新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義專題14 數(shù)列的通項(xiàng)公式?？记蠓?原卷版

專題14數(shù)列的通項(xiàng)公式?？记蠓ā究键c(diǎn)專題】1．Sn和an關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)（作差法）：(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式．(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．2．累加法當(dāng)出現(xiàn)an＋1＝an＋f(n)時(shí)，用累加法求解．3．累乘法當(dāng)出現(xiàn)eq\f(an＋1,an)＝f(n)時(shí)，用累乘法求解．4．構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列SKIPIF1<01、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型1的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、SKIPIF1<0直接記憶，解題時(shí)直接在草稿紙上構(gòu)造好；3、構(gòu)造等比數(shù)列SKIPIF1<0類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列SKIPIF1<01、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型2的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、兩邊同除SKIPIF1<0；3、構(gòu)造數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列類型3：用兩邊同時(shí)取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列（1）1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、兩邊同時(shí)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化歸為bn＋1＝pbn＋q型；3、構(gòu)造數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列.類型3：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（2）SKIPIF1<01、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、兩邊同除SKIPIF1<0；3、構(gòu)造出新的等差數(shù)列SKIPIF1<0類型4：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列an＋1＝pan＋qan－11、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、可以化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個(gè)根；3、若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列{an－an－1}，若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}．【方法技巧】常見的裂項(xiàng)公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.給出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的遞推關(guān)系，求SKIPIF1<0，常用思路是：一是利用SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的遞推關(guān)系，先求出SKIPIF1<0與n之間的關(guān)系，再求SKIPIF1<0.【核心題型】題型一：累加法求通項(xiàng)公式1．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數(shù)）．則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，6，11，則該數(shù)列的第15項(xiàng)為（

）A．196 B．197 C．198 D．199題型二：累乘法求通項(xiàng)公式4．（2022秋·寧夏銀川·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·河南·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則它的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：Sn和an關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)7．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022秋·甘肅武威·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前2023項(xiàng)和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中的最大項(xiàng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：構(gòu)造法求通項(xiàng)公式10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前10項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．211．（2022·全國(guó)·高三）若數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）數(shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均是正數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線過點(diǎn)SKIPIF1<0，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）．①SKIPIF1<0；②數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；③數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；④SKIPIF1<0．A．1 B．2 C．3 D．4題型五：觀察法求通項(xiàng)公式13．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前10項(xiàng)依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，現(xiàn)將大衍數(shù)列各數(shù)按照如圖排列形成一個(gè)數(shù)表，則該數(shù)表中第8行第3個(gè)數(shù)是（

）A．152 B．480 C．512 D．84014．（2021·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)首尾相接蛇形排列形成如圖三角形數(shù)表，第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0列的數(shù)記為SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（

）A．54 B．18 C．9 D．615．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0).此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列SKIPIF1<0，又記數(shù)列SKIPIF1<0滿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0題型六：遞推公式寫通項(xiàng)公式16．（2021·甘肅武威·武威第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0不具有單調(diào)性18．（2022·安徽滁州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0成立，若數(shù)列{SKIPIF1<0）滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【高考必刷】一、單選題19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0．若等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）若一個(gè)數(shù)列的后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)的差值構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，則稱此數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23，…，設(shè)此數(shù)列為SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<023．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023秋·河南開封·高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則（

）A．SKIPIF1<0是等比數(shù)列 B．SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0是等比數(shù)列 D．SKIPIF1<0是等比數(shù)列25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若對(duì)任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，則滿足等式SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0為（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或426．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）楊輝是南宋杰出的數(shù)學(xué)家,他曾擔(dān)任過南宋地方行政官員,為政清廉,足跡遍及蘇杭一帶.楊輝一生留下了大量的著述,他給出了著名的三角垛公式:SKIPIF1<0.若正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0,且滿足SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0,則根據(jù)三角垛公式,可得數(shù)列SKIPIF1<0的前10項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．440 B．480 C．540 D．58027．（2023秋·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<028．（2023春·廣東汕尾·高三汕尾市城區(qū)汕尾中學(xué)?？计谀└唠A等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國(guó)古代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智SKIPIF1<0如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法SKIPIF1<0商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)SKIPIF1<0如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有SKIPIF1<0個(gè)小球，第二層有SKIPIF1<0個(gè)，第三層有SKIPIF1<0個(gè)，第四層有SKIPIF1<0個(gè)，則第SKIPIF1<0層小球的個(gè)數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<029．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0，對(duì)于任意正整數(shù)SKIPIF1<0，都滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<030．（2022秋·云南·高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)（例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022二、多選題31．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知遞增的正整數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0．以下條件能得出SKIPIF1<0為等差數(shù)列的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<032．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，它的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)積為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列 B．當(dāng)SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值C．當(dāng)SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最大值 D．SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都沒有最小值33．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列 D．SKIPIF1<034．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（

）A．SKIPIF1<0的值為2B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列D．SKIPIF1<035．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2022年第二十四屆北京冬奧會(huì)開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花——“科赫雪花”.它的繪制規(guī)則是：任意畫一個(gè)正三角形SKIPIF1<0，并把每一條邊三等分，以三等分后的每邊的中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線SKIPIF1<0.重復(fù)上述兩步，畫出更小的三角形，一直重復(fù)，直到無窮，形成雪花曲線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，….設(shè)雪花曲線SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，邊數(shù)為SKIPIF1<0，周長(zhǎng)為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則下列說法不正確的是（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<036．（2022秋·江蘇南京·高三校考期末）“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦……..”.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上的一道數(shù)列題，大衍數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，從第一項(xiàng)起依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50………..記大衍數(shù)列為SKIPIF1<0，則下列命題正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0