3.4.2.1空間向量與平行關(guān)系課件-2高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第三章

空間向量與立體幾何

3.4.2.1空間向量與平行關(guān)系1.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系.探究1

設(shè)直線l，m的方向向量分別為l，m，平面α，平面β的法向量分別為n1，n2，若l∥m，l∥α，α∥β，那么其方向向量與法向量具有怎樣的關(guān)系？提示

l∥m?l∥m，l∥α?l⊥n1，α∥β?n1∥n2.探究2

能否用向量法證明平行關(guān)系？如何證明？提示

可以.l∥m且l與m不重合?l∥m；l⊥n1，且l?α?l∥α；n1∥n2且α與β不重合?α∥β.設(shè)向量l，m分別是直線l，m的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量，則知識(shí)梳理l∥m或l與m重合?________；l∥α或l?α?_______；α∥β或α與β重合?n1∥n2.l∥ml⊥n1例1√若l∥α，則a·n＝0.(1)(多選)若直線l的方向向量為a，l不在平面α

內(nèi)，平面α的法向量為n，能使l∥α的是A.a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0)

B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)

D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)√A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0.√(2)(鏈接教材P140習(xí)題3－4A組T2)若兩個(gè)不重合平面α，β的法向量分別為u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，則A.α∥β

B.α⊥βC.α，β相交但不垂直

D.以上均不正確∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.利用直線的方向向量和平面的法向量能直接判定平行關(guān)系或求參數(shù).訓(xùn)練1√(2)已知直線l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，則l與α的位置關(guān)系是A.l⊥α

B.l∥αC.l與α相交但不垂直

D.l∥α或l?α√因?yàn)閍·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l?α.例2在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為A1D1，BC的中點(diǎn)，求證：MN∥RS.法二如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則根據(jù)題意得思維升華證明線線平行的兩種思路長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面對(duì)角線B1D1，A1B上的點(diǎn)，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求證：EF∥AC1.訓(xùn)練2如圖所示，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，例3在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn).證明：PA∥平面EDB.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)PD＝DC＝a.連接AC，交BD于點(diǎn)G，連接EG，法二因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以G是此正方形的中心，又EG?平面EDB，且PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.思維升華利用空間向量證明線面平行的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基表示.(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理求證.(3)先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.另外，證線面平行，一定注意直線在平面外.訓(xùn)練3如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，求證：AB1∥平面DBC1.如圖以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AC，AA1所在直線為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.例4(鏈接教材P127練習(xí)T4)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn).求證：平面AMN∥平面EFDB.如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a).設(shè)平面AMN與平面EFDB的法向量分別為m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，∴y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，則x1＝2，y1＝－2.∴平面AMN的一個(gè)法向量m＝(2，－2，1).同理可得平面EFDB的一個(gè)法向量n＝(2，－2，1).∵m＝n，∴m∥n，∴平面AMN∥平面EFDB.思維升華證明面面平行問(wèn)題的思路(1)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線線平行或線面平行；(2)分別求出這兩個(gè)平面的法向量，然后證明這兩個(gè)法向量平行.訓(xùn)練4已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：平面ADE∥平面B1C1F.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2).同理，設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量，所以n2＝(0，－1，2).因?yàn)閚1＝n2，即n1∥n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.1、背誦記憶線線平行的證明思路方法2、記憶直線和平面平行的方法3、背誦記憶面面平行的思路方法√√∵平面α∥平面β，2.已知平面α的一個(gè)法向量是(2，－1，－1)，α∥β，則下列向量可作為平面β的一個(gè)法向量的是 A.(4，2，－2) B.(2，0，4) C.(2，－1，－5)

D.(4，－2，－2)∴平面β的法向量與平面α的法向量平行，又∵(4，－2，－2)＝2(2，－1，－1)，∴選D.-8∵u·v＝(2，0，－1)·(－2，1，－4)＝－4＋0＋4＝0，∴u⊥v，∴l(xiāng)∥α或l?α.4.已知直線l的一個(gè)方向向量為u＝(2，0，－1