2022-2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編：平行四邊形

2022-2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編

平行四邊形

一、單選題

1.（2024北京東城初三一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0,2）,B（-l,0）,C（2,0）為YABCD的頂

點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（-3,2）B.（2,2）C.（3,2）D.（2,3）

二、解答題

2.（2024北京平谷初三一模）如圖，在ASC中，=90°,AB^AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，

DE，AB千E,作N￡E）C的平分線交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作O尸的垂線交D尸于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：DH=BE；

（3）判斷線段即、與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

3.（2024北京通州初三一模）如圖，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度（0。＜。＜180。）得到線段AC,連

結(jié)3C,點(diǎn)N是的中點(diǎn)，點(diǎn)。，E分別在線段AC,3C的延長(zhǎng)線上，且CE=OE.

⑴NEDC=（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）連結(jié)2￡＞,點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，連接AF,EF,NF.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②若用等式表示線段行與CE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4.（2023北京東城初三一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完

成證明.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

已知：如圖，點(diǎn)。，E分別是，ABC的邊AB,AC的中點(diǎn).

求證：DE//BC,S.DE=-BC.

2

5.（2023北京燕山初三一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完

6.（2023北京通州初三一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AB=BD=2CD,E為AB的中點(diǎn)，請(qǐng)

你用無(wú)刻度的直尺在圖中畫(huà)△ABD的邊AO上的高線，小蕊的畫(huà)法如下.請(qǐng)你按照小蕊的畫(huà)法完成畫(huà)圖,

并填寫(xiě)證明的依據(jù).

畫(huà)法：

①連接ED,

②連接CE,交BD于點(diǎn)F,

③連接AF,交DE于點(diǎn)、P

④作射線3尸，交AD于點(diǎn)H,

/.3”即為所求△ABZ）的邊AD上的高線

證明：

VAB=2CD,E為AB的中點(diǎn)，

,BE=CD.

?：ABCD,

二四邊形EBCD是平行四邊形.____________________________

.,.點(diǎn)P是8D中點(diǎn).?

:.AT、DE是的中線

，是AAfiD的中線

■/AB=BD

：.BH是AD邊上的高線..

7.（2022北京大興初三一模）如圖，在平面四邊形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是43,CD上的點(diǎn),

CF=BE.

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

⑵若NA=60。，AD=2,AB=4,求8。的長(zhǎng).

8.（2022北京海淀初三一模）在Rt45c中，ZABC=90°,ABAC=30°.。為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在

邊AC上，CE=CD.點(diǎn)。關(guān)于點(diǎn)8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，連接AD,P為的中點(diǎn)，連接PE,PF,EF.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，寫(xiě)出線段PE與/￥■之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8,C不重合時(shí)，判斷(1)中所得的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若

不成立，請(qǐng)舉出反例.

參考答案

1.C

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(私辦，由平行四

0+2-1+m

22

邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得,解方程即可得到答案.

2+00+n

—亍

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

0+2-1+m

22

由平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)坐標(biāo)相同可得

2+00+〃

I22

m=3

n=2

；.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,2),

故選：C.

2.(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

⑶BE?+HC?=DF?,見(jiàn)角軍析

【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可;

(2)通過(guò)ASA證明EDG經(jīng)HDG,得到=根據(jù)題意易得/3=45。，由DEIAB,可得△BDE

為等腰直角三角形，于是BE=DE=DH；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作/W_LCD于點(diǎn)N,得DE為ABC的中位線，則比＞=CD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得

ZCDF=ZCFD=67.5°,于是CD=CF=BD,進(jìn)而CN=FN=BE=DE=DH,以此得出

CD-DH=CD-CN,即C"=DN,在RtDFN中,利用勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：補(bǔ)全圖形如圖所示.

:"EDG=ZHDG,

EH±DF,

:.NEGD=NHGD=90°,

在/XEDG和aHDG中,

NEGD=NHGD,DG=DG,/EDG=/HDG,

EDG空印9G(ASA),

在ABC中，ABAC=90°,AB=AC,

.1ABC為等腰直角三角形，

.-.ZB=45°,

又-DELAB,即NDE3=90°,

工以定為等腰直角三角形，

:.BE=DE=DH.

(3)解：HC2+BE2=FD2,證明如下:

如圖，過(guò)點(diǎn)P作FNLCD于點(diǎn)N,

則CRV為等腰直角三角形，

ZDEB=NCAB=90°,

DE//AC,

又?E為48的中點(diǎn)，

:.DE為A5C的中位線，

BD=CD,

NBDE=45。,

ZCDE=135°,

DF再分/EDC,

;./EDF=/CDF=675。,

ZC=45°,

:./CFD=180°-ZCDF-ZC=67.5°,即ZCDF=ZCFD,

：.CD=CF=BD,

:.CN=FN=BE=DE=DH,

:.CD-DH=CD-CN,即CH=Z)N,

在RtDFN中,由勾股定理得。力+對(duì)2=￡＞產(chǎn)，

HC2+BE2=FD~.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定于性質(zhì)、三角形中位線定理、角平分

線的定義、勾股定理，解題關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)將目標(biāo)線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，再根據(jù)勾

股定理解決問(wèn)題.

3.(1)90°-1?

(2)①見(jiàn)解析；②CE=^NF，證明見(jiàn)解析

【分析】本題考查了根據(jù)條件畫(huà)圖，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形

等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)和題意即可得出NC￡>E=NDCE=NACB=90O-：a；

(2)①根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；

②延長(zhǎng)"至點(diǎn)使~0=詼，連接證明四邊形為平行四邊形，證明

VACEaMDE,算出&=90。，ZECD=NEDC=45。,結(jié)合三角形中位線定理即可求解；

【詳解】(1)ZA=a,

由旋轉(zhuǎn)得AB=AC,

1QAO_a1

ZABC=ZACB=--------=90?！猘,

22

?：CE=DE,

：.ZCDE=ZDCE=ZACB=90°--a.

(2)①補(bǔ)全圖形如圖:

②延長(zhǎng)"至點(diǎn)M,使府=詼，連接

;點(diǎn)F為線段中點(diǎn)，

四邊形ABMD為平行四邊形,

:.AB//DM,AB=DM,

ZBAC+ZADM=180°,

,\ZADM=lSQ°-af

AF1EF,

:.AE=ME,

又QAB=AC,EC=ED,

:.AC=DM,

??..ACE-MDE(SSS),

ZMDE=/ACE=180°-ZACB=90。+L,

2

/.ZADM=ZMDE-ZCDE=90°+-a-\900--a\=a

2I2)f

..180°-a=a,

/.a=90°,

:?NECD=NEDC=45。,

?*-CD=yfl.CE，

為BC中點(diǎn)，尸為8D中點(diǎn)，

，NF是：BDC中位線,

:.CD=2NF,

CE=?NF.

4.證明見(jiàn)解析

【分析】方法一，證明一皿也.CEF(ASA),則DE=￡F,CF=AD,DE=^DF,CF=BD,證明四邊

形8CTO是平行四邊形，則。尸〃BC,DF=BC,進(jìn)而結(jié)論得證；

方法二，證明△AED=△(?￡1尸(SAS),則Cb=AD,ZCFE=ZADE,AD//CF,證明四邊形DBCN是平

行四邊形，則止=3C,DF//BC,進(jìn)而結(jié)論得證.

【詳解】方法一，證明：：點(diǎn)。，E分別是ABC的邊AB,AC的中點(diǎn)，

**?AE=CE，AD=BD，

CF//AB,

：.ZA=ZFCEf

■:ZA=/FCE,AE=CE,ZAED=NCEF,

.AED^.CEF(ASA),

/.DE=EF,CF^AD,

：.DE=-DF,CF=BD,

2

.四邊形BCTO是平行四邊形,

:?DF〃BC,DF=BC,

：.DE//BC,DE=-BC；

2

方法二，證明：???點(diǎn)E分別是的邊AB,AC的中點(diǎn)，

AAE=CE,AD=BD,

*.*AE=CE,XAED=/CEF,AD=BD,

.??(SAS),

ACF=AD,ZCFE=ZADE,

：.AD//CF,CF=BD,

???四邊形DBCF是平行四邊形,

：.DF=BC,DF//BC,

,/DE=-DF,

2

DE//BC,DE=-BC.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，中位線.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知

識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

5.證明見(jiàn)解析

【分析】方法一：先證明.AED空CE尸得到AD=CEZADE=ZCFE,得到AD〃CF,再證明四邊形

BCFD是平行四邊形，得到。尸=3C,DF//BC,則。E=工。/=,即可證明DE〃BC,且

22

DE=-BC.

2

方法二：同理可證ZXAE尸經(jīng)ACEG得到CG=AF,NAFE=NCGE,再證明四邊形ABGB是平行四邊形，

得到AB=Gb,進(jìn)一步證明四邊形BDEG是平行四邊形，得至IJDE〃臺(tái)G,DE=BG,即可證明。E〃3c且

DE=-BC.

2

【詳解】方法一：證明：如圖，延長(zhǎng)OE到點(diǎn)產(chǎn)，使EF=DE,連接尸C,DC,AF,

是AC的中點(diǎn)，

AE=CE,

又,：DE=FE,ZAED=ZCEF,

：.AAED絲△CEF(SAS),

/.AD=CF,NADE=NCFE,

：.AD//CF,

?.,。是AB的中點(diǎn)，

AD=BD=CF,

四邊形BCFD是平行四邊形，

:.DF=BC,DF//BC,

?：DE=FE,

：.DE=-DF=-BC,

22

：.DE//BC,且r>E=LgC.

2

方法二：證明：如圖，取BC中點(diǎn)G,連接GE并延長(zhǎng)到點(diǎn)產(chǎn)，使EF=GE,連接AF.

同理可證"即經(jīng)△CEG,

ACG=AF,/AFE=NCGE,

：.AF//CG,

是BC中點(diǎn)，

BG=CG=AF,

...四邊形ABGF是平行四邊形，

AB=GF,

?；D,E分別是AB,的中點(diǎn)，

BD==AB=GE=-GF,

22

BD=GE,

又?:BD//GE,

.?.四邊形BDEG是平行四邊形，

DE//BG,DE=BG,

：.DE〃BCS.DE」BC.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，正確理解題意是解題的關(guān)

鍵.

6.見(jiàn)解析

【分析】先根據(jù)題意畫(huà)圖，然后根據(jù)已知條件填寫(xiě)依據(jù)即可.

【詳解】

VAB^2CD,E為AB的中點(diǎn),

BE=CD.

,/ABCD,

，四邊形EBCD是平行四邊形.（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

，點(diǎn)尸是8。中點(diǎn).（平行四邊形對(duì)角線互相平分），

AF.DE是△ABZ）的中線，

/.3"是的中線，

AB=BD,

A3,是邊上的高線.（等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高）.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)與判斷和等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件靈活使用平行

四邊形的性質(zhì)和判定.

7.（1）證明見(jiàn)解析；

（2）2A/3.

【分析】（1）利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）過(guò)點(diǎn)。作。GLA8于點(diǎn)G,利用已知條件和銳角三角函數(shù)以及勾股定理即可求出8。的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB^D5.AB=CD,

"：CF=BE,

：.AB-BE=CD-CF,即AE=DF

四邊形AEFD是平行四邊形；

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DGLAB于點(diǎn)G.

ZAGD=90°,

'：ZA=60°,：.ZADG=30°,

\"AD=2,：,AG=1,

：.DG=722-l2=G，BG=AB-AG=3,

:.在RfADGB中，

BD=VDG2+BG2=7（^）2+32=2港.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形與直角三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定、直角三角形

的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

8.（1）PE±PF,—=—

PF3

（2）成立，證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由題意知。,反尸三點(diǎn)重合，則CD=3C,PF=PD=PB,含30。的直角三角形中

BC=^-AC,由CE=CD,可知CE=C￡>=2C=1AC,PE是"DC的中位線，有PE工PF,

22

PE=-CD=-BC,PF=>AB=&C,然后求出比值即可；

2222

(2)如圖2,連接OE,作PM13C于M,PG〃尤軸，過(guò)E作GN_L3c交BC于N,交PG于G,由題

意知，是△ABD的中位線，BD=FB,CDE是等邊三角形，四邊形PAWG是矩形，設(shè)DC=c,

FD=BD=b,則==AB=?伍+c),PM=^(b+c),BM=g,FM=^b,

DN=-DC=^-c,EN=—c,GE=PM-EN=—b,PG=MN=-(b+c),

22222V'

FN=FB+BD+DN=2b+^c,在4△PR以中，由勾股定理得尸產(chǎn)=+PA〃，求出用4,人表示的

P產(chǎn)的值，在放△PEG中，由勾股定理得P￡2=GE2+PG2,求出用a,6表示的尸爐的值，在QEFN

pp2PE

中，由勾股定理得取2=硒2+引Vz,求出用a,6表示的E產(chǎn)的值，求出可得%的值，進(jìn)而可得卡的

PF-PF

值，根據(jù)PE2+PF2與EF2的數(shù)量關(guān)系判斷PE與PF的位置關(guān)系即可.

【詳解】(1)解：PELPF,-=^-.

PF3

理由如下：由題意知。，昆尸三點(diǎn)重合

：.CD=BC,PF=PD=PB

VZABC=90°,ZBAC=30°

：.ZACB=60°,BC=-AC

2

?：CE=CD

CE=CD=BC=-AC

2

...E為線段AC的中點(diǎn)

尸是AD中點(diǎn)

PE是△ADC的中位線

/.PE=-CD^-BC,PELPF

22

：-PF=-AB=—BC

22

PF-BCA

PE_2_，3

??PF一6一3-

----￡)C

2

⑵解：PE"器邛的關(guān)系仍成立.

證明：如圖2,連接DE,作人3c于M,PG〃尤軸，過(guò)E作GV,3c交BC于