初中數(shù)學(xué)同步八年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題10全等三角形模型之平移和軸對(duì)稱模型含答案及解析

專題10全等三角形模型之平移和軸對(duì)稱模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2模型一、平移模型 2模型二、軸對(duì)稱模型 4壓軸能力測(cè)評(píng)（8題） 7模型一：平移模型【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見(jiàn)的平移型全等三角線.【常見(jiàn)模型】◎模型二：軸對(duì)稱模型【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見(jiàn)模型】模型一、平移模型【常見(jiàn)模型】例．將沿方向平移，得到．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求平移的距離．【變式訓(xùn)練1】．如圖（1），已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長(zhǎng)度得到△EFA．（1）求△ABC所掃過(guò)的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練2】．（12分）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AF=AB，已知△ABE≌△ADF．（1）在圖中，可以通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使△ABE變到△ADF的位置；（2）線段BE與DF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【變式訓(xùn)練3】．如圖，將三角形ABC沿射線BC平移后能與三角形DEF重合（點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)E、F對(duì)應(yīng)），如果BF的長(zhǎng)為12，點(diǎn)E在邊BC上，且2＜EC＜4，求邊BC長(zhǎng)的取值范圍．【變式訓(xùn)練4】．如圖，沿BC方向平移到的位置．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求平移的距離．模型二、軸對(duì)稱模型【常見(jiàn)模型】例．嘉嘉學(xué)習(xí)了等腰三角形，知道“等邊對(duì)等角”，他想：那么邊不相等時(shí)，它們所對(duì)的角有什么樣的關(guān)系呢？于是他做了如下探索：他剪了一個(gè)如圖所示的，其中，然后把紙片折疊，使得與重合，且點(diǎn)B落在延長(zhǎng)線上的處，然后利用軸對(duì)稱和外角的性質(zhì)得到三角形中邊角的不等關(guān)系．

(1)請(qǐng)你完成證明過(guò)程：證明：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到∴①（

②

）又∵是的一個(gè)外角∴（

③

）∴☆

即（等量代換）∴在中，若，則(2)請(qǐng)用（1）的結(jié)論解決問(wèn)題：在中，若，是邊上的中線，請(qǐng)?zhí)剿骱偷拇笮￡P(guān)系，并寫出證明的過(guò)程．（溫馨提示：延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，連接）

【變式訓(xùn)練1】．平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，、滿足．

圖1

圖2(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，為軸上點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿折線AB﹣BC﹣CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（x＞0），△ABP的面積為y（y＞0），回答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)點(diǎn)P到和點(diǎn)B重合時(shí)，x＝_____；當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)C重合時(shí)，x＝_____．(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABP為軸對(duì)稱三角形時(shí)，求x的值．(3)當(dāng)4≤x≤12時(shí)，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍．【變式訓(xùn)練3】．教材呈現(xiàn)：如圖是某版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第96頁(yè)的部分角平分線回憶我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱圖，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，如圖，是的角平分線，P是上的任意一點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，將沿對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此即有角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距相等．已知：如圖，是的平分線，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，，垂直分別為D和點(diǎn)E．求證：．請(qǐng)寫出定理的證明過(guò)程分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和只要證明這兩個(gè)三角形全等，即可證明．請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)珵．定理應(yīng)用：如圖②，在四邊形中，，點(diǎn)E在邊上，平分，平分．（1）求證：．（2）若四邊形的周長(zhǎng)為24，，面積為30，求的邊的高的長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練4】．平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，、滿足．

圖1

圖2(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，為軸上點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E為直線BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且BD=CE．點(diǎn)F，點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，連接AE，順次連接AD，DF，AF．（1）如圖1，若點(diǎn)D、點(diǎn)E在邊BC上，試判斷∠BAD與∠FDC的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)D、點(diǎn)E在邊BC所在的直線上如圖（2）所示的位置，（1）中的結(jié)論是否還成立，說(shuō)明理由．2．在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)點(diǎn)，.（1）若、關(guān)于軸對(duì)稱，則_________________，________________.（2）若、關(guān)于軸對(duì)稱，則_________________，________________.（3）若、兩點(diǎn)重合，將重合后的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（3，0），B（0，4），點(diǎn)C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，點(diǎn)P在線段OB上，OP=OA，AP的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，AB與CP交于點(diǎn)N．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為：；（2）求證：BM=BN；（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為G，求證：D，G關(guān)于x軸對(duì)稱．4．如圖，的邊與的邊在一條直線上，且點(diǎn)C為的中點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)將沿射線方向平移得到，邊與邊的交點(diǎn)為F，連接，若將分為面積相等的兩部分，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）．5．一、知識(shí)回顧（1）三角形中線性質(zhì)：三角形的中線能夠把三角形面積分成相等的兩個(gè)部分．（2）圖形的平移性質(zhì)：圖形的平移不改變圖形的形狀和大??；一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等．二、知識(shí)應(yīng)用如圖1，把沿著射線方向平移到，線段與交于點(diǎn)．

（1）若，求的度數(shù)．（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，的面積為8．①求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．②求的面積．三、知識(shí)拓展（3）如圖2，把沿著射線方向平移到，線段與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，時(shí)，求的面積．6．綜合應(yīng)用如圖1，直線與x軸交于點(diǎn)B，直線與x軸交于點(diǎn)，交于y軸上一點(diǎn)A．(1)特征探究；求直線的表達(dá)式；(2)坐標(biāo)探究：過(guò)的中點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E，求E點(diǎn)坐標(biāo)；(3)規(guī)律探究：將將向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖2，與y軸交于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與A點(diǎn)和C點(diǎn)重合），在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)Q，使，連接交x軸于M點(diǎn)．請(qǐng)?zhí)骄肯蜃笃揭频倪^(guò)程中，線段的長(zhǎng)度的變化情況?7．（1）如圖（1），點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上，，過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)分別作，，若，連接交于點(diǎn)G，試問(wèn)與相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）將圖（1）中的沿方向平移得到圖（2），其余條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．

8．如圖1，，，點(diǎn)C是BD上一點(diǎn)，且，．

(1)試判斷與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)如圖2，若把沿直線BD向左平移，使的頂點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，此時(shí)AC與BE互相垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

專題10全等三角形模型之平移和軸對(duì)稱模型目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2模型一、平移模型 2模型二、軸對(duì)稱模型 6壓軸能力測(cè)評(píng)（8題） 17模型一：平移模型【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見(jiàn)的平移型全等三角線.【常見(jiàn)模型】◎模型二：軸對(duì)稱模型【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見(jiàn)模型】模型一、平移模型【常見(jiàn)模型】例．將沿方向平移，得到．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求平移的距離．【答案】(1)80°(2)1cm【分析】本題考查圖形的平移：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到，得到，利用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行求解即可；（2）用，求解即可．【詳解】（1）解：∵平移，∴．∴．∵，∴．（2）∵，∴．∴平移的距離為1cm．【變式訓(xùn)練1】．如圖（1），已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現(xiàn)將△ABC沿CA方向平移CA長(zhǎng)度得到△EFA．（1）求△ABC所掃過(guò)的圖形面積；（2）試判斷，AF與BE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）9；（2）BE⊥AF，理由見(jiàn)解析；（3）2．【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)可得到S△EFA=S△BAF=S△ABC，從而便可得到四邊形CEFB的面積；（2）由已知可證得平行四邊形EFBA為菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得到AF與BE的位置關(guān)系為垂直；（3）作BD⊥AC于D，結(jié)合三角形的面積求解．【詳解】解：（1）由平移的性質(zhì)得AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC∴四邊形AFBC為平行四邊形S△EFA=S△BAF=S△ABC=3∴四邊形EFBC的面積為9；（2）BE⊥AF證明：由（1）知四邊形AFBC為平行四邊形∴BF∥AC，且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四邊形EFBA為平行四邊形又已知AB=AC∴AB=AE∴平行四邊形EFBA為菱形∴BE⊥AF；（3）如上圖，作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°∴在Rt△BAD中，AB=2BD設(shè)BD=x，則AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=AC?BD=?2x?x=x2∴x2=3∵x為正數(shù)

∴x=∴AC=2．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．（12分）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AF=AB，已知△ABE≌△ADF．（1）在圖中，可以通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使△ABE變到△ADF的位置；（2）線段BE與DF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析;

【詳解】試題分析：（1）利用正方形的性質(zhì)得到∠BAD=90°，而△ABE≌△ADF，則利用旋轉(zhuǎn)的定義可將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ADF；（2）利用全等三角形的性質(zhì)可得BE=DF，ABE=∠ADF，則利用對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和可判斷∠DHE=∠EAB=90°，從而得到BE⊥DF．試題解析：（1）把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ADF；（2）BE=DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，而∠AEB=∠DEH，∴∠DHE=∠EAB=90°，∴BE⊥DF．點(diǎn)睛：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.同時(shí)考查了正方形和直角三角形的性質(zhì).【變式訓(xùn)練3】．如圖，將三角形ABC沿射線BC平移后能與三角形DEF重合（點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)E、F對(duì)應(yīng)），如果BF的長(zhǎng)為12，點(diǎn)E在邊BC上，且2＜EC＜4，求邊BC長(zhǎng)的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)平移得到兩個(gè)三角形全等，再分別求出當(dāng)EC＝2或EC＝4時(shí)BC的值即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵將ABC沿射線BC平移后與DEF重合，∴，∴BC＝EF，∴BE＝CF，當(dāng)EC＝2時(shí)，BE＝CF＝（12﹣2）＝5，∴BC＝5+2＝7，當(dāng)EC＝4時(shí)，BE＝CF＝（12﹣4）＝4，∴BC＝4+4＝8，∴7＜BC＜8．【點(diǎn)睛】本題考查平移變換，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式訓(xùn)練4】．如圖，沿BC方向平移到的位置．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求平移的距離．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由平移的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由平移可知，∴，∴．（2）由平移可知，∴，∴，∴，∴平移的距離BE為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的平移、三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．模型二、軸對(duì)稱模型【常見(jiàn)模型】例．嘉嘉學(xué)習(xí)了等腰三角形，知道“等邊對(duì)等角”，他想：那么邊不相等時(shí)，它們所對(duì)的角有什么樣的關(guān)系呢？于是他做了如下探索：他剪了一個(gè)如圖所示的，其中，然后把紙片折疊，使得與重合，且點(diǎn)B落在延長(zhǎng)線上的處，然后利用軸對(duì)稱和外角的性質(zhì)得到三角形中邊角的不等關(guān)系．

(1)請(qǐng)你完成證明過(guò)程：證明：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到∴①（

②

）又∵是的一個(gè)外角∴（

③

）∴☆

即（等量代換）∴在中，若，則(2)請(qǐng)用（1）的結(jié)論解決問(wèn)題：在中，若，是邊上的中線，請(qǐng)?zhí)剿骱偷拇笮￡P(guān)系，并寫出證明的過(guò)程．（溫馨提示：延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，連接）

【答案】(1)①，②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，☆；(2)，見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）根據(jù)全等三角形性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)解答即可；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，連接，先證明，可得，再解答即可．【詳解】（1）證明：由軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）又∵是的一個(gè)外角∴（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）∴

即（等量代換）∴在中，若，則故答案為：①，②全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，☆；（2）解：，理由如下：延長(zhǎng)到點(diǎn)H，使，連接∵是邊上的中線

∴在和中∴∴∵∴∴∴【變式訓(xùn)練1】．平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，、滿足．

圖1

圖2(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，為軸上點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)(3)存在，【分析】（1）首先根據(jù)已知條件和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a的值，進(jìn)而得到b的值，也就能寫出A，B的坐標(biāo)；（2）作出的平分線，通過(guò)證得到其對(duì)應(yīng)角相等，再證明解決問(wèn)題；（3）過(guò)N作軸，垂足為P，連接．先證明，得到，由得到，證明即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，；（2）如圖，作的角平分線，交于G，

∴，，∴，∴，∴．∵，，，∴．∴．∴（3）過(guò)N作軸，垂足為P，連接．

∵，，∴，由對(duì)稱性可得，∴，∴，當(dāng)，則∴，∵，∴，∵，∴，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根和絕對(duì)值，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿折線AB﹣BC﹣CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒（x＞0），△ABP的面積為y（y＞0），回答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)點(diǎn)P到和點(diǎn)B重合時(shí)，x＝_____；當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)C重合時(shí)，x＝_____．(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABP為軸對(duì)稱三角形時(shí)，求x的值．(3)當(dāng)4≤x≤12時(shí)，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍．【答案】(1)4；12(2)8或14(3)【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為線段AB的長(zhǎng)4，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，利用時(shí)間=路程速度，得到答案；當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為線段AB+BC的長(zhǎng)12，再次利用上述關(guān)系式，即得到答案；（2）分類討論：①當(dāng)P在BC上時(shí)，AB=BP，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為AB+BP=8，進(jìn)而求出時(shí)間x的值；②當(dāng)P在CD上時(shí)，AP=BP，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為AB+BC+CP=14，進(jìn)而求出時(shí)間x的值；（3）當(dāng)x=4時(shí)，點(diǎn)P與B重合，A、B、P三點(diǎn)不能組成三角形，不符合題意；當(dāng)時(shí)，A、B、P三點(diǎn)組成的為直角三角形，AB、BP分別為兩條直角邊，故的面積為=2x-8，得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為線段AB的長(zhǎng)4，所以x=41=4；當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為線段AB+BC的長(zhǎng)12，所以x=121=12，故答案為：4，12；（2）解：分兩種情況：①當(dāng)P在BC上時(shí)，為軸對(duì)稱三角形AB=BP=4P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為AB+BP=4+4=8x=81=8；②當(dāng)P在CD上時(shí)，為軸對(duì)稱三角形AP=BP四邊形ABCD是矩形，AD=BC在Rt和Rt中，=CP==2AB+BC+CP=4+8+2=14x=141=14綜上所述：當(dāng)x為8或14時(shí)，為軸對(duì)稱三角形．（3）解：當(dāng)x=4時(shí)，點(diǎn)P與B重合，A、B、P三點(diǎn)不能組成三角形，不符合題意；當(dāng)時(shí)，的面積為=2x-8，y=2x-8()【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形、三角形全等的判定、一次函數(shù)等知識(shí)，運(yùn)用了分類討論思想和動(dòng)點(diǎn)思想，其中會(huì)用代數(shù)式表示線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．教材呈現(xiàn)：如圖是某版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第96頁(yè)的部分角平分線回憶我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱圖，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，如圖，是的角平分線，P是上的任意一點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，將沿對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此即有角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距相等．已知：如圖，是的平分線，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，，垂直分別為D和點(diǎn)E．求證：．請(qǐng)寫出定理的證明過(guò)程分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和只要證明這兩個(gè)三角形全等，即可證明．請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)珵．定理應(yīng)用：如圖②，在四邊形中，，點(diǎn)E在邊上，平分，平分．（1）求證：．（2）若四邊形的周長(zhǎng)為24，，面積為30，求的邊的高的長(zhǎng)．【答案】教材呈現(xiàn)：定理證明見(jiàn)解析；定理應(yīng)用：（1）證明見(jiàn)解析；（2）的邊的高的長(zhǎng)為3．【分析】教材呈現(xiàn)：證明△POD≌△POE（AAS），即可得出PD=PE；（1）由角平分線的性質(zhì)定理，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形，通過(guò)證明三角形全等，得出BE=EC；（2）證明Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），得出AF=AG，同理DG=DH，由（1）得出△BEF≌△CEH，得出BF=CH，設(shè)BF=CH=x，AF=AG=y，DG=DH=z，由四邊形ABCD的周長(zhǎng)得出x+y+z=10，由四邊形ABCD的面積得出(x+y+z)?EF=30，求出EF=3即可．【詳解】教材呈現(xiàn)：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；已知：是的平分線，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，，垂足分別是點(diǎn)D和E；求證：；證明：∵是的平分線，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；定理應(yīng)用：（1）證明：過(guò)E作于F，于G，于H，∵平分，平分，∴，在與中，，∴，∴；（2）解：由（1）得：，在和中，，∴，∴，同理：，由（1）得：，∴，設(shè)，，，∵四邊形的周長(zhǎng)為24，，∴，∴，∵四邊形的面積為30，∴，整理得：，即，∴，即的邊的高的長(zhǎng)為3．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，【變式訓(xùn)練4】．平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，、滿足．

圖1

圖2(1)求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，為軸上點(diǎn)右側(cè)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)(3)存在，【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根．（1）首先根據(jù)已知條件和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a的值，進(jìn)而得到b的值，也就能寫出A，B的坐標(biāo)；（2）作出的平分線，通過(guò)證得到其對(duì)應(yīng)角相等，再證明解決問(wèn)題；（3）過(guò)N作軸，垂足為P，連接．先證明，得到，由得到，證明即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，；（2）如圖，作的角平分線，交于G，

∴，，∴，∴，∴．∵，，，∴．∴．∴（3）過(guò)N作軸，垂足為P，連接．

∵，，∴，由對(duì)稱性可得，∴，∴，當(dāng)，則∴，∵，∴，∵，∴，∴∴∴．1．已知，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E為直線BC上兩動(dòng)點(diǎn)，且BD=CE．點(diǎn)F，點(diǎn)E關(guān)于直線AC成軸對(duì)稱，連接AE，順次連接AD，DF，AF．（1）如圖1，若點(diǎn)D、點(diǎn)E在邊BC上，試判斷∠BAD與∠FDC的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)D、點(diǎn)E在邊BC所在的直線上如圖（2）所示的位置，（1）中的結(jié)論是否還成立，說(shuō)明理由．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）成立，，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與判定和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定解答即可．【詳解】（1），理由如下：∵為等邊三角形，∴，∵，∴∴，，∵點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱，∴，，∴，，∵，∴，，∴為等邊三角形；∴∵又∵∴（2）∵理由：為等邊三角形，∴，，∴∵∴∴，，∵點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定得出△ABD≌△ACE．2．在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)點(diǎn)，.（1）若、關(guān)于軸對(duì)稱，則_________________，________________.（2）若、關(guān)于軸對(duì)稱，則_________________，________________.（3）若、兩點(diǎn)重合，將重合后的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】（1）；；（2）；；（3）【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形求出邊長(zhǎng)可得答案.【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)∴x1=2，y2=5；（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)∴x1=-2，y2=5；（3）∵、兩點(diǎn)重合，∴坐標(biāo)合并為（2，-5），如圖，將點(diǎn)A繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)A′，分別作點(diǎn)A和A′到x軸的垂線于點(diǎn)E、F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知A′O=AO，由同角的余角相等可知：∠A′OF=∠A，在△AEO和△OFA′中，，∴△AEO≌△OFA′，∴OE=A′F，AE=OF，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于x、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，構(gòu)造輔助線求出點(diǎn)的坐標(biāo).3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（3，0），B（0，4），點(diǎn)C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，點(diǎn)P在線段OB上，OP=OA，AP的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，AB與CP交于點(diǎn)N．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為：；（2）求證：BM=BN；（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為G，求證：D，G關(guān)于x軸對(duì)稱．【答案】（1）（4,7）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，根據(jù)AAS證明△AOB≌△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量替換可得∠1=∠2，根據(jù)ASA證明△ABM≌△CBN，即可證得BM=BN；（3）根據(jù)SAS證明△DAH≌△GAH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，故∠BEC=90°，∴∠BEC=∠AOB，∴∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=90°，∵∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBE=∠BAO∴△AOB≌△BEC（AAS）∴CE=OB=4，BE=OA=3，∴OE=OB+BE=7，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4,7）（2）∵△AOB≌△BEC∴BE=OA=OP,CE=BO，∴PE=OB=CE，∴∠EPC=45°，∠APC=90°，∴∠1=∠2，∴△ABM≌△CBN（ASA）∴BM=BN,（3）點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為G，∴AD=AC,AG=AC,∴AD=AG,∵∠1=∠5，∠1=∠6，∴∠5=∠6，在△DAH與△GAH中∴△DAH≌△GAH（SAS）∴D，G關(guān)于x軸對(duì)稱．【點(diǎn)睛】此題主要考查幾何的綜合變換，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì).4．如圖，的邊與的邊在一條直線上，且點(diǎn)C為的中點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)將沿射線方向平移得到，邊與邊的交點(diǎn)為F，連接，若將分為面積相等的兩部分，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】本題考查尺規(guī)作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）作的垂直平分線交于點(diǎn)，連接即為所求(方法不唯一)．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴；（2）解：作的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求．故點(diǎn)是中點(diǎn)，∴是中線，∴．5．一、知識(shí)回顧（1）三角形中線性質(zhì)：三角形的中線能夠把三角形面積分成相等的兩個(gè)部分．（2）圖形的平移性質(zhì)：圖形的平移不改變圖形的形狀和大??；一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等．二、知識(shí)應(yīng)用如圖1，把沿著射線方向平移到，線段與交于點(diǎn)．

（1）若，求的度數(shù)．（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，的面積為8．①求證：點(diǎn)是的中點(diǎn)．②求的面積．三、知識(shí)拓展（3）如圖2，把沿著射線方向平移到，線段與交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，時(shí)，求的面積．【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析；②2；（3）28【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）①由平移可知，根據(jù)題意可證，可得，由此即可求證；②是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，根據(jù)中線的性質(zhì)可得，，由此即可求解；（3）連結(jié)，根據(jù)為中點(diǎn)，結(jié)合中位線的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得，由即可求解．【詳解】解：（1）由平移可得，，，；（2）①證明：連結(jié)，由平移可知，，

，，，，，，即點(diǎn)是中點(diǎn)；②連結(jié)，

是中點(diǎn)，，是中點(diǎn)，，；（3）連結(jié)，

∵為中點(diǎn)，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形平移的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)的綜合，掌握?qǐng)D形平移的性質(zhì)，中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．綜合應(yīng)用如圖1，直線與x軸交于點(diǎn)B，直線與x軸交于點(diǎn)，