2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編：冪指對函數(shù)（解析版）

4<04零媚對備裁（虎題3小涔點精灌株+稿送演秋稼）

5年考情?探規(guī)律

5年考情

考題示例考點分析

2024年春考1題對數(shù)函數(shù)的定義域

2022春考5題幕函數(shù)的反函數(shù)

2021年秋考5題反函數(shù)

2021年春考6,13題指數(shù)函數(shù)、反函數(shù)

2020年秋考4題反函數(shù)

2020年春考12題反函數(shù)

5年真題?分點精準練

一.有理數(shù)指數(shù)募及根式（共1小題）

1.（2021?上海）若方程組［研+?，=。無解，則%?=0.

（祥解》利用二元一次方程組的解的行列式表示進行分析即可得到答案.

【解答】解：對于方程組［%x+y=q,有?,2=GW

\a2x+b2y=c2a2b2c2b2a2

根據(jù)題意，方程組修"+?'=q無解，

［a2x+b2y=c2

所以0=0,即￡）=11=0,

a2b2

故答案為：0.

【點評】本題考查的是二元一次方程組的解行列式表示法，這種方法可以使得方程組的解與對應(yīng)系數(shù)之間

的關(guān)系表示的更為清晰，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解行列式表示法中對應(yīng)的公式.

二.求對數(shù)函數(shù)的定義域（共1小題）

2.（2024?上海）log?x的定義域_（0,+oo）_.

K祥解》結(jié)合對數(shù)函數(shù)真數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：logzX的定義域為（0,+oo）.

故答案為：(0,+00).

【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

三.反函數(shù)(共5小題)

3.(2021?上海)已知/(%)=—+2,則尸⑴=_-3_.

X

K祥解工利用反函數(shù)的定義，得到〃x)=l,求解X的值即可.

【解答】解：因為/(%)=—+2,

x

令=即3+2=1,解得％=—3,

故廣(1)=—3.

故答案為：-3.

【點評】本題考查了反函數(shù)定義的理解和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域，考

查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2020?上海)已知f(x)=GT,其反函數(shù)為廣i(x),若/T(X)-〃=/(%+〃)有實數(shù)根，則.的取值范圍

K祥解』因為y=f~\x)-a與y=/(%+a)互為反函數(shù)若y=f~\x)-a與y=f(x+a)有實數(shù)根

=>y=/(x+。)與丁二九有交點0方程Jx+a-l=%,有根?進而得出答案?

【解答】解：因為y=/T(x)-a與y=/(元+々)互為反函數(shù)，

若y=/T(%)—。與y=/(%+。)有實數(shù)根，

貝Iy=/(x+a)與y=x有交點，

所以y/x+a-l=x,

133

即“=X2-X+1=(X——)2+—,

244

【點評】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于中檔題.

5.（2020?上海）已知函數(shù)/（x）=x3,/T（X）是y（x）的反函數(shù)，則=

（祥解》由已知求解x,然后把x與y互換即可求得原函數(shù)的反函數(shù).

【解答］解：由>=/（刈=尤3,得x5,

把x與y互換，可得/（X）=V的反函數(shù)為尸（尤）=次.

故答案為：近.

【點評】本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題.

6.（2021?上海）下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)存在反函數(shù)的是（）

A./（%）=x2B./（x）=sinxC./（x）=YD./（x）=l

K祥解X根據(jù)反函數(shù)的定義以及映射的定義即可判斷選項是否正確.

【解答】解：選項A：因為函數(shù)是二次函數(shù)，屬于二對一的映射，

根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，A錯誤，

選項3：因為函數(shù)是三角函數(shù)，有周期性和對稱性，屬于多對一的映射，

根據(jù)函數(shù)的定義可得函數(shù)不存在反函數(shù)，3錯誤，

選項C：因為函數(shù)的單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，屬于一一映射，所以函數(shù)存在反函數(shù)，C正確，

選項因為函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，屬于多對一的映射，所以函數(shù)不存在反函數(shù)，。錯誤，

故選：C.

【點評】本題考查了反函數(shù)的定義以及映射的定義，考查了學(xué)生對函數(shù)以及映射概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2022?上海）設(shè)函數(shù)/（尤）=尤3的反函數(shù)為7T（無），則尸（27）=3.

（祥解』直接利用反函數(shù)的定義求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步求出函數(shù)的值.

【解答】解：函數(shù)/（%）=尤3的反函數(shù)為/T（X）,

整理得廣［（x）=

所以尸（27）=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查的知識要點：反函數(shù)的定義和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基

礎(chǔ)題.

1年模擬?精選?？碱}

一.選擇題（共1小題）

1.（2024?寶山區(qū)二模）已知a>b>0,貝卜）

A.a2>b2B.2"<2〃

22

C.a<bD.logja>logtb

22

K祥解》根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【解答］解：a>b>0,

則4>6?,故A正確；

2a>2b,故3錯誤;

a2>體,故C錯誤;

log1a<logxb,故。錯誤.

22

故選：A.

【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題(共28小題)

2.(2024?崇明區(qū)二模)己知嘉函數(shù)y=f(無)的圖象經(jīng)過點(2,4),則/(3)=9.

K祥解》設(shè)出幕函數(shù)y=/(x)的解析式，根據(jù)其圖象經(jīng)過點(2,4),求函數(shù)的解析式，再計算/(3)的值.

【解答】解:設(shè)累函數(shù)y=/(x)=J(ceR),

其圖象經(jīng)過點(2,4),

:.2a=4,

解得a=2,

fM=x2；

:.f(3)=32=9.

故答案為：9.

【點評】本題考查了求幕函數(shù)的解析式以及利用函數(shù)的解析式求函數(shù)值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

3.(2024?金山區(qū)二模)函數(shù)y=log,2±^的定義域是

1-X

(祥解可根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可.

【解答】解：y=log—,

21-x

則出>0,解得-2<X<1,

1-x

故函數(shù)y的定義域為(-2,1).

故答案為：(-2,1).

【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題目.

4.(2024?金山區(qū)二模)已知集合用={1,3,5,7,9},N={x|2'=8},則ATN=_{3}_.

(祥解》求解指數(shù)方程化簡3,再由交集運算的定義得答案.

【解答］解：M={1,3,5,7,9},N={x|2，=8}={3},

,妁］N={3}.

故答案為：{3}.

【點評】本題考查交集及其運算，考查指數(shù)方程的解法，是基礎(chǔ)題.

5.（2023秋?寶山區(qū)期末）函數(shù)/（尤）=/gTT1的定義域為_（l,+oo）_.

K祥解》令被開方數(shù)大于等于0,同時對數(shù)的真數(shù)大于0;列出不等式組，求出x的范圍即為定義域.

【解答】解：要使函數(shù)有意義，需

Jx—1..0

>o

即X>1

故函數(shù)的定義域為（1,+00）

故答案為：（1,+00）

【點評】本題考查求函數(shù)的定義域需要開偶次方根的被開方數(shù)大于等于0,對數(shù)的真數(shù)大于0,屬于基礎(chǔ)題.

6.（2023秋?普陀區(qū)校級期末）已知/（x）=21og“（x-l）+l（a>0且"1）,函數(shù)y=/（x）的圖像恒過定點尸,

則點P的坐標為_（2』）_.

（祥解』在函數(shù)/（X）的解析式中，令x-l=l,即x=2時，不論。取。>0且awl的任意值，都可得/（2）

=1,即求出函數(shù)恒過的點的坐標.

【解答】解：/（x）=21oga（x-l）+l（a>0且a*1）,令x-l=l,即x=2時，不論4取。>0且awl的任意值,

f（2）=1恒成立，

即函數(shù)f（x）恒過定點（2,1）.

故答案為：（2,1）.

【點評】本題考查對數(shù)型函數(shù)恒過定點的求法，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2024?浦東新區(qū)三模）已知a=/g5,則/g20=_2—a_（用。表示）.

K祥解X利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解.

【解答】解：lg20=lg5+lg4=lg5+2lg2=lg5+2（l-lg5）=2-lg5=2-a.

故答案為：2—a.

【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2024?奉賢區(qū)三模）若lg2=a,lg；=b,則/g98=_a-26_.（結(jié)果用。，匕的代數(shù)式表示）

（祥解》由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【解答】解：若lg2=a,lg；=b,

則值7=-6,

貝！I/g98=lg2+21gl=a-2b.

故答案為：a-2b.

【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2024?長寧區(qū)二模）若3"=2〃=6,則▲+■1■=1.

ab

（祥解』由已知結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化公式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【解答】解：若3"=2"=6,則。=log36,b=log26,

-+y=log3+log2=log6=l.

ab666

故答案為：1.

【點評】本題主要考查了指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化及對數(shù)的換底公式及運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.（2024?靜安區(qū)二模）函數(shù)y=力上三的定義域為（_2,1）.

2+x—~

（祥解》根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式，求出解集即可.

【解答】解：由題意得，上三>0,

2+x

即（x-l）（x+2）<0,

解得，-2<x<l.

故答案為：（-2,1）.

【點評】本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應(yīng)求出使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，是基礎(chǔ)題目.

11.（2024?黃浦區(qū)校級模擬）已知集合4=口||尤B={.x|j；=log2x},則8=_（0_1]_.

K祥解》先求出集合A,B,結(jié)合交集的定義，即可求解.

【解答】解：集合A={x||x|麴（}={x]-ly?1},B={x|y-log2x}={x|x>0},

則AfB=（0,1].

故答案為：（0,1].

【點評】本題主要考查交集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2023秋?寶山區(qū)期末）設(shè)a、6為常數(shù)，若a>l,b<-l,則函數(shù)y=優(yōu)+b的圖像必定不經(jīng)過第二

象限.

K祥解》根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：時，函數(shù)y=a,過一二象限，

將函數(shù)的圖像向下平移161s<-1）個單位，則圖像不過第二象限.

故答案為：二.

【點評】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

13.（2023秋?寶山區(qū)校級期末）方程/伙3（f-4.8-5）=。3（尤+1）的解是工=6.

（祥解I根據(jù)已知條件，結(jié)合真數(shù)大于0,即可求解.

【解答】W：log.（x2-4x-5）=log,（x+1）,

—4.x—5>0

貝1]<x+l>0，解得x=6.

x2-4x-5-x+1

故答案為：6.

【點評】本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.（2023秋?虹口區(qū)期末）函數(shù)、=履。-2）+石！的定義域為_（2,5）_.

K祥解》根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0和根號下大于等于0以及分母不等于0得到不等式組，解出即可.

【解答】解：由題意得尸一2>°,解得2Vx<5,所以定義域為（2,5）.

[5-%>0

故答案為：（2,5）.

【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.

53

15.（2024?寶山區(qū)校級四模）已知正實數(shù)“、。滿足log“6+Iog/=5，aa=bb,貝！|a+b=_]—

K祥解》由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可得a,人的關(guān)系，然后結(jié)合指數(shù)幕的運算性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因為正實數(shù)。、。滿足1080》+108?=工=10806+—-—,

2logab

解得，log06=2或log0b=g,

所以〃=/或[二/,

當6=時，0a=bb=Q2",

一113

所以24=a,即々=—,b=—,a+b=—,

244

11Q

當〃="時，cf=/，即人=_L,〃=_L,a+b=~,

244

E3

貝!Ja+Z?=—.

4

故答案為：

4

【點評】本題主要考查了指數(shù)及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）函數(shù)〃x）=log2（2尤）?log8（8尤）的最小值為

（祥解》利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，換元后再由二次函數(shù)求最值.

【解答】解：函數(shù)的定義域為（0,+00）,

f(x)=log2(2x)-log8(8x)=(l+log2x)(l+1log2x)

124

=~(log?1)+—logzX+1，

令r=log2XJ貝h￡R,

原函數(shù)化為g?)=32+gf+l,

141

則當％=—2時，g?）有最小值為：x4+gx（—2）+1=—

故答案為：-』.

3

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)，訓(xùn)練了利用換元法及一次函數(shù)求最值，是基礎(chǔ)題.

17.（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知函數(shù)/（尤）=|「則/（/（3））=1

—x+2,x>2,

2

（祥解》結(jié)合分段函數(shù)解析式，由內(nèi)向外計算即可.

【解答】解：由題意得"3)=-gx3+2=g,/(1)=|Zog21l=l.

所以/(/(3))=1,

故答案為：1.

【點評】本題主要考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2024?長寧區(qū)校級三模）已知log23=〃，2b=5,貝1Jlog245=_2a+b_（用a、b表示）.

（祥解』由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因為log23=Q,2"=5,即log25=b,

貝!Jlog245=log25+21og23=2a+Z?.

故答案為：2a+b.

【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.（2024?浦東新區(qū)校級四模）設(shè)根>0,幾>0,若直線/:g+烏丁=2過曲線y=Q“T+l（a>0,awl）的定

2

點，則上+工的最小值為2.

mn

K祥解》根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行求解即可.

【解答】解：因為曲線y="T+l過定點（1,2）,

所以根+〃=2,即"=](m>0,〃>0),

2

m+n=51。「+1y+/n7m、…51*2+2匕幾丁m)、=于1(2+-2)=八2,

2

當且僅當即m=〃=1時取“=”，

mn

所以工+工的最小值為2.

mn

故答案為：2.

【點評】本題考查了指數(shù)的運算性質(zhì)和基本不等式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

20.(2024?閔行區(qū)三模)方程/0-20=用(3-/)的解集為—{x|x=-l}_.

~~2x=3-尤？

K祥解工依題意得到卜2x>0,解得即可.

3-x2>0

【解答】解：因為/g(-2x)=/g(3-Y),

_2尤=3-f

則<-2x>0,解得x=—1,

3-尤2>0

所以方程/g(-2x)=/g(3-x2)的解集為{x\x=-l].

故答案為：[x\x=-1}.

【點評】本題主要考查了對數(shù)運算性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2024?寶山區(qū)二模)將^/^^(其中a>())化為有理數(shù)指數(shù)幕的形式為

(祥解》利用根式與分數(shù)指數(shù)塞的互化求解.

【解答】解：=q"

5

故答案為：

【點評】本題主要考查了根式與分數(shù)指數(shù)幕的互化，屬于基礎(chǔ)題.

22.(2024?青浦區(qū)二模)已知/(x)=/gx-l,g(x)=lgx-3,若I/(x)|+1g(x)|=|/(x)+g(x)|,則滿足條件的

x的取值范圍是_(0-1叫[1000^+oo)_.

K祥解』由題意可得，f(x)g(x)..O,然后結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因為/(x)=/g尤-1,g(x)=lgx-3,

若I/(X)I+1g(x)1=1f(x)+g(x)|,則f(x)g(x)..0,

即(/gx-l)(/gx-3)..O,

所以Igx..3或lgx?1,

解得x>1000或。<X,10.

故答案為：(0,10X[1000,+oo).

【點評】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)在不等式求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

23.(2024?閔行區(qū)校級二模)方程值(2-*)+&(3-幻=這12的解是_%=-1_.

2—x＞0

K祥解』由已知可得/g(2-4)(3-尤)=值12,等價轉(zhuǎn)化為＜3-%＞0,由此解得X的值.

(27)(37)=12

【解答】解：由方程/g(2-x)+/g(3-元)=/gl2,可得/g(2-％)(3-％)=/gl2,

2—x＞0

?3-x＞0,解得x=—1,

、(2-x)(3-x)=12

故答案為x=-l.

【點評】本題主要考查對數(shù)方程的解法，注意對數(shù)函數(shù)的定義域，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)

題.

24.(2023秋?靜安區(qū)期末)下列幕函數(shù)在區(qū)間(0,+00)上是嚴格增函數(shù)，且圖像關(guān)于原點成中心對稱的是②

(請?zhí)钊肴空_的序號).

@y=x^^②,=尤3；③y=x§；?y=x^.

K祥解X由題意，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論.

【解答】解：由于函數(shù)＞=爐的定義域為［0,+oo),故它的圖像不可能關(guān)于原點成中心對稱，故排除①；

由于函數(shù)＞=)是R上的增函數(shù)，且是奇函數(shù)，故它的圖像關(guān)于原點成中心對稱，故②滿足條件；

2

由于函數(shù)＞=戶=次的定義域為尺，且為偶函數(shù)，故它的圖像關(guān)于y軸對稱，故排除③;

1

由于函數(shù)了=/號在(0,4w)上單調(diào)遞減，故排除④.

yjx

故答案為：②.

【點評】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

25.(2023秋?閔行區(qū)校級期末)函數(shù)y=-3(。＞0,。力1)的圖象過定點4,則點人的坐標是_(-2,-2)

(祥解》利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【解答】解：因為y=屋+2—3(。＞0,a/1)的圖象過定點A,

令x+2=0,貝！I尤=—2,y=＜2°—3=—2,

所以點A的坐標為(-2,-2).

故答案為：(-2,-2).

【點評】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

26.(2023秋?松江區(qū)期末)已知/ga+/g6=l,則口+力的最小值為_4斯

K祥解》根據(jù)對數(shù)運算求得“，〃的關(guān)系，利用基本不等式求得正確答案.

【解答】解：依題意，Iga+Igb=Igab=1,

.56=10且a>0,b>0,

a+2b..2ja.2b=4后,

當a=2。=2^/5時等號成立.

故答案為：4垂：.

【點評】本題考查了對數(shù)的運算法則、基本不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

27.(2023秋?長寧區(qū)期末)在有聲世界，聲強級是表示聲強度相對大小的指標.其值y(單位：")定義為

y=10Zg—.其中/為聲場中某點的聲強度，其單位為卬/://O=1OT2W/〃Z2為基準值.若/=iow/療，

^0

則其相應(yīng)的聲強級為130dB.

K祥解》將題中數(shù)據(jù)直接代入公式，結(jié)合對數(shù)運算求解.

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【解答】解：因為/