5.2.1排列與排列數(shù)課件高二上學期數(shù)學北師大版（2019）選擇性必修第一冊

第五章

基本計數(shù)原理

5.2.1排列與排列數(shù)

1.理解并掌握排列的概念.2.能應用排列知識解決簡單的實際問題.探究13名同學排成一行照相，共有多少種排法？提示

設三名同學分別為A，B，C.共6種.排列及排列問題(1)排列：一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素，按照____________排成一列，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù)：我們把從n個不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個元素的所有不同排列的______，叫作從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作_________.(3)排列問題：把有關求____________的問題叫作排列問題.知識梳理一定的順序個數(shù)排列的個數(shù)溫馨提示(1)要滿足m≤n.(2)按照一定順序排列，順序不同，排列不同.(3)m＝n時叫全排列.例1(1)票價只有三種，雖然機票是不同的，但來回票價是一樣的，不存在順序差別，所以不是排列問題.判斷下列問題是否為排列問題：(1)北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格(假設來回的票價相同)；(2)選2個小組分別去植樹和種菜；(3)選2個小組去種菜；(2)植樹和種菜是不同的，存在順序差別，屬于排列問題.(3)(4)不存在順序差別，不屬于排列問題.(4)選10人組成一個學習小組；(5)選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；(6)某班40名學生在假期相互通信.(5)每個人的職務不同，例如甲當班長或當學習委員是不同的，存在順序差別，屬于排列問題.(6)A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在順序差別，屬于排列問題.所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題，(1)(3)(4)不是排列問題.判斷一個問題是否為排列問題，主要從“取”與“排”兩方面考慮(1)“取”指檢驗取出的m個元素是否重復；(2)“排”指檢驗取出的m個元素是否有順序，其判斷標準是，交換兩個元素位置看其結(jié)果是否有變化，有變化就是有順序，無變化就是無順序.思維升華(1)(多選)下列問題中是排列問題的是A.從甲、乙、丙三名同學中選出兩名分別參加數(shù)學、物理興趣小組B.從甲、乙、丙三名同學中選出兩人參加一項活動C.從a，b，c，d中選出3個字母D.從1，2，3，4，5這五個數(shù)字中取出2個數(shù)字組成一個兩位數(shù)訓練1√√由排列的定義知AD是排列問題.①④(2)下列問題屬于排列問題的是________.①從10個人中選2人分別去種樹和掃地；②從10個人中選2人去掃地；③從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊；④從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算.對于①，從10個人中選2人分別去種樹和掃地，選出的2人有分工的不同，故有順序，是排列問題；對于②，從10個人中選2人去掃地，選出的2人沒有順序，不是排列問題；對于③，從班上30名男生中選出5人組成一個籃球隊，選出的5人沒有順序，不是排列問題；對于④，從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個不同的數(shù)作冪運算，順序不一樣，計算結(jié)果也不一樣，是排列問題.例2畫出樹形圖.由“樹形圖”可知，所有坐法為ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.思維升華利用樹形圖解決簡單排列問題的適用范圍及策略(1)適用范圍：解決排列元素個數(shù)不多的問題.(2)策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，再安排第二個元素，并按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能做到不重不漏，然后再按樹形圖寫出排列.訓練2由題意作樹形圖，如圖.故所有排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共24個.例3分別用具體數(shù)字和排列數(shù)表示下列問題的結(jié)果.(1)從5個兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個數(shù)，其商的個數(shù)；(2)由0，1，2，3組成的能被5整除且沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)；(2)因為組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)能被5整除，所以這個四位數(shù)的個位數(shù)字一定是“0”，(3)有4名大學生可以到5家單位實習，若每家單位至多招1名實習生，每名大學生至多到1家單位實習，且這4名大學生全部被分配完畢，其分配方案的個數(shù).可以理解為從5家單位中選出4家單位，分別把4名大學生安排到4家單位，思維升華要想正確地表示排列問題的排列個數(shù)，應弄清這件事中誰是分步的主體，分清m個元素和n(m≤n)個不同的位置各是什么.訓練3(1)某學習小組共5人，約定假期每兩人相互各發(fā)起一次微信聊天，共需發(fā)起的聊天次數(shù)為A.20 B.15

C.10 D.5由題意得共需發(fā)起的聊天次數(shù)為5×4＝20.√(2)滬寧高鐵線上有六個大站：上海、蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江、南京，鐵路部門應為滬寧線上的六個大站(這六個大站之間)準備不同的火車票的種數(shù)為A.15 B.30

C.12 D.36√對于兩個大站A和B，從A到B的火車票與從B到A的火車票不同，因為每張車票對應一個起點站和一個終點站，因此，每張火車票對應從6個不同元素(大站)中取出2個不同元素(起點站和終點站)的一種排列，故不同的火車票有6×5＝30(種).1、背誦利用樹形圖解決簡單排列問題的適用范圍及策略2、背誦記憶簡單排列問題的方法1.(多選)從1，2，3，4四個數(shù)字中，任選兩個數(shù)做以下數(shù)學運算，并分別計算它們的結(jié)果.在這些問題中，相應運算可以看作排列問題的有 A.加法

B.減法

C.乘法

D.除法√因為加法和乘法滿足交換律，所以選出兩個數(shù)做加法和乘法時，結(jié)果與兩數(shù)字的位置無關，故不是排列問題，而減法、除法與兩數(shù)字的位置有關，故是排列問題.√√244.某機場是一座跨地域、超大型的國際航空綜合交通樞紐，目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東跑道、北跑道，如圖.若有2架飛往不