2021-2022學(xué)年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期專項(xiàng)重點(diǎn)突破：一元二次方程的解法（解析版）

專題05一元二次方程的解法（強(qiáng)化練習(xí)）

一、單選題（共40分）

1.（本題4分）（2021?河北新樂?九年級(jí)期末）一元二次方程（X-22『=0的根為（）.

A.=x2=22B.xx=x2=—22C.石=0,x2=22D.再=—22,x2=22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)方程特點(diǎn)，利用直接開平方法，先把方程兩邊開方，即可求出方程的解.

【詳解】

解：（X-22）2=0,

兩邊直接開平方，得x-22=0,

貝再=%=22.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握直接開平方法的基本步驟及方法.

2.（本題4分）（2021?山東?費(fèi)縣第二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若方程（"4）2=。有解，則。的取值范圍是

（）

A.B.a>0C.a>0D.a<0

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得到。是非負(fù)數(shù)，由此求得a的取值范圍.

【詳解】

解：（x-4）2=°有解，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直接開平方法解一元二次方程，一個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù).

3.（本題4分）（2022?湖北松滋?九年級(jí)期末）用配方法解方程--以=2,下列配方正確的是（）

A.（x-2）2=4B.（x+2）2=6C.（x-2『=8D.（x-2>=6

【答案】D

【解析】

【分析】

在方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)-4的一半的平方，把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常

數(shù)，判斷出配方結(jié)果正確的是哪個(gè)即可.

【詳解】

x2-4x=2

X2—4x+4=2+4

（x-2>=6

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握配方法的基本步驟.

4.（本題4分）（2021?河北?金華中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）將一元二次方程d-8x-5=0化成（x+a）2=6（a,

6為常數(shù)）的形式，則a,6的值分別是（）

A.-4,21B.-4,69C.4,21D.-8,11

【答案】A

【解析】

【分析】

將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案.

【詳解】

解：???X2-8X-5=0,

,,,x2—8x—5，

則X2-8X+16=5+16,

即0-4）2=21,

a=—4f6=21,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的求解過程.

5.（本題4分）（2022?云南昆明?九年級(jí)期末）一元二次方程（m-2）/+2加x-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則

m的取值范圍是（）

A.B.m=-2C.m=\D.加=-2或加=1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為0,且判別式△=（）即可求解.

【詳解】

解：???方程為一元二次方程，

.?.m-2^0,解得*2,

???方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

二判別式△=〃-4ac=4m2-4（m-2）x（-1）=4〃產(chǎn)+4加-8=0,

解得：mi=-2,加2=1，

綜上所述，心的取值范圍為：：小尸-2或切2=1，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程判別式的使用，當(dāng)△=〃一4℃>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△="一4m=0

時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)△="-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

6.（本題4分）（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級(jí)期中）已知。是一元二次方程N(yùn)-3x-5=0的較小的根，則

下面對(duì)。的估計(jì)正確的是（）

A.-2<a<-1B.2<a<3C.-4<a<-3D.4<a<5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用公式法表示出方程的根，再進(jìn)行估算即可.

【詳解】

一元二次方程X2-3X-5=Q,

a=l,b=—3,c=—5,

A=（-3）2一4*1*（-5）=29,

3±V29

x=----------,

2

則較小的根4=三運(yùn)，即-

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

7.（本題4分）（2021,四川游仙?一模）關(guān)于x的方程（機(jī)-1）N+x+機(jī)2+2〃?-3=0的一個(gè)根是0,則

的值是（）

A.7B.-3C.1或-3D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

把x=0代入方程得到m2+2m-3=0,求出結(jié)果.

【詳解】

解：把x=0代入方程（〃？-1）X2+X+%2+2%-3=0,得加2+2機(jī)-3=0,解得機(jī)=1或-3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查方程的解以及解一元二次方程，把解代入原方程是解決問題的關(guān)鍵.

8.（本題4分）（2022?甘肅麥積?九年級(jí)期末）已知對(duì)于實(shí)數(shù)m,n,定義一種新運(yùn)算"#"：m#

"2

"心"，若X#（-2）=10,則實(shí)數(shù)X的值為（）

n+m+n,m<n

A.3B.3或-4C.8D.3或8

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可得：（1）xN-2時(shí)，x2+x+（-2）=10；（2）x<-2時(shí)，（-2）2+x+（-2）=10；據(jù)此求出實(shí)數(shù)x的

值為多少即可.

【詳解】

解：(1)時(shí),

x2+x+(-2)=10,

???x2+x-12=0,

解得：x=-4或x=3,

vx>-2,

，x=3；

(2)xV-2時(shí)，

(-2)2+x+(-2)=10,

???4+x+(-2)=10,

解得：x=8,

??'x=8不符合題意.

綜上，可得：實(shí)數(shù)x的值為3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了解一元二次方程，以及定義新運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確“產(chǎn)的含義.

9.(本題4分)(2021?浙江?杭州市第十五中學(xué)八年級(jí)期中)若關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+3=0(aw0)

有一根為X=2O2O,則一元二次方程a(x-l)2+Mx-l)+3=0必有一根為()

A.2021B.2020C.2019D.2018

【答案】A

【解析】

【分析】

對(duì)于一元二次方程G?+6x+3=0(。N0),設(shè)t=x-\得至!]at2+bt+3=Q,禾ll用at2+bt+3=0有一■個(gè)根為?=2020得

到x-1=2020,從而可判斷一元二次方程辦②+樂+3=0(。W0)必有一根為x=2021.

【詳解】

解：對(duì)于一元二次方程。(x-仔+b(x-l)+3=0,

設(shè)t=x-\,

所以at2+bt+3=0,

而關(guān)于x的一元二次方程分2+6工+3=0（存0）有一■根為無=2020,

所以at2+bt+3=0有一個(gè)根為Z=2020,

貝1|%-1=2020,

解得x=2021,

所以一元二次方程0口-1）2+可計(jì)1）+3=0必有一根為尸2021.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的

解.

10.（本題4分）（2022?浙江?杭州外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期末）已知4是方程x2+2022x+1=0的兩個(gè)根,

則代數(shù)式（1+2023。+々2）（1+2026/+7?2）的值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到磔=1,通過根的定義得到4+2022。+1=0,￡2+2022￡+1=0,即可得到

l+2023a+a2=a,1+2026附/=4￡,進(jìn)一步即可求出答案.

【詳解】

'-a,￡是方程x2+2022x+1=0的兩個(gè)根，

；.磔=1,a2+2022a+l=0,^+2022^+1=0,

■?-1+2023a+a2=a,1+2026丑+/=4/

（l+2023ct+a2）（1+2026￡+/）

=a?4￡

=4磔

=4x1

=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的定義，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是把所求代數(shù)式合理變形后再

利用根與系數(shù)的關(guān)系解題.

二、填空題（共20分）

11.（本題5分）（2022?江蘇無錫?九年級(jí)期末）用配方法將方程V+4x=0化成+的形式：

【答案】（x+2y=4

【解析】

【分析】

配方法表示方程即可.

【詳解】

解：x2+4x=0

/+4%+4=4

（x+2『=4

故答案為：（X+2）2=4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的配方法.解題的關(guān)鍵在于識(shí)別方程的形式并正確的表示.

12.（本題5分）（2021?四川新都?一■模）已知關(guān)于x的一元二次方程力--2（〃z+2）x+"z=0有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根X/,必，若無/+工2=25，則加的值是___.

【答案】2

【解析】

【分析】

由二次項(xiàng)系數(shù)不為0,且根的判別式大于0,求出機(jī)的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到冽土a=2加，解

m

分式方程即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意得：加#0且八=[-2（m+2）]2-4m2—\6m+16>0,

.?.m>-1且加#0,

?關(guān)于x的一元二次方程加/-2（冽+2）x+加=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根毛，工2，

2（m+2）

?*?X]i-X2,

m

??%/+工2=2冽，

2（加+2）

???-----=2m,

m

???加加，

?"-m2-m-2=0,

解得加=2或-1,

經(jīng)檢驗(yàn)，加=2或-1是原分式方程的解，

?；m>-1,

???冽=2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解分式方程，熟練掌握一元二次方程根的判

別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

13.（本題5分）（2021?廣東?華南師大附中九年級(jí)階段練習(xí)）若直角三角形兩邊長(zhǎng)x,丁滿足

4x^+\y-2\=0,則其第三條邊長(zhǎng)為.

【答案】G或右

【解析】

【分析】

先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x和y的值，然后分兩種情況求解即可.

【詳解】

解：y/x2-x+|,v-2|=0,

??.x2-x=0,y-2=0,

解得修=0（舍去），X2=Ly=2,

設(shè)第三條邊為x,

當(dāng)X為斜邊時(shí)，X=V12+22=V5-

當(dāng)2為斜邊時(shí)，x=^22-12=A/3，

故答案為：百或行.

【點(diǎn)睛】

本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解一元二次方程，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵.在直

角三角形中，如果兩條直角邊分別為。和6,斜邊為C,那么〃+62=c2.

14.(本題5分)(2021,廣東越秀?一模)在平面直角坐標(biāo)系xQv中，一次函數(shù)y=/Mx+2"z-1的圖象為直線

I,在下列結(jié)論中：①當(dāng)加＞0時(shí)，直線/一定經(jīng)過第一、第二、第三象限；②直線/一定經(jīng)過第三象限；

③過點(diǎn)。作垂足為〃，則?！ǖ淖畲笾凳抢?；④若/與x軸交于點(diǎn)4與y軸交于點(diǎn)8,/^AOB

為等腰三角形，則加=-1或3，其中正確的結(jié)論是(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)).

【答案】②③

【解析】

【分析】

分別討論函數(shù)的左和b的正負(fù)，得出函數(shù)過第幾象限，可得出結(jié)論①錯(cuò)誤，結(jié)論②正確；由解析式可得一

次函數(shù)過定點(diǎn)(-2,-1),可得出當(dāng)點(diǎn)〃和定點(diǎn)重合時(shí)，OH最大,故③正確；分別求出點(diǎn)A和點(diǎn)8的坐標(biāo)，

根據(jù)A4O3是等腰三角形可得出等式，并求出參數(shù)加的值，得出結(jié)論④錯(cuò)誤.

【詳解】

解：當(dāng)機(jī)＞0,2/?-1＞0,即加〉g時(shí)，直線/經(jīng)過第一，第二，第三象限；

當(dāng)2加-1=0,即m=g時(shí)，直線/經(jīng)過第一，第三象限；

當(dāng)加＞0,即0＜機(jī)＜；時(shí)，直線/經(jīng)過第一，第三，第四象限；

當(dāng)加＜0時(shí)，2加-1＜0,直線/經(jīng)過第二，第三，第四象限；故①錯(cuò)誤，②正確；

一次函數(shù)y=加工+2加一1=加(工+2)—1,

當(dāng)》=-2時(shí)，y=-l,即直線/經(jīng)過定點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)反和定點(diǎn)(-2,-1)重合時(shí)，

OH取得最大值75；即③正確；

若/與X軸交于點(diǎn)A,與7軸交于點(diǎn)3,

1—2m

則4(—0),5(0,2^-1),

m

若根08為等腰三角形，貝/

.?l^21=12m-1|,解得機(jī)=±1或;，

m2

又當(dāng)加=；時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)3,點(diǎn)。重合，故不成立，

.,.當(dāng)為等腰三角形，m=±l；故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一次函數(shù)圖象過象限問題，等腰三角形存在性等問題，解題的關(guān)鍵是在計(jì)算時(shí)注意特殊情況

即函數(shù)過原點(diǎn)時(shí)的情況需要排除.

三、解答題(共90分)

15.(本題8分)(2021?貴州畢節(jié)?九年級(jí)期中)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

(1)2(x-1)2=因

(2)x2~2x=2x+l

【答案】(1)x=4或x=-2；(2)x=2+#/或x=2.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意利用直接開方法進(jìn)行一元二次方程的求解即可；

(2)根據(jù)題意利用配方法進(jìn)行一元二次方程的求解即可.

【詳解】

解：(1)2(x-1)2=18

(x-1)2=9

所以x-1=3或x-1=-3,

解得：x=4或x=-2；

(2)x2—2x=2x+1

x2—4x—\=0

(%-2)2-4-1=0

(x-2)2=5

所以x-2=右或》-2=-石，

解得：x=2+45BKX=2->/5.

【點(diǎn)睛】

本題考查解一元二次方程，熟練掌握并適當(dāng)?shù)剡x擇一元二次方程求解的方法是解題的關(guān)鍵.

16.(本題8分)(2021?山東即墨?九年級(jí)期中)解方程

(1)配方法解方程lx--12x-12=0；

(2)(x+2)(x+3)=1

【答案】(l)x/=3+VI?,X2—3-V15：

/、、—5+y/5—5—A/5

(2)切=------，x------------

222

【解析】

【分析】

(1)先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,再將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平

方式后，再開方即可得；

(2)利用公式法求解即可.

(1)

解：V2x2-I2x-12=0,

??x2-6x-6=0,

??N-6x=6,

???N-6X+9=6+9,即(x-3)2=15,

'.x-3=±V15,

.,.x;=3+V15，X2=3-V15；

(2)

解：整理成一般式，得：N+5X+5=0,

二。=1,6=5,c=5,

AA=52-4XlX5=5>0,

則.-b±】b。-4ac=-5±店,

la2'

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分

解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.

17.(本題8分)(2021?山西?介休市第三中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí))先閱讀材料，然后按照要求答題。

閱讀材料：為了解方程(--I)。一5(/一1)+4=0,我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)/-1=7，

卜2_1)，2,則原方程可化為:

-5y+4=0①

解得：=4

當(dāng)V=1時(shí)，x2-l=l,x2=2,

x=+V2，

當(dāng)_v=4時(shí)，x2-l=4,x2=5,

x=±V5，

二原方程的解為：X1=A/2,x2=-V2,x3=s[5,x4=-A/5,

解答問題：

（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)

了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；

（2）請(qǐng)利用以上知識(shí)解決問題：若（/+/-2乂療+1）=8,求加2+/的值。

【答案】（1）換元；（2）4

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)題目的變形可以看出運(yùn)用了換元法和整體思想在解答這道題，故得出結(jié)論為換元法；

⑵先設(shè)加+”2=丁，原方程可以變?yōu)椋海ǎ?2）＞=8,再解一道關(guān)于y的方程求出y的值，即/+/的值.

【詳解】

解：（1）根據(jù)題目的變形可以看出運(yùn)用了換元法和整體思想在解答這道題，故得出結(jié)論為換元法；

（2）設(shè)加2+n2=y,

則原方程變形為：（y-2）J=8,

整理，得/_2廣8=0,即（尸4）（了+2）=0,

解得：必=4,%=-2（不合題意，舍去），

即：療+"2=4

【點(diǎn)睛】

本題考查了換元法解一元二次方程，解題關(guān)鍵在于整體換元的思想.

18.（本題8分）（2021?江蘇豐縣?模擬預(yù)測(cè)）解方程

⑴解方程：x2-2x-3=0.

x+5<0

⑵解不等式組3x-l..并寫出它的最大負(fù)整數(shù)解.

------->2x+l

[2

【答案】⑴Xi=-l,x2=3

(2)x<-5,最大負(fù)整數(shù)解為x=-5

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)因式分解的方法解一元二次方程即可；

(2)分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集，進(jìn)而求得它的最大負(fù)整數(shù)解.

(1)

x2-lx-3=0

(x-3)(x+l)=0

解得玉=-l,x2=3

(2)

'x+540①

L2

解不等式①得：x<-5

解不等式②得：%<-3

不等式組的解集為xV-5

,它的最大負(fù)整數(shù)解為-5

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元二次方程，解一元一次不等式組，求不等式組的整數(shù)解，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

19.(本題10分)(2021?上海市建平中學(xué)西校八年級(jí)階段練習(xí))我們知道：對(duì)于任何實(shí)數(shù)x.

①??,/K),

?，?x2+l>0；

@v(x-j)2>0,

???(X-!)2+y>0.

32

模仿上述方法解答：

求證：(1)對(duì)于任何實(shí)數(shù)x,均有2x?+4x+3>0；

(2)不論x為何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式3x2-5x-1的值總大于2x2-4x-7的值.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)將代數(shù)式前兩項(xiàng)提取2,配方后根據(jù)完全平方式為非負(fù)數(shù)，得到代數(shù)式大于等于1,即對(duì)于任何實(shí)數(shù)

x,代數(shù)式2x2+4x+3的值總大于0,得證；

(2)證明3x2-5x-l-(2x2-4x-7)>0即可.

【詳解】

證明：(l)---2x2+4x+3

=2(x2+2x)+3

=2(N+2X+1)+1

=2(X+1)2+1>1>0.

2N+4X+3>0

(2)-3x2-5x-l-(2x2-4x-7)

=3x2~5x—1—2x2+4x+7

=x2~x+6

.,.多項(xiàng)式3x2-5x-l的值總大于2N-4x-7的值.

【點(diǎn)睛】

本題考查偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握偶次方的非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及配方法

的應(yīng)用.

20.(本題10分)(2022?北京?九年級(jí)期末)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“*”，其運(yùn)算法則為

a*b=a2-ab.如：2*1=2?-2x1=2.根據(jù)這個(gè)法則，

⑴計(jì)算：3*2=；

(2)判斷0+2)*(2,+1)=0是否為一元二次方程，并求解.

⑶判斷方程(x+2)*l=3的根是否為西=與"，吃=口!好，并說明理由.

【答案】(1)3

(2)是一元二次方程，4=1,/2=-2

(3)不是，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)=/一仍直接代入求值即可；

(2)根據(jù)新定義0*6=/一"，將方程化簡(jiǎn)，進(jìn)而解一元二次方程即可;

(3)方法同(2)解一元二次方程，進(jìn)而判斷方程的根即可

(1)

3*2=32-3x2=9-6=3

故答案為：3

(2)

(f+2)*(2f+l)=0

(/+2)2-(?+2)(2Z+1)=0

?+41+4-2/4f-2=0

-Z2-f+2=0

(f+2)*⑵+1)=0是一元二次方程

-(7+2)(-1)=0

解得：4=1由=-2

⑶

(x+2)*l=3的根不是西=三好，12=三立

va*b=a2-ab,則(％+2)*1=3,即(%+2『-(%+2)=3

x~+4x+4—x—2—3—0

x2+3x-1=0

Q=1,6=3,C=_1,A=9+4=13

-b±yJb2-4ac-3±VTJ

x=-------------------=------------

2a2

-3+V13-3-V13

x.=-------.x,=--------

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義運(yùn)算，代數(shù)式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定義，掌握解一元二次方程的方

法是解題的關(guān)鍵.一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做

一元二次方程.

21.(本題12分)(2022?河南?南陽市第十三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí))閱讀下面材料，解答后面的問題：

丫

解方程：口x—-1小4■=().

XX-L

X—14

解：設(shè)^=---，則原方程化為：y=0,方程兩邊同時(shí)乘以＞得：y2~4=0,解得：y=±2,經(jīng)檢驗(yàn)：y

xy-

4

=±2都是方程廠］=0的解，

Y—1x—11

.?.當(dāng)y=2時(shí)，---=2,解得x=-l；當(dāng)y=-2時(shí)，=-2,解得：%=-.

xx3

經(jīng)檢驗(yàn)：X=-1或x=；都是原分式方程的解，

???原分式方程的解為X=-1或X=；.

上述這種解分式方程的方法稱為換元法.問題：

Y—1V5

(1)若在方程口+/7=］中，設(shè)_______=y,則原方程可化為______，原方程的解為________；

xx-12

Y-13

(2)模仿上述換元法解方程：三二---1=0.

x+2x-1

［答案］(1)^--,y+~=^?或%=-］

xy22

(2)L；

【解析】

【分析】

V—1

(1)根據(jù)換元法設(shè)1=了，可得關(guān)于了的分式方程，解分式方程，再解分式方程即可得原方程的解；

X

Y_1丫1O

(2)根據(jù)分式的加減，可得：二-弋=0,根據(jù)換元法，可得答案.

x+2x-1

(1)

Y-115

解：設(shè)——=乃則原方程化為：y+—二不，

方程兩邊同時(shí)乘以2y得：ly2-5j+2=0,解得：或2,

經(jīng)檢驗(yàn)一=；和2都是方程/,=1的解.

，y

1y—11

當(dāng)時(shí)，—=1,解得x=2；

2x2

當(dāng)y=2時(shí)，---=2,解得：x=-1.

x

經(jīng)檢驗(yàn)：X=：和X=-1是原分式方程的解，

故答案為~+―=-|,或X=-l

XV22

(2)

解：原方程化為：=-'=()，

x+2x-1

Y-11

設(shè)了==，則原方程化為：廠一=0，

方程兩邊同時(shí)乘以y得：歹2-1=0,解得：y=±l,

經(jīng)檢驗(yàn)：歹=±1都是方程y-]=0的解.

x—1

當(dāng)y=l時(shí)，--=1-該方程無解；

x+2

X—11

當(dāng)y=-l時(shí)，_=一1，解得：工=一9

經(jīng)檢驗(yàn)：X=-g是原分式方程的解，

??.原分式方程的解為X=-g.

【點(diǎn)睛】

本題考查了用換元法解一類特殊的分式方程，關(guān)鍵是根據(jù)方程特點(diǎn)正確換元，注意兩次解分式方程都要檢

驗(yàn).

22.(本題12分)(2022?浙江?杭州外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期末)設(shè)機(jī)是不小于-1的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于x的方程

，+2(m-2)x+加2-3加+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根引，如

(1)若x；+x；=2,求加的值；

(2)令7=孑亂+詈求T的取值范圍.

]一再1-x2

【答案】(1)1

(2)0＜在4且*2

【解析】

【分析】

首先根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根及機(jī)是不小于-1的實(shí)數(shù)，確定加的取值范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，用含機(jī)

的代數(shù)式表示出兩根的和、兩根的積.

(1)變形片2+應(yīng)2為(X/+X2)2-2X/X2,代入用含加表示的兩根的和、兩根的積得方程，解方程根據(jù)加的取

值范圍得到m的值；

(2)化簡(jiǎn)T,用含m的式子表示出T,根據(jù)m的取值范圍，得到T的取值范圍.

(1)

???關(guān)于x的方程，+2(m-2)x+加2.3加+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

???/=4(m-2)2-4(m2-3m+3)>0,

解得m<\,

是不小于-1的實(shí)數(shù)，

???方程/+2(m-2)x+冽2.3加+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為孫，到，

???修+工2=-2(m-2)=4-2加,xi9X2=m2-3m+3.

^XJ2+X22=2,

:.(X/+X2)2-lx1X2=2,

-A(m-2)2-2(加2.3次+3)=2,

整理得加2-5加+4=o,解得加尸1,加2=4(舍去)，

的值為1；

(2)

mxxmx2

1-X]1—x]

mxx(l-x2)+mx2(1-Xj)

二

加[(玉+%2)-2項(xiàng)工2]

1一(再+X2)+XjX2

_m(42m—2m2+6m—6)

1-4+2m+m2-3m+3

_—2m(jn-1)2

m2-m

-2m(m-I)2

m(m-l)

=2-2m.

,:當(dāng)x=l時(shí)，方程為1+2(m-2)+加2-3加+3=0,

解得m=l或m=0.

?,.當(dāng)m=\或m=0時(shí)，T沒有意義.

，-1V<1且加W0

???0<2-2/?<4且Tw2.

即0<充4且*2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、一元二次方程的解法及分式的化簡(jiǎn).解決本題的關(guān)鍵是掌握根

與系數(shù)的關(guān)系，并能把要求的代數(shù)式變形為含兩根的和、兩根的積的式子.

23.（本題14分）（2022?江蘇鎮(zhèn)江?九年級(jí)期末）【閱讀】小明同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：已知關(guān)于x的方程

a（x+m）2+b=0（a、b、加為常數(shù)，a*0）的解是否=-3,玉=2,求方程a（x+?i+iy+b=O的解.他

用“換元法”解決了這個(gè)問題.我們一起來看看小明同學(xué)的具體做法.

解：在方程a（x+機(jī)+l『+b=0中令>=x+l,則方程可變形為++6=0,

根據(jù)關(guān)于X的方程4（X+加）2+6=0的解是否=—3,芻=2,

可得方程。（歹+加）2+6=0的解是必=-3,%=2.

把了=-3代入y=x+l得，x=-4,把V=2代入y=x+l得，x=l,

所以方程a（x+7”+iy+b=。的解是X]=-4,x2=1.

【理解】

已知關(guān)于X的一元二次方程辦2+6X+C=0（。N0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根m,n.

⑴關(guān)于x的方程亦+66+0=0（"0）的兩根分別是（用含有加、〃的代數(shù)式表示）；

（2）方程的兩個(gè)根分別是2處2n.（答案不唯一，寫出一個(gè)即可）

（3）【猜想與證明】

雙察下表中每個(gè)方程的解的特點(diǎn)：

方程方程的解方程方程的解

1

x2+4x+3=0玉——3x?=_13x2+4x+1=0

石=―3￡,X2--11

11

2、2—7x+3=03x?-7x+2=0_x?=~

玉—彳，X2=3再=2,3

11

x2-2x—8=0玉=4x2--28x2+2x-1=0

猜想：方程一+&+c=0("0,c*0尸_4ac>0)的兩個(gè)根與方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)；

(4)仿照小明采用的“換元法”，證明你的猜想.

【答案】⑴蘇,n2

(2)ox2+2/>x+4c=0

⑶cN+6x+a=0

(4)見解析

【解析】

【分析】

［理解］(