2025屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市三十三中高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市三十三中高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知平面,,直線滿足,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件2.某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A. B.C. D.3.下列函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的是()A. B. C. D.4.已知函數(shù),若函數(shù)在上有3個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.56.已知F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.47.已知函數(shù),,若對,且,使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.8.水平放置的,用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的,其中,則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時,,則()A.2 B. C.1 D.10.函數(shù)的對稱軸不可能為()A. B. C. D.11.已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示:根據(jù)該折線圖可知,下列說法錯誤的是()A.該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元12.已知,,則等于().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),經(jīng)過引一條弦,使此弦被點(diǎn)平分,則此弦所在的直線方程為________________.14.設(shè)函數(shù),若對于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.15.已知拋物線,點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為,則線段長度的取值范圍為__________.16.已知函數(shù),(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),若關(guān)于x的方程恰有5個相異的實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,下頂點(diǎn)為,橢圓的離心率是,的面積是.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線與橢圓交于,兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),若直線與直線的斜率之和為1,證明:直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況,某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生,收集了他們參加公益勞動時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機(jī)抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的概率:(2)從參加公益勞動時間的學(xué)生中抽取3人進(jìn)行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當(dāng)時,高中生和初中生相比,那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動時間較長.(直接寫出結(jié)果)19.(12分)已知動圓過定點(diǎn),且與直線相切,動圓圓心的軌跡為,過作斜率為的直線與交于兩點(diǎn),過分別作的切線,兩切線的交點(diǎn)為,直線與交于兩點(diǎn).(1)證明:點(diǎn)始終在直線上且;(2)求四邊形的面積的最小值.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知是等差數(shù)列,滿足,,數(shù)列滿足,,且是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)對及,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

,是相交平面,直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:已知直線平面,則“”“”,反之,直線滿足,則或//或平面,“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質(zhì)定理、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力.2、A【解析】

由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置,求出半徑,代入求得表面積公式計算.【詳解】由三視圖知:幾何體為三棱錐,且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面,高為2,底面為等腰直角三角形,斜邊長為,如圖:的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),,且平面,,的中點(diǎn)為外接球的球心,半徑,外接球表面積.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積,根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征,利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵.3、C【解析】

由每個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因為函數(shù)和在遞增,而在遞減.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù),分當(dāng),,將問題轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題,用數(shù)形結(jié)合的方法研究.【詳解】當(dāng)時,,令,在是增函數(shù),時,有一個零點(diǎn),當(dāng)時,,令當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最大值,因為在上有3個零點(diǎn),所以當(dāng)時,有2個零點(diǎn),如圖所示:所以實(shí)數(shù)的取值范圍為綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力,屬于中檔題.5、D【解析】試題分析:拋物線焦點(diǎn)在軸上,開口向上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因為點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn):本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評:拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時經(jīng)常用到,可以簡化運(yùn)算.6、C【解析】

將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.7、D【解析】

先求出的值域,再利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)值域,由方程有兩個根求參數(shù)范圍即可.【詳解】因為,故,當(dāng)時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,故在區(qū)間上單調(diào)遞增;當(dāng)時,令,解得,故在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增.又,且當(dāng)趨近于零時,趨近于正無窮;對函數(shù),當(dāng)時,;根據(jù)題意,對,且,使得成立,只需,即可得,解得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍的問題,涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)值域的問題,屬綜合困難題.8、B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理,將平面直觀圖還原為原幾何圖形,可得,,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得,,,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個相同圓錐的組合體,它的表面積為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.9、D【解析】

說明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).10、D【解析】

由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性,得出結(jié)論.【詳解】對于函數(shù),令,解得,當(dāng)時,函數(shù)的對稱軸為,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項逐一分析,由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項說法正確;月收益最低,B選項說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個月收益低于后六個月收益,C選項說法正確,后個月收益比前個月收益增長萬元,所以D選項說法錯誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計算方法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號,即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率,進(jìn)而可求得直線的點(diǎn)斜式方程,化為一般式即可.【詳解】設(shè)弦所在的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),由于點(diǎn)為弦的中點(diǎn),則,得,由題意得,兩式相減得,所以,直線的斜率為,所以,弦所在的直線方程為,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用弦的中點(diǎn)求弦所在直線的方程,一般利用點(diǎn)差法,也可以利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來解答,考查計算能力,屬于中等題.14、【解析】試題分析:由題意得函數(shù)在[2,上單調(diào)遞增,當(dāng)時在[2,上單調(diào)遞增;當(dāng)時在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是考點(diǎn):函數(shù)單調(diào)性15、【解析】

連接,易得,可得四邊形的面積為,從而可得,進(jìn)而求出的取值范圍,可求得的范圍.【詳解】如圖,連接,易得,所以四邊形的面積為,且四邊形的面積為三角形面積的兩倍,所以,所以,當(dāng)最小時,最小,設(shè)點(diǎn),則,所以當(dāng)時,,則,當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時,,此時,因為隨著的增大而增大,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查拋物線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.16、【解析】

作出圖象,求出方程的根,分類討論的正負(fù),數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】當(dāng)時,令,解得,所以當(dāng)時,,則單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減,當(dāng)時,單調(diào)遞減,且,作出函數(shù)的圖象如圖:(1)當(dāng)時,方程整理得,只有2個根,不滿足條件;(2)若,則當(dāng)時,方程整理得,則,,此時各有1解,故當(dāng)時,方程整理得,有1解同時有2解,即需,,因為(2),故此時滿足題意;或有2解同時有1解,則需,由(1)可知不成立;或有3解同時有0解,根據(jù)圖象不存在此種情況,或有0解同時有3解,則,解得,故,(3)若,顯然當(dāng)時,和均無解,當(dāng)時,和無解,不符合題意.綜上:的范圍是,故答案為:,【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析,.【解析】

(1)根據(jù)離心率和的面積是得到方程組,計算得到答案.(2)先排除斜率為0時的情況,設(shè),,聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到,,根據(jù)化簡得到,代入直線方程得到答案.【詳解】(1)由題意可得,解得,,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)當(dāng)直線的斜率為0時,直線與直線關(guān)于軸對稱,則直線與直線的斜率之和為零,與題設(shè)條件矛盾,故直線的斜率不為0.設(shè),,直線的方程為聯(lián)立,整理得則,.因為直線與直線的斜率之和為1,所以,所以,將,代入上式,整理得.所以,即,則直線的方程為.故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線過定點(diǎn)問題,計算出是解題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.18、(1)(2)詳見解析(3)初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】

(1)由圖表直接利用隨機(jī)事件的概率公式求解;(2)X的所有可能取值為0,1,2,3.由古典概型概率公式求概率,則分布列可求;(3)由圖表直接判斷結(jié)果.【詳解】(1)100名學(xué)生中共有男生48名,其中共有20人參加公益勞動時間在,設(shè)男生中隨機(jī)抽取一人,抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為,那么;(2)的所有可能取值為0,1,2,3.∴;;;.∴隨機(jī)變量的分布列為:(3)由圖表可知,初中生平均參加公益勞動時間較長.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查超幾何分布的分布列的計算,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)見解析(2)最小值為1.【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義,判斷出的軌跡為拋物線,并由此求得軌跡的方程.設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程,由此求得點(diǎn)的坐標(biāo).寫出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求得點(diǎn)的坐標(biāo),并由此判斷出始終在直線上,且.(2)設(shè)直線的傾斜角為,求得的表達(dá)式,求得的表達(dá)式,由此求得四邊形的面積的表達(dá)式進(jìn)而求得四邊形的面積的最小值.【詳解】(1)∵動圓過定點(diǎn),且與直線相切,∴動圓圓心到定點(diǎn)和定直線的距離相等,∴動圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,∴軌跡的方程為:,設(shè),∴直線的方程為:,即:①,同理,直線的方程為:②,由①②可得:,直線方程為:,聯(lián)立可得:,,∴點(diǎn)始終在直線上且;(2)設(shè)直線的傾斜角為,由(1)可得:,,∴四邊形的面積為:,當(dāng)且僅當(dāng)或,即時取等號,∴四邊形的面積的最小值為1.【點(diǎn)睛】本小題主要考查動點(diǎn)軌跡方程的求法,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查拋物線中四邊形面積的最值的計算,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)時,根據(jù)絕對值不等式的定義去掉絕對值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集為,等價于,求出在的最小值即可.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時,時,不等式化為,解得,即時,不等式化為,不等式恒成立,即時,不等式化為,解得,即綜上所述,不等式的解集為(Ⅱ)不

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