6章

單形與聚形③雙椎類20.三方(sānfānɡ)雙椎21.四方(sìfāng)雙椎22.六方雙椎24.復(fù)四方雙椎23.復(fù)三方雙椎25.復(fù)六方雙椎⑵中級(jí)晶族的單形(25種）共八十頁第6章

單形與聚形④偏方面(fāngmiàn)體類27.四方(sìfāng)偏方面體28.六方偏方面體26.三方偏方面體⑵中級(jí)晶族的單形(25種）共八十頁第6章 單形與聚形⑤四方(sìfāng)四面體與復(fù)四方偏三角面體29.四方(sìfāng)四面體30.復(fù)四方偏三角面體⑵

中級(jí)晶族的單形(25種）共八十頁第6章

單形與聚形⑥菱面體與復(fù)三方(sānfānɡ)偏三角面體31.菱面體32.復(fù)三方(sānfānɡ)偏三角面體⑵

中級(jí)晶族的單形(25種）共八十頁第6章

單形與聚形①八面體組33.八面體35.四角(sìjiǎo)三八面體37.六八面體36.五角三八面體34.三角(sānjiǎo)三八面

體⑶高級(jí)晶族的單形(15種）共八十頁第6章 單形與聚形38.四面體40.四角(sìjiǎo)三四面體②四面體組42.六四面體39.三角(sānjiǎo)三四面體41.五角三四面體⑶高級(jí)晶族的單形(15種）共八十頁第6章

單形與聚形③立方體組45.五角十二面體

46.偏方(piānfāng)復(fù)十二面體43.立方體47.菱形(línɡxínɡ)十二面體44.四六面體⑶高級(jí)晶族的單形(15種）共八十頁第6章6.4 47種幾何單形（相似(xiānɡsì)單形的區(qū)別）單形與聚形

六方柱與復(fù)三方柱共八十頁第6章 單形與聚形

六方雙椎與六方偏方面(fāngmiàn)體6.4相似(xiānɡsì)單形的區(qū)別共八十頁第6章

單形與聚形6.4相似單形的區(qū)別(qūbié)

三方雙椎、菱面體、及三方偏方面體共八十頁第6章

單形與聚形6.4相似(xiānɡsì)單形的區(qū)別? 八面體與四方雙椎共八十頁第6章 單形與聚形注意? 必須指出，在不同的對(duì)稱型中，或在不同的晶系

以至不同的晶族中，雖然可能出現(xiàn)幾何上相同的

單形，即命名相同的單形，但它們?cè)趯?duì)稱性上必

定存在差異。因此，146種結(jié)晶單形都是結(jié)晶學(xué)上

不同的單形。? 幾何單形只考慮(kǎolǜ)幾何形態(tài)，結(jié)晶單形不但考慮外形，還考慮對(duì)稱型（點(diǎn)群）。共八十頁第6章

單形與聚形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形6.5 單形的類型⑴特殊形與一般形

單形晶面垂直或平行于某一對(duì)稱要素，或與相同

對(duì)稱要素以固定角度相交，稱特殊形，反之稱一般形。

每一種對(duì)稱型的單形中，只有(zhǐyǒu)1種一般形，其余為特殊形。共八十頁第6章 單形與聚形6.5 單形的類型L22P

特殊(tèshū)形

單面

平行雙面

斜方柱

雙面

一般形

斜方單椎共八十頁第6章 單形與聚形6.5 單形的類型⑵

左形和右形

互為鏡象，但不能通過旋轉(zhuǎn)(xuánzhuǎn)操作使之重合的兩個(gè)單形，稱為左形和右形。

有左右形之分的單形有：

偏方面體類；

五角三四面體類；

五角三八面體類。共八十頁第6章

單形與聚形偏方面(fāngmiàn)體類左形右形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章

單形與聚形左形

五角三四面體類右形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章

單形與聚形左形

五角三八面體類右形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章

單形與聚形⑶正形和負(fù)形

同一晶體上取向不同的兩個(gè)同種單形，如果能借旋轉(zhuǎn)90o（四軸定向(dìnɡxiànɡ)時(shí)60o)重復(fù)者，則一個(gè)為正形，另一個(gè)為負(fù)形。四面體的正、負(fù)形菱面體的正、負(fù)形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章

單形與聚形⑷

開形與閉形

由一個(gè)單形本身的晶面能圍成閉合的凸多面體者，

稱為(chēnɡwéi)閉形；凡單形的晶面不能封閉空間的稱開形。開形閉形6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形⑸定形和變形(biànxíng)

單形晶面間的夾角恒定者稱定形，反之，即為變形。6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形定形(dìnɡxínɡ)6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形變形(biànxíng)6.5 單形的類型(lèixíng)共八十頁第6章 單形與聚形6.6 聚

形共八十頁第6章 單形與聚形6.6聚形

聚形的概念：是兩個(gè)或兩個(gè)(liǎnɡɡè)以上單形的聚合。共八十頁第6章 單形與聚形6.6聚

形? 晶體中出現(xiàn)聚形的必然性：–

由于晶體是一個(gè)封閉的凸幾何多面體，而單獨(dú)一個(gè)開形不能封閉空間，因而它們必然要組成聚形。至于閉形，既可在晶體上單獨(dú)存在，也可參與(cānyù)組成聚形。–

聚形既可全由開形組成，也可以全由閉形組成，或者開形與閉形混合組成。? 單形相聚原則：–在任何情況下，單形的相聚必定遵循對(duì)稱性一致的原則，即在146種結(jié)晶學(xué)單形中，只有屬于同一對(duì)稱型的單形才

會(huì)相聚!!!

因此，在表5-1至表5-11列出的146種結(jié)晶單形中，只有同一個(gè)對(duì)稱型下列的那些單形可以相聚。共八十頁第6章

單形與聚形?

聚形中單形的種數(shù)和個(gè)數(shù)：–在每一對(duì)稱型中，可能出現(xiàn)的單形的種數(shù)都是有限的，最多不會(huì)超過七種；但在一個(gè)聚形上所可能出現(xiàn)的單形，其個(gè)數(shù)和種數(shù)卻無一定限制，可以有兩個(gè)或幾個(gè)同種的

單形同時(shí)并存，但此時(shí)它們?cè)诰w(jīngtǐ)上的相對(duì)方位肯定是不同的，具有指數(shù)值不同的單形符號(hào)。?聚形分析：–

同一單形的晶面形狀，大小，性質(zhì)完全相同；–

一個(gè)聚形最多可能由7種單形相聚；–

一個(gè)聚形中所有單形的對(duì)稱性均屬于同一對(duì)成型(點(diǎn)群)。6.6聚形共八十頁第6章 單形與聚形聚形分析的方法、步驟：

確定晶體的對(duì)稱型、晶系和晶族3L44L36L2

9PC

根據(jù)原則進(jìn)行晶體定向

確定單形數(shù)目，以及(yǐjí)每種單形的晶面數(shù)，與對(duì)稱要素間關(guān)系等

確定單形名稱

立方體

八面體

菱形十二面體

檢查、核對(duì)。6.6聚形共八十頁第6章 單形與聚形School

of

MaterialsScienceand

En四方(sìfāng)柱和四方(sìfāng)雙錐的聚形相聚示意圖立方體和菱形(línɡxínɡ)十二面體及其聚形gineering6.6聚形共八十頁第6章

單形與聚形?橄欖石晶體形態(tài)聚形分析(fēnxī)a