云南省玉溪市易門縣 2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試卷

2023-2024學年云南省玉溪市易門縣九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題只有一個正確選項，每小題3分，共36分）1．（3分）中國航天取得了舉世矚目的成就，為人類和平貢獻了中國智慧和中國力量，下列航天圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）A．中國探火 B．中國火箭 C．中國行星探測 D．航天神舟2．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．四邊形內(nèi)角和是360° B．校園排球比賽，九年級一班獲得冠軍 C．擲一枚硬幣時，正面朝上 D．車輛隨機到達路口，遇到綠燈3．（3分）將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝544．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一個根是0，則a的值是（）A．0.5 B．1 C．1或﹣1 D．﹣15．（3分）拋物線y＝﹣2x2+1通過變換可以得到拋物線y＝﹣2（x+1）2+3，以下變換過程正確的是（）A．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位 B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位 D．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位6．（3分）如圖，用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為15πcm，母線長為20cm，則這個扇形的圓心角的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．150° D．160°7．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b＝﹣2a8．（3分）我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固、如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形ABCDEF，若⊙O的內(nèi)接正六邊形為正六邊形ABCDEF，則BF的長為（）A．12 B． C． D．9．（3分）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上的一點，過點A分別作AM⊥x軸于點M，AN⊥y軸于點N，若四邊形AMON的面積為2．則k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣110．（3分）如圖，已知⊙O的半徑OA＝6，∠AOB＝90°，則（圓心角為90°的）扇形AOB的面積為（）A．6π B．9π C．12π D．15π11．（3分）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm，則蠟燭火焰的高度是（）A． B．6cm C． D．8cm12．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，點D在折線ACB上運動，過點D作AB的垂線，垂足為E．設AE＝x，S△ADE＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）13．（2分）寫出一個圖象位于第二、四象限的反比例函數(shù)的表達式：．14．（2分）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成12個相同的小扇形．若把某些小扇形涂上紅色，使轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向紅色的概率是，則涂上紅色的小扇形有個．15．（2分）已知方程x2﹣3x+2＝0的兩根是x1，x2，則＝．16．（2分）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長為．三、解答題（本大題共8小題，共56分）17．（8分）解方程：（1）x2﹣x＝0；（2）x2+4x＝12．18．（6分）如圖，平面直角坐標系中，△ABC三個頂點都在格點上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．（1）請在圖中畫出△A1B1C1，使它和△ABC關(guān)于原點O對稱，點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1；（2）直接寫出點A1，B1，C1的坐標．19．（6分）劉師傅開了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利達到3600元，且從2月到4月，每個月盈利的增長率相同．（1）求每個月盈利的增長率；（2）按照這個增長率，請你估計這家商店5月份的盈利將達到多少元？20．（6分）一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）當函數(shù)值y＜0時，對應的x的取值范圍是；（4）當﹣3＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍．21．（7分）“四大發(fā)明”是指中國古代對世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國古代勞動人民的重要創(chuàng)造，具體指A．指南針、B．造紙術(shù)、C．火藥和D．印刷術(shù)四項發(fā)明，如圖是小強同學收集的中國古代四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好．（1）小強從這四張卡片中隨機抽取一張恰好是“印刷術(shù)”的概率為．（2）小強從這四張卡片中隨機抽取一張后將卡片洗勻，小剛再從剩下的三張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術(shù)”的概率．22．（7分）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？（3）當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？23．（8分）已知：如圖，⊙O過正方形ABCD的頂點A，B，且與CD邊相切于點E．點F是BC與⊙O的交點，連接OB，OF，AF，點G是AB延長線上一點，連接FG，且∠G+∠BOF＝90°．（1）求證：FG是⊙O的切線；（2）如果正方形邊長為2，求BG的長．24．（8分）（1）如圖1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），連接CE，AG交于點H，請直接寫出線段AG與CE的數(shù)量關(guān)系，位置關(guān)系；（2）如圖2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，將矩形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），連接AG，CE交于點H，（1）中線段關(guān)系還成立嗎？若成立，請寫出理由；若不成立，請寫出線段AG，CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，將矩形DEFG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），直線AG，CE交于點H，當點E與點H重合時，請直接寫出線段AE的長．

2023-2024學年云南省玉溪市易門縣九年級（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題只有一個正確選項，每小題3分，共36分）1．（3分）中國航天取得了舉世矚目的成就，為人類和平貢獻了中國智慧和中國力量，下列航天圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）A．中國探火 B．中國火箭 C．中國行星探測 D．航天神舟【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．【解答】解：只有選項B中圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞該點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合．故選：B．【點評】本題考查中心對稱圖形，熟知中心對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）下列事件是必然事件的是（）A．四邊形內(nèi)角和是360° B．校園排球比賽，九年級一班獲得冠軍 C．擲一枚硬幣時，正面朝上 D．車輛隨機到達路口，遇到綠燈【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、四邊形內(nèi)角和是360°，是必然事件，符合題意；B、校園排球比賽，九年級一班獲得冠，是隨機事件，不符合題意；C、擲一枚硬幣時，正面朝上，是隨機事件，不符合題意；D、車輛隨機到達路口，遇到綠燈，是隨機事件，不符合題意，故選：A．【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的特點是解題的關(guān)鍵．3．（3分）將一元二次方程x2﹣8x+10＝0通過配方轉(zhuǎn)化為（x+a）2＝b的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程作邊寫成完全平方形式即可．【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故選：A．【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．4．（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一個根是0，則a的值是（）A．0.5 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1【分析】把x＝0代入原方程，即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一個根是0，∴a﹣1≠0，a2﹣1＝0，∴a＝﹣1．故選：D．【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義及一元二次方程的解，熟練掌握定義及一元二次方程的解的含義是關(guān)鍵．5．（3分）拋物線y＝﹣2x2+1通過變換可以得到拋物線y＝﹣2（x+1）2+3，以下變換過程正確的是（）A．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位 B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位 C．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位 D．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位【分析】先通過拋物線解析式得到兩個拋物線的頂點，根據(jù)拋物線的頂點即可判斷是如何平移得到．【解答】解：∵y＝﹣2x2+1的頂點坐標為（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3的頂點坐標為（﹣1，3），∴將拋物線y＝﹣2x2+1先向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度，可得到拋物線y＝﹣2（x+1）2+3．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解答時注意抓住點的平移規(guī)律和求出關(guān)鍵點頂點坐標．6．（3分）如圖，用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為15πcm，母線長為20cm，則這個扇形的圓心角的度數(shù)是（）A．120° B．135° C．150° D．160°【分析】利用圓錐的底面周長和母線長求得圓錐的側(cè)面積，然后再利用圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長的計算方法求得側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)即可．【解答】解：設這個扇形的圓心角為n°．∵圓錐的底面圓的周長是15πcm，∴圓錐的側(cè)面扇形的弧長為15πcm，∴＝15π，解得：n＝135故選：B．【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長來求出圓心角．7．（3分）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（）A．a(chǎn)＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b＝﹣2a【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象逐一判斷即可．【解答】解：A．由圖可知：拋物線開口向下，∴a＜0，故A錯誤，不符合題意；∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴c＞0，故C錯誤，不符合題意；∵對稱軸為直線x＝1，∴﹣＝1，即b＝﹣2a，故D正確，符合題意；∵a＜0，﹣＝1，∴b＞0，故B錯誤，不符合題意．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，從圖象中獲取信息并結(jié)合圖象去分析是解題的關(guān)鍵．8．（3分）我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固、如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形ABCDEF，若⊙O的內(nèi)接正六邊形為正六邊形ABCDEF，則BF的長為（）A．12 B． C． D．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進行計算即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴AB＝AF＝6，∠AOB＝＝60°，∴OA⊥BF，∴BG＝FG，在Rt△BOG中，∠O＝60°，OB＝6，∴BG＝OB＝3，∴BF＝2BG＝6，故選：C．【點評】本題考查正多邊形與圓，解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)是正確解答的前提．9．（3分）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上的一點，過點A分別作AM⊥x軸于點M，AN⊥y軸于點N，若四邊形AMON的面積為2．則k的值是（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】依據(jù)題意，根據(jù)四邊形面積與反比例函數(shù)的關(guān)系即可得解．【解答】解：由題意，設A（a，b），∴ab＝k．又S四邊形ANOM＝2＝ab，∴k＝2．故選：A．【點評】本題主要考查了反比例的圖象與性質(zhì)的應用，解題時要能熟悉題意學會轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．10．（3分）如圖，已知⊙O的半徑OA＝6，∠AOB＝90°，則（圓心角為90°的）扇形AOB的面積為（）A．6π B．9π C．12π D．15π【分析】直接根據(jù)扇形面積進行計算即可．【解答】解：根據(jù)扇形面積計算公式可得：圓心角為90°的扇形AOB的面積＝9π，故選：B．【點評】本題主要考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．11．（3分）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，像距為15cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是8cm，則蠟燭火焰的高度是（）A． B．6cm C． D．8cm【分析】直接利用相似三角形的對應邊成比例解答．【解答】解：設蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得到：＝，解得x＝，即蠟燭火焰的高度是cm．故選：C．【點評】本題考查相似三角形的應用，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．12．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，點D在折線ACB上運動，過點D作AB的垂線，垂足為E．設AE＝x，S△ADE＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】分段函數(shù)，當0＜x≤4時，y是x的二次函數(shù)，開口方向向上；當4＜x＜5時，y是x的二次函數(shù)，開口方向向下，據(jù)此判斷即可．【解答】解：由題意得，AC＝＝2，當點D與點C重合時，DE＝＝2，此時AE＝＝4，當0＜x≤4時，△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴DE＝x，∴y＝AE?DE＝x?x＝x2，此拋物線開口方向向上；當4＜x＜5時，△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，∴DE＝10﹣2x，y＝AE?DE＝x?（10﹣2x）＝﹣x2+5x，此拋物線開口方向向下；故符合題意的圖象是選項A．故選：A．【點評】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合并熟練寫出相關(guān)函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）13．（2分）寫出一個圖象位于第二、四象限的反比例函數(shù)的表達式：y＝﹣（答案不唯一）．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義及性質(zhì)解答即可．【解答】解：設反比例函數(shù)的解析式為y＝（k≠0），∵函數(shù)圖象位于第二、四象限，∴k＜0，∴符合條件的函數(shù)關(guān)系式可以為y＝﹣．故答案為：y＝﹣（答案不唯一）．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的定義及性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．（2分）如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成12個相同的小扇形．若把某些小扇形涂上紅色，使轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向紅色的概率是，則涂上紅色的小扇形有4個．【分析】先根據(jù)題意得出指針指向紅色的概率是，再根據(jù)有12個等分區(qū)，結(jié)合概率公式即可求出答案．【解答】解：12×＝4（個）．故涂上紅色的小扇形有4個．故答案為：4．【點評】此題考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)鍵，是一道?？碱}型．15．（2分）已知方程x2﹣3x+2＝0的兩根是x1，x2，則＝．【分析】先利用根根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝3，x1x2＝2，再通分得到＝，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝3，x1x2＝2，所以＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．16．（2分）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長為4或2．【分析】連接OA，由AB⊥CD，設OC＝5x，OM＝3x，根據(jù)CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根據(jù)垂徑定理得到AM＝4，然后分類討論：當如圖1時，CM＝8；當如圖2時，CM＝2，再利用勾股定理分別計算即可．【解答】解：連接OA，∵OM：OC＝3：5，設OC＝5x，OM＝3x，則OD＝OC＝5x，∵CD＝10，∴OM＝3，OA＝OC＝5，∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB，在Rt△OAM中，OA＝5，AM＝，當如圖1時，CM＝OC+OM＝5+3＝8，在Rt△ACM中，AC＝；當如圖2時，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，在Rt△ACM中，AC＝．綜上所述，AC的長為4或2．故答案為：4或2．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?、解答題（本大題共8小題，共56分）17．（8分）解方程：（1）x2﹣x＝0；（2）x2+4x＝12．【分析】（1）利用提公因式法進行因式分解x（x﹣1）＝0，求解即可；（2）利用配方法x2+4x+4＝16，進而得到（x+2）2＝16，求解即可．【解答】解：（1）x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1；（2）x2+4x＝12，∴x2+4x+4＝16，∴（x+2）2＝16，∴x+2＝±4，解得：x1＝2，x2＝﹣6．【點評】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的形式選擇合適的解法．18．（6分）如圖，平面直角坐標系中，△ABC三個頂點都在格點上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．（1）請在圖中畫出△A1B1C1，使它和△ABC關(guān)于原點O對稱，點A，B，C的對應點分別為A1，B1，C1；（2）直接寫出點A1，B1，C1的坐標．【分析】（1）（2）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征寫出點A1，B1，C1的坐標，然后描點即可得到△A1B1C1．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1就是所要求畫的三角形；（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．【點評】本題考查了作圖：旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．19．（6分）劉師傅開了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利達到3600元，且從2月到4月，每個月盈利的增長率相同．（1）求每個月盈利的增長率；（2）按照這個增長率，請你估計這家商店5月份的盈利將達到多少元？【分析】（1）設每個月盈利的增長率為x，利用4月份的盈利金額＝2月份的盈利金額×（1+增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每個月盈利的增長率為20%；（2）利用這家商店5月份的盈利金額＝這家商店4月份的盈利金額×（1+增長率），即可估計出這家商店5月份的盈利將達到4320元．【解答】解：（1）設每個月盈利的增長率為x，依題意得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：每個月盈利的增長率為20%．（2）3600×（1+20%）＝3600×1.2＝4320（元）．答：按照這個增長率，估計這家商店5月份的盈利將達到4320元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．20．（6分）一個二次函數(shù)圖象上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出這個二次函數(shù)的圖象；（3）當函數(shù)值y＜0時，對應的x的取值范圍是﹣3＜x＜1；（4）當﹣3＜x＜3時，直接寫出y的取值范圍．【分析】（1）設交點式y(tǒng)＝a（x+3）（x﹣1），然后把（0，﹣3）代入求出得到拋物線解析式；（2）利用描點法畫函數(shù)圖象；（3）結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出對應的函數(shù)值的范圍．【解答】解：（1）設y＝a（x+3）（x﹣1），將（0，﹣3）代入得a×3×（﹣1）＝﹣3，解得a＝1，∴拋物線解析式為y＝（x+3）（x﹣1），即y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，﹣4），如圖，（3）當函數(shù)值y＜0時，對應的x的取值范圍﹣3＜x＜1；故答案為：﹣3＜x＜1；（4）x＝3時，y＝（x+1）2﹣4＝12，當﹣3＜x＜3時，y的取值范圍是﹣4≤y＜12．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．21．（7分）“四大發(fā)明”是指中國古代對世界具有很大影響的四種發(fā)明，它是中國古代勞動人民的重要創(chuàng)造，具體指A．指南針、B．造紙術(shù)、C．火藥和D．印刷術(shù)四項發(fā)明，如圖是小強同學收集的中國古代四大發(fā)明的不透明卡片，四張卡片除內(nèi)容外其余完全相同，將這四張卡片背面朝上洗勻放好．（1）小強從這四張卡片中隨機抽取一張恰好是“印刷術(shù)”的概率為．（2）小強從這四張卡片中隨機抽取一張后將卡片洗勻，小剛再從剩下的三張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術(shù)”的概率．【分析】（1）直接利用概率公式計算即可．（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術(shù)”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵有A．指南針、B．造紙術(shù)、C．火藥和D．印刷術(shù)四張卡片，∴小強從這四張卡片中隨機抽取一張恰好是“印刷術(shù)”的概率為．故答案為：．（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中兩人抽到的卡片恰好是“A．指南針”和“B．造紙術(shù)”的結(jié)果有2種，∴兩人抽到的卡片恰好是“指南針”和“造紙術(shù)”的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．22．（7分）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？（3）當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）設每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價不低于成本且不高于54元，可得銷售單價應定為50元；（3）設每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．【解答】解：（1）設每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關(guān)系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：銷售單價應定為50元；（3）設每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，對稱軸是直線x＝55，而x≤54，∴x＝54時，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．【點評】本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和一元二次方程．23．（8分）已知：如圖，⊙O過正方形ABCD的頂點A，B，且與CD邊相切于點E．點F是BC與⊙O的交點，連接OB，OF，AF，點G是AB延長線上一點，連接FG，且∠G+∠BOF＝90°．（1）求證：FG是⊙O的切線；（2）如果正方形邊長為2，求BG的長．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥CD，過O作OH⊥BC于H，推出四邊形OECH是矩形，得到BH＝FH，求得OH＝CE，CH＝OE，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABF＝90°，∴AF是⊙O的直徑；∵∠A＝∠BOF，∠G+∠BOF＝90°．∴∠A+∠G＝90°，∴∠AFG＝90°，∴FG是⊙O的切線；（2解：連接OE，∵CD是⊙O的切線，∴OE⊥CD，過O作OH⊥BC于H，則四邊形OECH是矩形，BH＝FH，∴OH＝CE，CH＝OE，∵AO＝OF，∴OH＝AB＝1，設OB＝OE＝CH＝r，∴BH＝2﹣r，∵OB2＝BH2+OH2，∴r2＝（2﹣r）2+12，∴r＝，∴