初中數(shù)學(xué)同步九年級上冊滬科版《壓軸題》專題12相似三角形中的六類基礎(chǔ)模型含答案及解析

專題12相似三角形中的六類基礎(chǔ)模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、A字模型 1類型二、8字模型 4類型三、射影定理 6類型四、三角形內(nèi)接矩形模型 12類型五、三平行模型類型六、線束模型壓軸能力測評（10題） 13類型一、A字模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若DE∥BC①?ADE~?ABC②AD若∠1=∠2或∠3=∠4或AD①?ADE~?ABC②AC2=AB?AD若∠1=∠2①?ADE~?ABC②AC2=AB?AD[補(bǔ)充]該模型也被稱為子母模型，即子母模型可以看作一組公共邊的反A模型[雙反A字模型]若∠1=∠2=∠3①?AEB~?DEA~?DAC②AB?AC=BE?CD③(AEAD)2=類型二、8字模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若AB∥CD①?AOB~?COD②AO若∠1=∠2或∠3=∠4或AO①?AOB~?COD類型三、射影定理已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若∠ABC=∠ADB=90°①?ABC~?ADB~?BDC②AB2=AC?AD,BD2=AD?CDBC2=AC?CD（口訣：公共邊的平方=共線邊的乘積）③AB?BC=BD?AC（面積法）類型四、三角形內(nèi)接矩形模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若四邊形DEFG為矩形，AN⊥BC①?ABC~?ADG②AD③若四邊形DEFG為正方形即DGBC=則xBC=類型五、三平行模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若AB∥EF∥CD①1②1類型六、線束模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若DE∥BC①DFEF②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右圖）若AB∥CD①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右圖）類型一、A字模型例．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【變式訓(xùn)練1】．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，D，E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為（）A． B．3 C．2 D．1【變式訓(xùn)練2】中，，，，現(xiàn)有動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時，就停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）求運(yùn)動時間為多少秒時，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)t為多少時，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似?【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．類型二、8字模型例．如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則：為（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【變式訓(xùn)練2】．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．類型三、射影定理例．如圖，在中，，于點(diǎn)，設(shè)，，，.求證：（1）.（2）.（3）以，，為邊的三角形是直角三角形.【變式訓(xùn)練1】．如圖，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，（1）找出圖中所有的相似三角形，分別是；（2）求證：【變式訓(xùn)練2】．閱讀與思考，完成后面的問題．射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過程（部分）：∵是斜邊上的高，∴．∵，，∴．∴（依據(jù)）．∴．即．(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個結(jié)論加以證明；(3)應(yīng)用：中，，，，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練3】．歐多克索斯約公元前400年出生于尼多斯，約公元前347年卒于尼多斯，精通數(shù)學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)．他認(rèn)為所謂的黃金分割，指的是把長為的線段分為兩部分，使其中較長部分與全部之比，等于較短部分與較長部分之比，其比值為．現(xiàn)在，我們也把頂角為的等腰三角形叫黃金三角形．(1)如圖1，在，，，的平分線交腰于點(diǎn)．請你根據(jù)上述材料利用所學(xué)知識，證明點(diǎn)為腰的黃金分割點(diǎn)；(2)如圖2，在中，，為斜邊上的高，，若是的黃金分割點(diǎn)，求的長．類型四、三角形內(nèi)接矩形模型例．如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，求的長．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動．過點(diǎn)P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點(diǎn)D，以PD為邊在PD右側(cè)作正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜4）．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時，正方形PDEF的邊長為（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時，求t的值．（3）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）作射線PE交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)DF．當(dāng)DF＝4EG時，直接寫出t的值．類型五、三平行模型例．圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G，求證：AB=2AG；（3）將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”，“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長．類型六、線束模型例．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容．例1．求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知：如圖，在中，，，，求證：、互相平分．（1）請結(jié)合圖1，寫出證明過程：證明：連結(jié)、．，，______．同理可得______．____________．∴，互相平分．【探索應(yīng)用】（2）如圖2，在圖（1）條件下，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)．①求證：；②求的值；（3）如圖3，在菱形中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且為邊的三等分點(diǎn)，直接寫出的值．【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，求的長．1．如圖，是的中位線，點(diǎn)F在上，．連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)M，若，則線段的長為（）A．13 B．14 C．15 D．162．如圖，點(diǎn)分別在的邊上，已知，則的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．如圖，在中，，，，，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，則的值為（

）5．如圖，在中，D、E分別是上的點(diǎn)，且，如果，那么（

）

A． B． C． D．6．已知：如圖在中，，高，它的內(nèi)接矩形（點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)H、G在邊上，點(diǎn)F在邊上），與邊之比為，求的長．7．如圖，在中，，分別是邊，上的中線，與相交于點(diǎn)．(1)如圖1，連接，若平分，，試求的長度；(2)求證：；(3)如圖2，連接，若，，，試求的面積．8．如圖，已知：梯形中，，、BD交于點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)在DE上，且．求證：．9．如圖，E為?ABCD的邊CD延長線上的一點(diǎn)，連接BE，交AC于點(diǎn)O，交AD于點(diǎn)F．求證：．10．已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接并延長交線段于點(diǎn)．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點(diǎn)．①若，求的長；②作，垂足為，求證：．

專題12相似三角形中的六類基礎(chǔ)模型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、A字模型 1類型二、8字模型 4類型三、射影定理 6類型四、三角形內(nèi)接矩形模型 12類型五、三平行模型類型六、線束模型壓軸能力測評（10題） 13類型一、A字模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若DE∥BC①?ADE~?ABC②AD若∠1=∠2或∠3=∠4或AD①?ADE~?ABC②AC2=AB?AD若∠1=∠2①?ADE~?ABC②AC2=AB?AD[補(bǔ)充]該模型也被稱為子母模型，即子母模型可以看作一組公共邊的反A模型[雙反A字模型]若∠1=∠2=∠3①?AEB~?DEA~?DAC②AB?AC=BE?CD③(AEAD)2=類型二、8字模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若AB∥CD①?AOB~?COD②AO若∠1=∠2或∠3=∠4或AO①?AOB~?COD類型三、射影定理已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若∠ABC=∠ADB=90°①?ABC~?ADB~?BDC②AB2=AC?AD,BD2=AD?CDBC2=AC?CD（口訣：公共邊的平方=共線邊的乘積）③AB?BC=BD?AC（面積法）類型四、三角形內(nèi)接矩形模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若四邊形DEFG為矩形，AN⊥BC①?ABC~?ADG②AD③若四邊形DEFG為正方形即DGBC=則xBC=類型五、三平行模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若AB∥EF∥CD①1②1類型六、線束模型已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）若DE∥BC①DFEF②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右圖）若AB∥CD①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右圖）類型一、A字模型例．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．【詳解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，D，E分別在AB、AC上，將△ADE沿DE翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若A′為CE的中點(diǎn)，則折痕DE的長為（）A． B．3 C．2 D．1【答案】D【詳解】試題解析：由題意得：DE⊥AC，∴∠DEA=90°，∵∠C=∠DEA，∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB,∴=,∵A′為CE的中點(diǎn)，∴CA′=EA′，∴CA′=EA′=AE，∴==，∴DE=1.故選D.【變式訓(xùn)練2】中，，，，現(xiàn)有動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動，如果點(diǎn)P的速度是4cm/s，點(diǎn)Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時，就停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．（1）求運(yùn)動時間為多少秒時，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為10cm?（2）若的面積為，求關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)t為多少時，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）；（3）或【分析】（1）根據(jù)題意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得答案；（2）若運(yùn)動的時間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計算公式，即可得出S=20t-4t2，再結(jié)合各線段長度非負(fù)，即可得出t的取值范圍；（3）分①和②，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由運(yùn)動知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（20-4t）cm，在Rt△CPQ中，，即；∴秒或秒（2）由題意得，，則，因此的面積為；（3）分兩種情況：①當(dāng)時，，即，解得；②當(dāng)時，，即，解得．因此或時，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，進(jìn)而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進(jìn)而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．類型二、8字模型例．如圖，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴，∴A選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴，∴；∴C選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項不正確，符合題目要求．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在?ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則：為（

）A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形對邊互相平行可得，然后求出和相似，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出兩三角形的面積的比為1：4，設(shè)，，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后表示出的面積，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后相比計算即可得解．【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，AB=CD∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE：CD=1：2∵AB//DE∽，：：：4，EF:AF=1:2設(shè)，則，：：2，：：：2，，，是平行四邊形ABCD的對角線，，，：：：5．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定以及相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵，不容易考慮到的是等高的三角形的面積的比等于底邊的比的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練2】．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練3】．如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．【答案】【分析】解法1：過點(diǎn)D作AC的平行線交BN于點(diǎn)H，構(gòu)造“A”型和“8”型，得出和，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；解法2：過點(diǎn)C作AD的平行線交BN的延長線于點(diǎn)H，構(gòu)造“A”型和“8”型，得出和，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；解法3：過點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長線于點(diǎn)H，構(gòu)造“A”型和“8”型，得出和，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案；解法4：過點(diǎn)D作BN的平行線交AC于點(diǎn)H，根據(jù)三角形中位線定理得出，即可得出答案；【詳解】解法1：如圖2，過點(diǎn)D作AC的平行線交BN于點(diǎn)H．因為．所以，所以．因為D為BC的中點(diǎn)，所以．因為，所以，所以．因為M為AD的中點(diǎn)，所以．所以，所以．解法2：如圖3，過點(diǎn)C作AD的平行線交BN的延長線于點(diǎn)H．因為，所以，所以．因為D為BC的中點(diǎn)，所以．因為M為AD的中點(diǎn)，所以，所以．因為，所以，所以．解法3：如圖4，過點(diǎn)A作BC的平行線交BN的延長線于點(diǎn)H．因為，所以，所以．因為M為AD的中點(diǎn)，所以，所以．因為，所以，所以．因為D為BC的中點(diǎn)，且，所以．解法4：如圖5，過點(diǎn)D作BN的平行線交AC于點(diǎn)H．在中，因為M為AD的中點(diǎn)，，所以N為AH的中點(diǎn)，即．在中，因為D為BC的中點(diǎn)，，所以H為CN的中點(diǎn)，即，所以．所以．類型三、射影定理例．如圖，在中，，于點(diǎn)，設(shè)，，，.求證：（1）.（2）.（3）以，，為邊的三角形是直角三角形.【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）要證明，只需證=1即可，在直角△ABC中根據(jù)BD2+CD2=BC2求證．（2）根據(jù)三角形的面積公式求出ab=ch，利用勾股定理可得a2+b2=c2，再利用完全平方公式整理即可得證；（3）先分別求出（a+b）2，h2，（c+h）2的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】證明：(1)在直角△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,則△ACB∽△ADC∽△CDB，,即，∵====1，∴；(2)∵CD⊥AB,∠ACB=90°，∴S△ABC=ab=ch，∴ab=ch，∵∠ACB=90°，∴a2+b2=c2，∴(a+b)2=a2+2ab+b2=c2+2ch,(c+h)2=c2+2ch+h2，∵a、b、c、h都是正數(shù)，∴(a+b)2<(c+h)2，∴a+b<c+h；(3)∵(c+h)2=c2+2ch+h2；h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2,a2+b2=c2(勾股定理),ab=ch(面積公式推導(dǎo))，∴c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2，∴(c+h)2=h2+(a+b)2，∴根據(jù)勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì).【變式訓(xùn)練1】．如圖，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，（1）找出圖中所有的相似三角形，分別是；（2）求證：【答案】（1）△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．（2）證明見解析．【詳解】試題分析：（1）由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，即可證得∠ADC=∠BDC=90°，又由同角的余角相等，證得∠A=∠BCD，根據(jù)有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，證得△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD；（2）由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論．試題解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．（2）∵△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=AD?BD．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練2】．閱讀與思考，完成后面的問題．射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過程（部分）：∵是斜邊上的高，∴．∵，，∴．∴（依據(jù)）．∴．即．(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個結(jié)論加以證明；(3)應(yīng)用：中，，，，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】(1)兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似(2)見解析(3)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理證明和計算．（1）根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似”即可解答；（2）②根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似”證明即可得證；③根據(jù)“兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似”證明；（3）根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用證明的射影定理得，即可求出，由此求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：“依據(jù)”是：兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似，故答案為：兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似；（2）證明：②，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴∴；③，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴∴；（3）解：如圖，根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．【變式訓(xùn)練3】．歐多克索斯約公元前400年出生于尼多斯，約公元前347年卒于尼多斯，精通數(shù)學(xué)、天文學(xué)、地理學(xué)．他認(rèn)為所謂的黃金分割，指的是把長為的線段分為兩部分，使其中較長部分與全部之比，等于較短部分與較長部分之比，其比值為．現(xiàn)在，我們也把頂角為的等腰三角形叫黃金三角形．(1)如圖1，在，，，的平分線交腰于點(diǎn)．請你根據(jù)上述材料利用所學(xué)知識，證明點(diǎn)為腰的黃金分割點(diǎn)；(2)如圖2，在中，，為斜邊上的高，，若是的黃金分割點(diǎn)，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再由為的角平分線，求出，所以和是相似的兩個等腰三角形，并且，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，即可證明結(jié)論（2）由點(diǎn)D是的黃金分割點(diǎn)，可得比例式，利用此比例式求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法證得，則，即可求解的長【詳解】（1）證明：在中，，，∵為的角平分線，，．，即點(diǎn)為腰的黃金分割點(diǎn)；（2）解：點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)，．又，，是斜邊上的高，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及黃金分割，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及黃建分割的定義是解答此題的關(guān)鍵．類型四、三角形內(nèi)接矩形模型例．如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長．【答案】【分析】設(shè)AM交GF于H點(diǎn)，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)高AM交GF于H點(diǎn)，∵四邊形DEFG為正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，設(shè)正方形的邊長為，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，理解相似三角形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長．【答案】（1）12cm；（2）【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面積即可得出答案；（2）設(shè)正方形邊長為x，證出△AEH∽△ABC，得出比例式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝＝25（cm），∵BC×AD＝AB×AC，∴AD＝＝＝12（cm）；即BC邊上的高為12cm；（2）設(shè)正方形EFGH的邊長為xcm，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴＝，即＝，解得：x＝，即正方形EFGH的邊長為cm．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似比對于高的比，學(xué)會用方程的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，求的長．【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長，易證四邊形是矩形，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可得解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長，四邊形是正方形，，，是的高，，四邊形是矩形，，，（相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比），，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，注意：矩形的對邊相等且平行，相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動．過點(diǎn)P作PD⊥AB交折線AC﹣CB于點(diǎn)D，以PD為邊在PD右側(cè)作正方形PDEF．設(shè)正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒（0＜t＜4）．（1）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時，正方形PDEF的邊長為（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)E落在邊BC上時，求t的值．（3）當(dāng)點(diǎn)D在邊AC上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．（4）作射線PE交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)DF．當(dāng)DF＝4EG時，直接寫出t的值．【答案】（1）2t；（2）43；（3）；（4）t＝或【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：∠A＝∠ADP＝45°，即AP＝DP＝2t；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：AB＝AP+PF+FB，即2t+2t+2t＝8，可求t的值；（3）分兩種情況討論，根據(jù)重疊部分的圖形的形狀，可求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）分點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部和△ABC外部兩種情況討論，根據(jù)平行線分線段成比例，可求t的值．【詳解】（1）∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°＝∠B，且DP⊥AB，∴∠A＝∠ADP＝45°，∴AP＝DP＝2t，故答案為2t，（2）如圖，∵四邊形DEFP是正方形，∴DP＝DE＝EF＝PF，∠DPF＝∠EFP＝90°，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠A＝∠ADP＝∠B＝∠BEF＝45°，∴AP＝DP＝2t＝EF＝FB＝PF，∵AB＝AP+PF+FB，∴2t+2t+2t＝8，∴t＝43（3）當(dāng)0＜t≤43時，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為正方形PDEF即S＝DP2＝4t2，當(dāng)43＜t≤2時，如圖，正方形PDEF與△ABC重疊部分圖形的面積為五邊形PDGHF∵AP＝DP＝PF＝2t，∴BF＝8﹣AP﹣PF＝8﹣4t，∵BF＝HF＝8﹣4t，∴EH＝EF﹣HF＝2t﹣（8﹣4t）＝6t﹣8，∴S＝S正方形DPFE﹣S△GHE，∴S＝4t2﹣×（6t﹣8）2＝﹣14t2+48t﹣32，綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為.（4）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，設(shè)DF與PE交于點(diǎn)O，∵四邊形PDEF是正方形，∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，∴∠DFP＝∠ABC＝45°，∴DF∥BC，∴，∵DF＝4EG，∴設(shè)EG＝a，則DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，∴PG＝5a，∴，∴，∴t＝，如圖，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外部，設(shè)DF與PE交于點(diǎn)O，∵四邊形PDEF是正方形，∴DF＝PE＝2PO＝2EO，∠DFP＝45°，∴∠DFP＝∠ABC＝45°，∴DF∥BC，∴，∵DF＝4EG，∴設(shè)EG＝a，則DF＝4a＝PE，PO＝2a＝EO，∴PG＝3a，∵，∴，∴t＝，綜上所述：t＝或.【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例和重疊部分的面積等知識.先求特殊位置時對應(yīng)的t值，做到不重不漏，再利用數(shù)形結(jié)合的思想，確定重疊部分圖形的形狀是解題的關(guān)鍵．類型五、三平行模型例．圖，，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．【答案】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由，可證△CGH∽△CAB，由性質(zhì)得出，由，可證△BGH∽△BDC，由性質(zhì)得出，將兩個式子相加，即可求出GH的長．【詳解】解：∵，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴，∵，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴，∴，∵AB=2，CD=3，∴，解得：GH=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G，求證：AB=2AG；（3）將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”，“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②．【分析】（1）運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問題．（2）如圖1，證明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根據(jù)等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行線分線段成比例定理得：，由此可得結(jié)論；（3）①如圖2，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再證明△ACB∽△GEB，列比例式可得結(jié)論；②如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABC和△DCE的高線，先得，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，根據(jù)AH∥PD，得，設(shè)PD=3h，AH=4h，根據(jù)EG∥AC，同理得，設(shè)BE=y，BC=4y，利用三角形面積公式代入可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）證明：如圖1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如圖2，過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB的延長線于點(diǎn)G，則有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB?BE=AD?BC；②如圖3，過A作AH⊥BC于H，過D作DP⊥BC于P，則AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，設(shè)PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，設(shè)BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC?AH===8yh，S△DCE=CE?PD==yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，第三問有難度，利用參數(shù)表示各線段的長是本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長．【答案】（1）見解析（2）2【分析】（1）通過已知條件，易證△ADF≌△CDE，即可求得；（2）根據(jù)＝，易求得BE和BF，根據(jù)已知條件可得＝＝，證明△AMF∽△CMD，，再證明△ABC～△MEC,即可求出ME．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，設(shè)BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,

∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性質(zhì)，熟練它們的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．類型六、線束模型例．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容．例1．求證：三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．已知：如圖，在中，，，，求證：、互相平分．（1）請結(jié)合圖1，寫出證明過程：證明：連結(jié)、．，，______．同理可得______．____________．∴，互相平分．【探索應(yīng)用】（2）如圖2，在圖（1）條件下，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)．①求證：；②求的值；（3）如圖3，在菱形中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且為邊的三等分點(diǎn)，直接寫出的值．【答案】（1），，四邊形是平行四邊形；（2）①證明見解析；②；（3）的值為．【分析】（1）由三角形中位線定理及平行四邊形的判定可得出答案；（2）①證出，根據(jù)可證明；②由三角形中位線定理可得出答案；（3）分兩種情況，由菱形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】（1）證明：連結(jié)、．，，，同理可得．四邊形是平行四邊形，、互相平分；（2）解：①，，為的中位線，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，在和中，，；②為的中位線，，，，；（3）解：四邊形是菱形，，，，由菱形的性質(zhì)可知，，，，，分兩種情況：①如圖，當(dāng)時，則，，，在中，，．②如圖，當(dāng)時，則，，，，在中，，．綜上所述，的值為．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】．如圖，已知三角形鐵皮的邊，邊上的高，要剪出一個正方形鐵片，使、在上，、分別在、上，則正方形的邊長．【答案】【分析】設(shè)AM交GF于H點(diǎn)，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)高AM交GF于H點(diǎn)，∵四邊形DEFG為正方形，∴GF∥DE，即：GF∥BC，∴AH⊥GF，△AGF∽△ABC，∴，設(shè)正方形的邊長為，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，理解相似三角形的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在這個直角三角形內(nèi)有一個內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上．（1）求BC邊上的高；（2）求正方形EFGH的邊長．【答案】（1）12cm；（2）【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面積即可得出答案；（2）設(shè)正方形邊長為x，證出△AEH∽△ABC，得出比例式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，∴BC＝＝25（cm），∵BC×AD＝AB×AC，∴AD＝＝＝12（cm）；即BC邊上的高為12cm；（2）設(shè)正方形EFGH的邊長為xcm，∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC．∴＝，即＝，解得：x＝，即正方形EFGH的邊長為cm．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的相似比對于高的比，學(xué)會用方程的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練3】．如圖，在中，，高，正方形一邊在上，點(diǎn)分別在上，交于點(diǎn)，求的長．【答案】【分析】設(shè)正方形的邊長，易證四邊形是矩形，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可得解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長，四邊形是正方形，，，是的高，，四邊形是矩形，，，（相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比），，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，注意：矩形的對邊相等且平行，相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比．1．如圖，是的中位線，點(diǎn)F在上，．連接并延長，與的延長線相交于點(diǎn)M，若，則線段的長為（）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵；根據(jù)三角形中中位線定理證得，求出，進(jìn)而證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可求出結(jié)論．【詳解】是的中位線，，，，，，，∴．故選：C．2．如圖，點(diǎn)分別在的邊上，已知，則的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，故選B．3．如圖，在中，，，，，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出．【詳解】解：，，，，，，，．故選：B4．如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先證，再根據(jù)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”即可求解．本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌