2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題匯編：乘法公式（解析版）

2021-2022學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級上冊壓軸題專題精選匯編

專題06乘法公式

一.選擇題

1.（2021春?浦江縣期末）如圖是將正方形/BCD和正方形CEFG拼在一起的圖形，點8,C,E在同一條

直線上，連結(jié)8D,BF.若陰影部分△8〃斤的面積為8,則正方形/BCD的邊長為（）

【思路引導(dǎo)】連接CF,根據(jù)題意可得D8//CR利用平行線之間的距離處處相等可得：S&BDF=S&BDC=

8,即可得出邊長.

【完整解答】解：如圖，連接CR

四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形,

/.ZBDC=45°,ZGCF=45°,

ZBDC=ZGCF,

J.BD//CF,

■SABDF=SABCD=8,

?SABDF=BCXBC+2=8.

5c=4,

故選：C.

2.（2021春?鹽城期末）如圖，4張邊長分別為a、6的長方形紙片圍成一個正方形，從中可以得到的等式

是（）

A.Ca+b)(a-b)—a2-b2B.(a+b)2—a2+2ab+b2

C.(a-b)2—a2-2ab+b2D.(a+6)2-(a-b)2~4ab

【思路引導(dǎo)】假設(shè)大正方形的面積用，小正方形的面積$2,則S-$2=4個長方形面積.

【完整解答】解：設(shè)大正方形的面積S1，小正方形的面積$2，

大正方形的邊長為。+6,則大正方形面積$=(a+6)2,

小正方形的邊長為a-6,則小正方形面積$2=(a-b>2,

四個長方形的面積為4ab,

,：Si-S2=4ab,

(a+b)2-(a-6)2—4ab,

故選：D.

3.(2021春?廬陽區(qū)期末)如圖，兩個正方形的邊長分別為。和6,如果a-6=2,ab=26,那么陰影部分

【思路引導(dǎo)】由圖可得陰影部分面積為4個直角三角形面積的和.

【完整解答】解：如圖，

Vtz-6=2,ab=26,

：.a2-2ab+b2=4,

/.a2+b2=4+2ab=4+52=56,

陰影部分的面積=SACDM+SMEF+S&GHM

=2xL(a-b)Xa+2X^bXb

22

=a(a-b)+b2

=a2+b2-ab

=56-26

=30.

故選：A.

4.(2021春?西湖區(qū)校級月考)若x滿足(2021-x)2+(x-2020)2=2019,則(2021-x)(%-2020)的

值是()

A.-1006B.-1007C.-1008D.-1009

【思路引導(dǎo)】設(shè)2021-%=。，x-2020=6,根據(jù)題意可得，6zW=2020,a+b=(2021-x)+(x-

2018)=3,將化成/[(a+6)2-(a2+z?2)]的形式，代入求值即可.

【完整解答】解：1S2021-x=a,x-2020=6,貝!!(2021-x)2+(x-2020)2=aW=2019,a+b=

(2021-x)+(x-2020)=1,

所以，(2021-x)(x-2020)="=春[(。+6)2-(/+〃)]=Ax(I2-2019)=-1009；

故選：D.

5.(2021春?拱墅區(qū)期中)用若干個形狀，大小完全相同的長方形紙片圍成正方形，4個長方形紙片圍成如

圖1所示的正方形，其陰影部分的面積為81；8個長方形紙片圍成如圖2所示的正方形，其陰影部分的

面積為64；12個長方形紙片圍成如圖3所示的正方形，其陰影部分的面積為（）

□圖2圖3

Si

A.22B.24C.32D.49

【思路引導(dǎo)】設(shè)長方形的長為a,寬為b,由圖1、圖2可求出a、b的值，再根據(jù)圖3,求出（a+36）2-

12仍的值，即求出陰影部分的面積即可.

【完整解答】解：設(shè)長方形的長為。，寬為6,由圖1得，（。+6）2-4仍=81,即：a-6=9,

由圖2得，(。+26)2-8。6=64,即：a-26=8,

解得：a=10,6=1,

由圖3得，（a+36）2-12a6=（a-3b）2=49,即陰影部分的面積為49,

故選：D.

6.（2020秋?鼓樓區(qū)校級期中）如果一個正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和

諧數(shù)”如（8=32-12,16=52-32,即8,16均為“和諧數(shù)”），在不超過2017的正整數(shù)中，所有的“和

諧數(shù)”之和為（）

A.255024B.255054C.255064D.250554

【思路引導(dǎo)】設(shè)相鄰的兩奇數(shù)分別為2〃+1,2?-1（“21,且"為正整數(shù)），求出和諧數(shù)的表達式，根據(jù)

和諧數(shù)不超過2017,列出不等式，求得〃的范圍，進而可以知道最大的"，求出此時的相鄰兩個奇數(shù),

然后把這些和諧數(shù)加起來計算即可.

【完整解答】解：設(shè)相鄰的兩奇數(shù)分別為2〃+1,2〃-1（"21,且〃為正整數(shù)）,

(2?+1)2-(2〃-1)2=8”,

根據(jù)題意得：8〃W2017,

...〃W252』,

8

最大為252,此時2"+1=505,2〃-1=503,

A32-了+52-32+...+5032-5012+5052-5032

=5052-J

=255024.

故選：A.

二.填空題

7.(2021春?海淀區(qū)校級期末)將4張長為p、寬為b(a>b)的長方形紙片按如圖的方式拼成一個邊長為

(a+b)的正方形，圖中空白部分的面積之和為多,陰影部分的面積之和為S2,若&=至$2,則曳的值

3b

為3.

$1=〃+62.2+2=

【思路引導(dǎo)】求出S2=2ab,根據(jù)用=至5得出〃方至_?2々6,求出°=工6或a=36,再求

333

出答案即可.

【完整解答】解：51=4X-ab+(a-b)2

2

=2ab+a2-2ab+b2

=。2+〃，

Sk(7^^)2-(a-b)2

=a2+b2-a2+2ab-b1

=2ab,

?,Q_5Cf

?51-燈2，

3

a2+b2——'2ab,

3

/.3a2-10a&+3Z>2=0,

(3a-b)(a-36)=0,

.,.3a-6=0或a-36=0,

解得：0=工6或a=36,

3

\'a>b>0,

.,.a=—b舍去，

3

當(dāng)a=36時，包=生=3,

bb

故答案為：3.

8.（2021春?西湖區(qū)校級月考）下列結(jié)論中：①已知2*=Q,2y=b,則2%+歹=M；②若〃2?〃4=56,則〃=5；

③若N-（上+2）x+4是完全平方式，則左=2；④關(guān)于x,>的方程組]及+5丫=2卜的自然數(shù)解有2對，正

Ix+2y=k-l

確的結(jié)論是①.（填正確的序號）

【思路引導(dǎo)】先根據(jù)同底數(shù)幕的乘法，完全平方公式，解方程組進行計算，再求出答案即可.

【完整解答】解：：2x=a,2V=6,

;.2計1=2工乂28=47,故①正確；

a2,a4=a6=56,

；.a=±5,故②錯誤；

".,x2-*+2）x+4是完全平方式，

-（K2）x=±2*x*2,

；.左=2或-6,故③錯誤；

解方程組儼+5丫=21:得：fx=-k+5

lx+2y=k-l[y=k-3

???方程組的解是自然數(shù)，

.[-k+5）0

"lk-3>0'

解得：3WK5,

自然數(shù)為3,4,5,

即關(guān)于x,y的方程組[及+5/=211的自然數(shù)解有3對，故④錯誤；

（x+2y=k-l

即正確的有①，

故答案為：①.

9.（2020秋?叢臺區(qū)期末）如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40,則陰影部分的面積是20.

【思路引導(dǎo)】設(shè)大正方形的邊長為。，小正方形的面積為6,根據(jù)題意得屏-62=40,Q+6）（a-b）

=40；根據(jù)Sfn=S/^iCD-SACDE計算即可.

【完整解答】解：設(shè)大正方形的邊長為用小正方形的面積為6,

根據(jù)題意得。2-62=40,

(。+6)(a-6)=40；

S網(wǎng)=%48-SACDE，

...5陰=工義。。*/5--LXCDXBE

22

=—(a+6)a-—(a+6)b

22

=—(a+6)(a-b)

2

(a+6)(a-b)=40,

.?.5陰=工乂40

2

=20.

故答案為：20.

10.(2020春?武侯區(qū)校級期中)若多項式N+x+人是關(guān)于x的完全平方式，則后=1.

一4一

【思路引導(dǎo)】根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項和已知平方項先確定出另一個數(shù)是工，平方即可.

2

【完整解答】解：：X=2XLXX

2

故答案為：1.

4

11.(2017春?張掖月考)乘法公式的探究及應(yīng)用.

小題1：如圖1,可以求出陰影部分的面積是。2一62(寫成兩數(shù)平方差的形式):

小題2：如圖2,若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，它的窗是(a-b),長是(a+如

面積是(。+6)-b)(寫成多項式乘法的形式)

小題3：比較圖1,圖2的陰影部分面積，可以得到乘法公式(a+6)(a-6)=°2-環(huán)(用式子表達)

小題4：應(yīng)用所得的公式計算：（1-3）（1-J-）（1-A-）…（1-二刀）（1-—

2232429921002

【思路引導(dǎo)】小題1：利用正方形的面積公式就可求出；

小題2：仔細(xì)觀察圖形就會知道長，寬，由面積公式就可求出面積；

小題3：建立等式就可得出；

小題4：利用平方差公式就可方便簡單的計算.

【完整解答】解：小題1：利用正方形的面積公式可知：陰影部分的面積=02-左；

故答案為：邪一〃；

小題2：由圖可知矩形的寬是。-6,長是所以面積是（a+b）（a-6）；

故答案為：a-b,a+b,（a+b）（a-b）；

小題3：（a+b）Qa-b）=/-左（等式兩邊交換位置也可）；

故答案為：（a+b）Qa-b）=cfi~b2；

工）（1-J-).

小題4：(1--(1-??(1(1-

2222

2349910。2

=（1-A）x（i+A）(1-A）（i+A）（1-A）（1+1）???(1-J-)(1+工)(1-)(1+^—)

2233449999100100

乂乂乂乂x§x…乂

_13243,X毀X.100Y99101

2233449999100100

』典

2100

_101

200'

12.如圖，小剛家有一塊””形的菜地，要把這塊菜地按圖示那樣分成面積相等的梯形，種上不同的蔬菜，

這兩個梯形的上底都是xm,下底都是"7,高都是（y-x）心，請你幫小剛家算一算菜地的面積是

一平方米.當(dāng)x=20加，y=30%時，面積是500平方米.

【思路引導(dǎo)】本題結(jié)合圖形，根據(jù)梯形的面積公式=上（上底+下底）義高，列出菜地的面積，再運用平

2

方差公式計算.

【完整解答】解：由題意得菜地的面積為2></（x+y）（廠x）=了2-》2.

當(dāng)x=20,y—30時，

y2-x2=302-202=900-400=500m2.

故答案為：y2-x2；500.

13.（2020春?建平縣期末）我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如下

圖），此圖揭示了（a+b）"（”為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.

例如：

（a+b）。=1,它只有一項，系數(shù)為1；

（a+b）l=a+b,它有兩項,系數(shù)分別為1,1,系數(shù)和為2；

（a+b）2=。2+29+62,它有三項,系數(shù)分別為1,2,1,系數(shù)和為4；

（a+b）3=爐+3.2什3近2+",它有四項，系數(shù)分別為1,3,3,1,系數(shù)和為8；

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（。+6）4展開式共有5項,系數(shù)分別為1,4,6,4,1；

（2）（a+6）"展開式共有（〃+1）項,系數(shù)和為2".

1

11

121

1331

【思路引導(dǎo)】經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字組成的三角形是等腰三角形，兩腰上的數(shù)都是1,從第3行開始,

中間的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字之和，展開式的項數(shù)比它的指數(shù)多L根據(jù)上面觀察的規(guī)律很容

易解答問題.

【完整解答】解：（1）展開式共有5項，展開式的各項系數(shù)分別為1,4,6,4,1,

（2）展開式共有”+1項，系數(shù)和為2".

故答案為：（1）5；1,4,6,4,1；（2）（n+1）,2".

三.解答題

14.（2021春?于洪區(qū)期末）數(shù)學(xué)活動課上，張老師準(zhǔn)備了若干個如圖①的三種紙片，/種紙片是邊長為a

的正方形，3種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為6,寬為。的長方形，并用N種紙片一張，B

種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖②的大正方形.

(1)觀察圖②，寫出代數(shù)式(。+6)2,a2+b2,之間的等量關(guān)系是(a+b)2=。2+2。%+62.；

(2)根據(jù)(1)中的等量關(guān)系，解決下列問題；

①已知a+6=4,.2+62=10,求成的值；

②已知(x-2021)2+(x-2019)2=130,直接寫出x-2020的值.

【思路引導(dǎo)】(1)圖形②是邊長為S+6)的正方形，它的面積由一個邊長為。的正方形和一個邊長為6

的正方形以及兩個長為從寬為。的長方形組合而成，由此結(jié)論可得；

(2)①把a+6=4進行平方，結(jié)合。2+62=]()即可求得"的值；

②設(shè)x-2020=a,則x-2021=a-1,x-2019=a+l貝！]有(a-1)2+(a+1)2=130,進行整理可得序=

64,從而求出所求.

【完整解答】解：(1)???圖形②是邊長為(。+6)的正方形,

：.S=(a+6)2.

?..大正方形的面積由一個邊長為。的正方形和一個邊長為b的正方形以及兩個長為b,寬為a的長方形

組合而成，

/.S=ar+1ab+b^.

(a+6)2=a2+2ab+b2.

故答案為：(a+6)2=a2+2ab+b2.

(2)①：a+6=4,

:.(a+6)2=16.

/.a^+2ab+b^=16.

VaW=10,

ab=3>.

②設(shè)x-2020=a,貝！］x-2021=a-1,x-2019=a+l.

,/(x-2021)2+(x-2019)2=130,

(a-1)2+(a+1)2=130.

tz2-2〃+1+。2+2〃+1=130.

???2〃2=128.

/.”=64.

即(x-2020)2=64.

Ax-2020=±8.

15.(2021春?新都區(qū)期末)(1)已知a+b=6,a2+b2=26,求的值；

(2)已知多項式必+幾x+3與-3x+冽的乘積中不含有和項，求加+〃的值.

【思路引導(dǎo)】(1)欲求Q-6,可求(a-b)2.由于(a-b)-2ab,所以轉(zhuǎn)化求ab.由a+b=

6,a2+b2=26,(a+b)2=a2+b2+2ab,故可求得ab=5,

(2)由題意，需求多項式N+〃x+3與N-3x+加的乘積中的含有N和一項的代數(shù)式，若不存在，則N

和/項的系數(shù)為0,進而解決此題.

【完整解答】解：(1)???〃+6=6,

/.(。+6)2=36.

/.a2-^-b2+2ab=36.

XVt/W=26,

???26+2〃6=36.

??ctb=5.

/.(a-b)2=a2+b2-2ab=26-10=16.

.'.a-b=±4.

(2)(x2+?x+3)(x2-3x+m)

=x4-3x3+mx2+nx3-3nx2+mnx+3x2-9x+3m

=/+(n-3)x3+(m-3〃+3)x2+(mn-9)x+3m.

多項式x2+nx+3與N-3x+冽的乘積中不含有x2和R項，

?"-3=0,m-3〃+3=0.

??JTl~~6>Yl~~3.

冽+“=6+3=9.

16.(2021春?皇姑區(qū)期末)若x滿足(x-4)(%-9)=6,求(%-4)2+(%-9)2的值.閱讀下面求解的

方法：

解：設(shè)(x-4)=a,(x-9)=b,貝Iab=(x-4)(x-9)=6,a-b=(x-4)-(x-9)=5

2

二(X-4)+(X-9)2=。2+〃=(a_b)2+206=52+2X6=37.

請仿照上面的方法求解下面的問題：

（1）若X滿足（x-2）（X-5）=10,求（X-2）2+（X-5）2的值；

（2）如圖，正方形48CD中，E、尸分別是40、。。上的點，且4E=1,CF=3,長方形EA/FD的面積

是15,分別以板、。廠為邊作正方形，若/D=x,貝U

①DE=x-1,DF=x-3（用含x的代數(shù)式表示）；

②直接寫出圖中陰影部分的面積.

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)材料方法，即可求出(x-2)2+G-5)』29；

(2)①由圖直接可得；

②由長方形EMFD的面積是15,得(x-1)(x-3)=15,再算(x-1+x-3)2=(x-1-x+3)2+4(x

-1)(x-3)=2?+4X15=64,即可求出尤-1+無-3=8,再由(x-1)2-(x-3)2—2(x-1+x-3)

即可求出陰影部分面積.

【完整解答】解：(1)設(shè)(尤-2)=a,(x_5)=b,則a6=(x-2)(x-5)=10,a~b=(尤-2)-

(x-5)=3,

(x-2)2+(x-5)2=a2+b2=(a-b)2+2aZ)=32+2X10=29；

(2)①?.,/￡1=：!,CF=3,正方形4BCD邊長為x,

:.DE=x-LDF=x-3.

故答案為：x-1,x-3；

②?.,長方形EMFD的面積是15,

(x-1)(x-3)=15,

設(shè)x-l=a,x-3—b,則。6=15,a-b—1,

/.(x-1+x-3)2(a+b)2=(a-6)2+4aZ?=22+4X15=64,

?；a20,620,

.,.x-1+x-3=a+b=S,

陰影部分面積為(龍-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+6)(a-b)=16.

17.(2021春?南海區(qū)期末)在學(xué)習(xí)完全平方公式：后，我們對公式的運用進一步探討.

(1)若a6=30,a+b=10,貝1」4+62的值為40.

(2)“若y滿足(40-y)(y-20)=50,求(40-y)2+(y-20)2的值”.

閱讀以下解法，并解決相應(yīng)問題.

解：設(shè)40-y=a,y-20=b

則a+6=(40-y)+(y-20)=20

ab=(40-7)3-20)=50

這樣就可以利用(1)的方法進行求值了.

若x滿足(40-x)(%-20)=-10,求(40-x)2+(x-20)，的值.

(3)若x滿足(30+x)(20+x)=10,求(30+x)2+(20+x),的值.

【思路引導(dǎo)】(1)先將等式。+6=10兩邊平方，再將。6=30代入即可；

(2)設(shè)40-y=a,y-20=6,可得：a+6=20,ab=50,再根據(jù)完全平方公式即可求解;

(3)設(shè)30+x=a,20+x=b,則a6=10,a-6=10,再根據(jù)完全平方公式即可求解.

【完整解答】解：(芯-：a+b=10,

：.(a+6)2=100,

BPa2+2ab+b2=100,

將ab=30,代入得：aW+2X30=100,

.\aW=100-60=40,

故答案為40.

(2)設(shè)40-x=a,x-20=6,

貝！1(40-x)(x-20)=ab=-10,

'：a+b=(40-x)+(x-20)=20,

(40-x)2+(x-20)2

=a2+b2

=(a+6)2-lab

=202-2X(-10)

420.

(3)設(shè)30+x=a,20+x=6,

則(30+無)(20+x)=ab=W,

'.'a-b—(30+x)-(20+x)=10,

(30+x)2+(20+x)2

=a2+b2

—(a-b)2+2ab

=102+2X10

=120.

18.（2021春?丹陽市期末）如圖，有長為〃?，寬為"的長方形卡片N（〃?>〃），邊長為加的正方形卡片3,

邊長為〃的正方形卡片C,將卡片C按如圖1放置于卡片/上，其未疊合部分（陰影）面積為矯，將卡

片/按如圖2放置于卡片2上，其未疊合部分（陰影）面積為S2.

（1）Sy=mn-n2,S,=m2-mn；（用含加、〃的代數(shù)式表示）

（2）若$+52=18,則圖3中陰影部分的面積、=18；

（3）若m-n=6,mn—10,求圖4中陰影部分的面積S4.

【思路引導(dǎo)】（1）如圖1,陰影面積&=卡面/面積-卡片C面積；

如圖2,陰影面積$2=卡片8面積-卡片/面積；

（2）如圖3,陰影面積$3=卡片8面積-卡片。面積=笳-",而由己知$+$2=18,可解出18=51+5,2

=m2-n2,即可依此解答；

(3)由于已知若冽-〃=6,mn—10,有代數(shù)式加-〃，mn,所以在運算S4過程中出現(xiàn)：—Cm2+n2

2

+mn)=-^-[(m-n)2+3m?],要轉(zhuǎn)化成冽-小mn,才能用已知條件的數(shù)值代入.

【完整解答】解：卡片4面積=加小卡片5面積=加2,卡片。面積=",

(1)5i=A-C=mn-n2,

2

S2=B-A=m-mn,

故答案為：mn-n2,m2-mn,

(2)Sx=mn-n2,S?=--mn,

/.S]+S2=(mn-H2)+(加2-mn),

81+82=加2-S，

VSI+52=18,

m2-〃2=18

:?S3=B-C=m2-n2=18,

故答案為：18,

(3)S^ABC=—BC*AC=—m(加+九),

22

S梯形4co(〃+加+〃)n~~~~n(2〃+加),

22

S4BDE=—n(冽+n)，

2

m4

BwCn~D

圖4

-

圖4中陰影部分的面積S4=S四邊形/3QES2BDE

-

=(SA248c+S梯形4CZ>E)S^BDE

=—m(m+n)+—n(2n+m)--n(加+〃)

222

=—1m2+—1n2+—1mn

222

=—(m2+n2+mn)

2

=-^-[（m-n'）2+?>mri\

\"m-n—6,mn—10,

.\54=-^-[（%-”）2+3mn]

=A（62+3X10）

2

=33,

答：圖4中陰影部分的面積S4是33.

19.（2021春?新邵縣期末）如圖，它是一個長為2加，寬為2〃的長方形，沿圖中的虛線剪開均分成四個小

長方形，然后按圖（2）形狀拼成一個正方形.

（1）你認(rèn)為圖（2）中的陰影部分的正方形邊長為（m-n）

（2）請用兩種不同的方法表示圖（2）陰影部分的面積；

方法一：（〃？-"）2m2方法二：[（加+”）2-4加"]加2

（3）觀察圖（2）,寫出三個代數(shù)式：（加+〃）2,（m-n）2,加〃之間的等量關(guān)系.

（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決下列問題：若a+6=7,ab=5,求（a-b）2的值.

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果即可得出答案；

（3）先根據(jù)（2）的結(jié)果進行變形，再代入求出即可.

【完整解答】解：（1）圖中陰影部分的正方形邊長為（機-〃）.

故答案為：（加-"）；

（2）方法一：：圖2中陰影部分為正方形邊長為：（加-〃）m,

.?.圖2中陰影部分的面積是：（加-“）2加2

方法二：圖2中陰影部分的面積=邊長為（加+"）的正方形的面積-4個小長方形的面積和

即：[（%+〃）2-4mn]m2

（3）關(guān)系為：（加-〃）2=（加+〃）2-4mn（4）；

*.*(m-n)2=(加+〃)2-4mn；

2

???有Ca-b)2=(a+b)-4ab

又?.?4+6=7,ab—5

：.(a-b)2=(a+b)2-4仍=72-4X5=49-20=29.

20.（2021春?泰興市期末）已知（x+y）2=25,（x-y）2=1,求N+儼與孫的值.

【思路引導(dǎo)】已知等式利用完全平方公式化簡，相加減即可求出所求式子的值.

【完整解答】解：:（x+y）2=N+2盯+y=25①，（x-y）2=N-2盯+產(chǎn)=1②,

?,?①+②得：2(N+yZ)=26,即N+y2=13；

①-②得：49=24,即孫=6.

21.(2021春?寬城縣期末）若我們規(guī)定三角“△表不為：abc；方框表示為:

5切"）.例如：/93\|2______4=1><19><3+（24+3D=3.請根據(jù)這個規(guī)定解答下列問題:

【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)新定義運算代入數(shù)據(jù)計算即可求解；

（2）根據(jù)新定義運算代入數(shù)據(jù)計算，再根據(jù)完全平方式的定義即可求解;

（3）根據(jù)新定義運算代入數(shù)據(jù)得到關(guān)于x的方程，解方程即可求解.

【完整解答】解：（1）

=[2X(-3)Xl]4-[(-1)4+3)

=-6+4

3

2

故答案為：-—;

2

=[x2+(3y)2]+xk*2y

2左=±6,

解得左=土3.

故答案為：±3；

(3)為X-23X+A出幽老31=6X2+7,

(3x-2)(3x+2)-[(x+2)(3x-2)+32]=6x2+7,

解得x=-4.

22.(2020秋?鹽池縣期末)回答下列問題

(1)填空：x2+-l-=(x+L)2-2=(X-L)2+2

x2xX

(2)若0+工=5,則。2+工=23；

2-----

aa

(3)若。2-3。+1=0,求02+二3的值.

A

【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)完全平方公式進行解答即可；

(2)根據(jù)完全平方公式進行解答；

(3)先根據(jù)02-3a+l=0求出0+工=3,然后根據(jù)完全平方公式求解即可.

a

【完整解答】解：(1)2、2.

(2)23.

(3)*.*cfi-3tz+l—0

兩邊同除〃得：a-3+—=0,

a

移項得：—3,

a

tz2+—（ti+—）2-2—7.

2a

a4

23.（2018秋?寧城縣期末）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式,

例如圖1可以得到（a+6）2=a2+2ab+b2,請解答下列問題:

（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式（a+6+c）2=a2+62+c2+2"+2ac+26c

（2）根據(jù)整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式.

（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：

若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,貝!Ja2+b2+c2=30.

（4）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為q的正方形，y張邊長為6的正方形z張邊長分別為〃、6的長方形紙

片拼出一個面積為（5Q+76）（9Q+46）長方形，則x+”+z=156.

【思路引導(dǎo)】（1）依據(jù)正方形的面積=（a+b+c）2；正方形的面積=層+62+02+246+2〃0+2兒，可得等式;

(2)運用多項式乘多項式進行計算即可；

(3)依據(jù)〃2+b2+/=(q+6+c)2-2ab-2ac-2bc,進行計算即可；

(4)依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab,而(5a+7b)(9Q+4b)=45a2+20ab+63ab+28〃=

45a2+28爐+83打，即可得到x,y,z的值.

【完整解答】解：(1):正方形的面積=(a+b+c)2；正方形的面積=q2+b2+c2+2ab+2qc+26c.

/.(a+b+c)2=c^+t^+c^+lab+lac+lbc.

故答案為：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

(2)證明：(a+b+c)(a+b+c),

=c^+ab+ac+ab+t^+bc+ac+bc+c1,

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

(3)a1+b1+c1=(a+b+c)2-lab-lac-26c,

=1。2_2(ab+ac+bc),

=100-2X35,

=30.

故答案為：30；

(4)由題可知，所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab,

*.*(5a+7b)(9a+46),

=45層+20仍+63仍+28〃，

=454+2862+83口,

.'.x=45,y=28,z=83.

.?.x+y+z=45+28+83=156.

故答案為：156.

24.(2019春?正定縣期中)你能化簡(。-1)(Q99+Q98+Q97+…+。2+。+1)嗎？

我們不妨先從簡單情況入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納結(jié)論.

(1)先填空(6Z-1)(6Z+1)—6Z2-1；(Q-1)(。2+。+1)=。-1;(Q-1)(6Z3+d!2+d!+1)=Q

-1；…

由此猜想：(。-1)(。99+濟8+。97+???+。2+。+1)=屋00一1

(2)利用這個結(jié)論，請你解決下面的問題：

①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；

②若Q7+Q6+Q5+Q4+Q3+Q2+Q+]=0,則°等于多少？

【思路引導(dǎo)】(1)原式利用多項式乘多項式法則計算得到結(jié)果，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；

(2)各項變形后，利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果.

【完整解答】解(1)：(〃-1)(〃+1)—a2-1；(a-1)(a2+tz+l)—tz3-1；(a-1)(a3+a2+a+l)—a4-

1；…

由此猜想：(a-1)(a99+。98+產(chǎn)+???+〃2+4+1)=a100_1;

故答案為：a2-1；a3-1；a4-1；a100-1；

(2)①???(2-1)(2199+2198+2197+---+22+2+l)=2200-1,

...2199+2198+2197+…+22+2+1=220°-1;

J65432

②,.,Q8-I=(a-1)(,a+a+a+a+a+a+a+l)=0,即〃=1,

??.Q=±1,

當(dāng)a—\時,aJ+a6+a5+a4+ai+a2+a+1=0不成立，

?