湖北省武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷（含答案）

湖北省武漢市常青聯(lián)合體2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題1．直線L：3x+y+3=0A．30° B．60° C．2．橢圓x2A．(±5，0) B．(±1，0) C．3．在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，設(shè)A．a(chǎn)+12C．12a?4．若直線x+(1+m)y?2=0和直線mx+2y+4=0平行，則m的值為（）A．1 B．?2 C．1或?2 D．?5．設(shè)圓C1：x2+y2A．1條 B．2條 C．3條 D．4條6．若直線y=?x+b與曲線x=1?y2A．[?1，1] B．[?1，2] 7．已知F1、F2是橢圓C：x2a2+y2bA．3 B．4 C．5 D．68．已知點(diǎn)P為直線y=x+1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓C1：(x?4A．5 B．6 C．2 D．1二、多選題9．已知直線l：A．傾斜角為60° B．恒過點(diǎn)(C．直線l的方向向量為(1，10．已知方程x26?m+A．當(dāng)m>6或m<2時(shí)，曲線C是雙曲線B．當(dāng)2<m<6時(shí)，曲線C是橢圓C．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m>6D．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則2<m<411．過點(diǎn)P(2，1)作圓O：x2A．|PA|=B．四邊形PAOB的外接圓方程為xC．直線AB方程為y=?2x+1D．三角形PAB的面積為812．一塊斯里蘭卡月光石的截面可近似看成由半圓和半橢圓組成，如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，半圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半圓所在的圓過橢圓的右焦點(diǎn)F(3，0)，橢圓的短軸與半圓的直徑重合.若直線y=t(t>0)與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)A．橢圓的離心率是2B．線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是(0C．△ABF的面積存在最大值D．△AOB的周長(zhǎng)存在最大值三、填空題13．已知a=(1，1，0)，b=(2，14．雙曲線y2?x15．若直線kx?y+1?2k=0與圓x2+y16．已知雙曲線方程為x2a2?y2b2=1，(a>0，b>0)，兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2四、解答題17．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(?3，0)，B(2，1)，（1）求BC邊的垂直平分線DE所在直線方程；（2）求△ABC內(nèi)BC邊上中線AD方程.18．已知圓心為C(0，3)，且經(jīng)過點(diǎn)（1）求此圓C的方程；（2）直線l：y=ax與圓C相交于A、B兩點(diǎn).若△ABC為等邊三角形，求直線19．如圖，四棱雉P?ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM.（1）求線段BC的長(zhǎng)度；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.20．已知橢圓C：（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(14，21．如圖，直三棱柱ABC?A1B（1）證明：BC⊥AB；（2）設(shè)D為A1C的中點(diǎn)，AA22．已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為1（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試求△OAB面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程.

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由題，將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得y=?3所以直線的斜率k=tan因?yàn)?°≤α<180故答案為：C.

【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程可得k=tanα=?3，再由02．【答案】B【解析】【解答】因?yàn)闄E圓x24+則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1故答案為：B.

【分析】直接利用橢圓方程求解焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.3．【答案】D【解析】【解答】如圖所示，BE∴故答案為：D.

【分析】利用空間向量的基本定理可得答案.4．【答案】A【解析】【解答】直線x+(1+m)y?2=0和直線mx+2y+4=0平行，可得1×2=m(1+m)m≠?2，得m=1故答案為：A.

【分析】由兩直線平行的性質(zhì)列出方程，求解可得m的值.5．【答案】B【解析】【解答】由題意，得圓C1：(x?1)2+(y+2)2=32，圓心C1(1，故答案為：B．

【分析】先判斷兩圓的位置關(guān)系，再確定公切線的條數(shù)即可.6．【答案】C【解析】【解答】將y=?x+b代入x=1?y2由題意，等價(jià)于2x則Δ=4b2?8(故答案為：C.

【分析】確定曲線x=1?7．【答案】A【解析】【解答】由題意，|PF1|+|PF2|=2a，整理可得(|PF1|+|PF2|)2故答案為：A.

【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)、三角形面積公式以及勾股定理，利用完全平方公式，即可得出答案.8．【答案】C【解析】【解答】如圖所示，由圓C1：(x?4)2圓C2：x2+可得圓心距|C所以|PM|+故|PM|+故答案為：C.

【分析】分別求得圓C1，C2的圓心坐標(biāo)和半徑，求得|C1C2|=5，結(jié)合|PM9．【答案】B,C【解析】【解答】由l：3x+y?2=0即直線斜率k=?3，所以傾斜角為120°點(diǎn)(0，2因?yàn)橹本€l斜率k=?3，而(1，?3令y=0，可得x=23=故答案為：BC

【分析】根據(jù)直線的方程求出斜率得傾斜角判斷A，點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可判斷B，根據(jù)直線斜率判斷C，求出直線在x軸上截距判斷D.10．【答案】A,D【解析】【解答】對(duì)于A，若曲線C為雙曲線，則(6?m)(m?2)<0，解得：m>6或m<2，A符合題意；對(duì)于B，若曲線C為橢圓，則6?m>0m?2>06?m≠m?2，解得：2<m<4或?qū)τ贑，若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m?2>6?m>0，解得：4<m<6，C不符合題意；對(duì)于D，若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則6?m>m?2>0，解得：2<m<4，D符合題意.故答案為：AD.

【分析】根據(jù)雙曲線、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，依次構(gòu)造不等式求得每種曲線對(duì)應(yīng)的m的范圍，即可得答案.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】對(duì)于A，由題意可得：|OP|=22+1=5對(duì)于B，由題意知，PB⊥OB，則PO為所求圓的直徑，所以線段PO的中點(diǎn)為（1，12），半徑為55，則所求圓的方程為(x?1對(duì)于C，由題意，其中一個(gè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），不妨設(shè)為點(diǎn)B，則AB⊥OP，又kOP=12，所以kAB對(duì)于D，因?yàn)锳B⊥OP，且直線OP的方程為y=12x，直線AB的方程為y=?2x+1，聯(lián)立方程組y=?2x+1y=12x，解得x=故△PBD的面積為12×255×4故答案為：BCD.

【分析】先由兩點(diǎn)間的距離得|OP|，由勾股定理可得|PA|即可判斷A；PO為所求圓的直徑，所以線段PO的中點(diǎn)為（1，12），半徑為55，即可判斷B；AB⊥OP，又kOP=12，得12．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：由題意得半圓的方程為x2設(shè)半橢圓的方程為x2又b=c=3，則a=32則半橢圓的方程為x2則橢圓的離心率e=332直線y=t(t>0)與半圓交于點(diǎn)A，與半橢圓交于點(diǎn)B，則線段AB長(zhǎng)度的取值范圍是(0，不妨設(shè)A(x1則由x12+由x2218則S△ABF≤2+12C符合題意；△OAB的周長(zhǎng)為l(t)=|OA|+|OB|+|AB|=3+(2則l(t)在(0，則△OAB的周長(zhǎng)不存在最大值.D不符合題意故答案為：ABC

【分析】根據(jù)題意求出半圓的方程和半橢圓的方程，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.13．【答案】π【解析】【解答】cos?故答案為：π

【分析】利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解，可得答案.14．【答案】y=±【解析】【解答】雙曲線y2?x22=1，焦點(diǎn)在漸近線方程為y=±2故答案為：y=±

【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得焦點(diǎn)在y軸，a=1，b=215．【答案】4【解析】【解答】由圓x2+y直線kx?y+1?2k=0，即k(x?2)?y+1=0，直線過定點(diǎn)P(2又因?yàn)?2所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，當(dāng)圓心到直線MN距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)MN最小，此時(shí)OP⊥MN，此時(shí)|MN|=23故答案為：4.

【分析】求出直線過的定點(diǎn)，當(dāng)圓心到直線MN距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)MN最小，根據(jù)|MN|=2r16．【答案】17【解析】【解答】連接BF設(shè)|AF2|=m由雙曲線的定義可得|在直角△AF1B中，|化簡(jiǎn)可得m=2在直角△AF1F2中，將m=23a代入上式可得(2a+所以e=c故答案為：17

【分析】連接BF1，設(shè)|AF2|=m，則|F2B|=2m17．【答案】（1）解：由B(2，1)，C(?2，3)可得線段BC的中點(diǎn)為因?yàn)镈E是BC邊的垂直平分線，所以kDE則DE所在直線方程：y?2=2x即2x?y+2=0（2）解：由（1）可得線段BC的中點(diǎn)為(0，故BC邊上中線AD方程為x?3+y所以△ABC內(nèi)BC邊上中線AD方程：2x?3y+6=0(?3<x<0)【解析】【分析】(1)先得到線段BC的中點(diǎn)，再利用垂直平分線得到kDE=2，再利用點(diǎn)斜式即可求解出BC邊的垂直平分線DE所在直線方程；

(2)利用截距式即可得BC邊上中線18．【答案】（1）解：因?yàn)閳A心為C(0，所以圓C的方程設(shè)為x2+(y?3)所以有(2)2（2）解：由（1）可知該圓的半徑為3因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為3，所以該等邊三角形的高為(3所以圓心C到直線l：y=ax的距離為32所以直線l的方程為y=3x【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可得圓C的方程；

(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可得直線l的方程.19．【答案】（1）解：∵PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，不妨以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系D?xyz，設(shè)BC=2a，則D(0，0，0)、P(0，0，1)、C(0，1，∵PB⊥AM，則PB?AM=?2a2（2）解：PA設(shè)平面PBC的法向量為n=(x1，y由n?BC=?2xcos<PA，n>=13?【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系D?xyz，設(shè)BC=2a，由PB⊥AM，即可得到a，從而求出線段BC的長(zhǎng)度；

(2)由(1)中的結(jié)論，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及線面角的公式，代入計(jì)算即可得到直線PA與平面PBC所成角的正弦值.20．【答案】（1）解：設(shè)C的焦距為2c(c>0)，2c=6?c=3，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2a，而橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為16.所以2a+2c=16?a=5，所以a=5，c=3，所以所以C的方程為x2（2）解：設(shè)A(x1，代入橢圓方程得x兩式相減可得(x即(y由點(diǎn)(14，得x1+x則l的斜率k=y所以l的方程為y?1即4x+5y?2=0.【解析】【分析】(1)根據(jù)隨圓中焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)公式，結(jié)合焦距的定義進(jìn)行求解出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、直線斜率公式進(jìn)行求解出直線l的方程.21．【答案】（1）證明：∵直三棱柱ABC?A∴BB1⊥平面ABC，并且∴BC⊥BB又∵BC⊥AB1，且AB1∴BC⊥平面A1又∵AB?平面A1∴BC⊥AB.（2）解：BC，BA，BB1兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，2，0)，所以A1C的中點(diǎn)設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量m=(x，y，z)設(shè)平面BDC的一個(gè)法向量n=(a，b，c)則cos?m，n?=m【解析】【分析】(1)先利用線面垂直的性質(zhì)定理推出B1B⊥BC，再利用線面垂直的判斷定理推出BC⊥平面A1ABB1，從而證明BC⊥AB；

(2)以22．【答案】（1）解：依題意，橢圓E的半焦距c=1，而離心率e=ca=12所以橢圓